Диссертация (1154386), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пространство X с нормой K(t, x; X, L∞ ) является для каждого t > 0 точным интерполяционным пространством по отношению к паре(X, L∞ ). Это замечание дает другое доказательство импликации (1)⇒(4)при уже известной эквивалентности условий (1) и (2).125Замечание 3.2.8. Как легко видеть, в качестве нормы в X̃ в теореме 3.2.5можно использовать полунормуkf kX̃,p0 = kf χ[p0 ,∞) kX̃ ,с произвольным фиксированным p0 > 1.Замечание 3.2.9. С помощью оператора растяжения несложно установить, что в определении сильно экстраполяционного пространства (равно,как и в соответствующих пунктах теоремы 3.2.5) вместо log e/t можно использовать логарифм вида loga (b/t) с произвольными a > 1 и b > a.

Насостав класса это не влияет, а экстраполяционные нормы в соответствующих пространствах будут эквивалентны норме пространства X.Замечание 3.2.10. Напомним, что с помощью теории Яверса-Мильмана[159] мы можем идентифицировать экстраполяционные (по отношению кшкале пространств Lp ) пространства вида ∆(r) (ω(p)Lp ) с нормойkxk∆(r)Z∞  1rω(p)kxkprdp при r < ∞p0иkxk∆(∞) sup ω(p)kxkpp>p0в случаеω(p) ω(2p) при p → ∞.(3.10)Не уменьшая общности, мы можем предположить, что ω(p/2) 6 Cω(p) при126p > 2p0 . Тогда,Z∞1/r(ω(p)f (2p))r dpZ∞= p01/r(ω(p/2)f (p))rdp 22p0Z∞6 C1/r(ω(p)f (p))r dp,p0откуда следует, что экстраполяционный параметр F = Lr (ω) умеренный всмысле определения 3.2.3.

Поэтому все симметричные пространства вида∆(r) (ω(p)Lp ) с функцией ω(p), удовлетворяющей условию (3.10), удовлетворяют и условию (3) из теоремы 3.2.5, и, согласно этой теореме, являютсясильно экстраполяционными.Замечание 3.2.11. С общей позиции F-метода можно отметить, что придоказательстве равносильности (1)⇔(8) использовалась явная связь междупараметром экстраполяции и исходным пространством, в котором, в силусимметричности, действует оператор растяжения.

Далее мы увидим, чтодискретизация параметра F-метода может, вообще говоря, поменять соответствующее симметричное пространство X. В случае же сильно экстраполяционного пространства дискретизацию можно, в некотором смысле,усилить. Именно, для сильно экстраполяционного пространства X выполняется соотношение∞XkxkX kxk2k χ(e−2k ,e−2k−1 ] .Xk=1Действительно, с помощью оператора Sx(t) = x(t2 ) получаем поточечноенеравенство∞Xkxk2k χ(e−2k ,e−2k−1 ] (t) 6 S(kxklog e/t ),k=1127а с помощью оператора σe x(t) = x(t/e) неравенствоkxklog e/t 6 σe∞X!kxk2k χ(e−2k ,e−2k−1 ] (t) .k=1Теперь используя ограниченность операторов S и σe в X, получаем нужноеутверждение.Равносильность условий (1) и (2) из теоремы 3.2.5 дает следующие результаты.Следствие 3.2.12.

Любое симметричное пространство, интерполяционное по отношению к паре (X1 , X2 ) сильно экстраполяционных пространств, само является сильно экстраполяционным.Следствие 3.2.13. Если симметричное пространство X сильно экстраполяционно, то его сепарабельная часть X 0 также является сильно экстраполяционным пространством.Доказательство. Результат следует из инвариантности оператора S наL∞ ⊂ S и сохраняющего аппроксимацию неравенства kSx − Sxn kX 6Ckx − xn kX .В дальнейшем важную роль будет играть следующее определение.Определение 3.2.14. Для квазивогнутой функции ϕ = ϕ(t) на отрезке[0, 1] будем говорить, что она удовлетворяет ∆2 -условию и писать ϕ ∈ ∆2 ,если для некоторой константы C > 0 и всех t ∈ [0, 1] выполняется неравенствоϕ(t) 6 Cϕ(t2 ).128(3.11)Следствие 3.2.15.

Если симметричное пространство X является сильно экстраполяционным, то его фундаментальная функция удовлетворяет ∆2 -условию.Доказательство. По теореме 3.2.5 в сильно экстраполяционном пространстве X действует оператор (Sx)(u) = x(u2 ). Применяя этот оператор кфункции x(u) = χ(0,t2 ) (u), получимϕ(t) = kχ(0,t) kX = kSχ(0,t2 ) kX 6 Ckχ(0,t2 ) kX = Cϕ(t2 ).В следующем разделе мы увидим, что во многих важных случаях утверждение следствия 3.2.15 обратимо. В частности, пространство Марцинкевича M (ϕ), а также его сепарабельная часть M 0 (ϕ), в случае ϕ ∈ ∆2являются сильно экстраполяционными. Здесь же приведем пример пространства, не являющегося сильно экстраполяционным, фундаментальнаяфункция которого, тем не менее, удовлетворяет ∆2 -условию.

Более точно, мы построим замкнутое подпространство пространства МарцинкевичаM (ϕ), ϕ ∈ ∆2 , в котором оператор S не действует. Этот пример показываетнеобратимость следствий 3.2.13 и 3.2.15.Пример 3.2.16. Пусть ϕ — возрастающая вогнутая функция на [0, 1],ϕ(+0) = ϕ(0) = 0, такая, что ϕ ∈ ∆2 . Определим индуктивно последовательность точек {tn }∞n=0 ⊂ [0, 1] следующим образом: t0 = 1, а tn будемвыбирать произвольно так, чтобыϕ(t2n−1 )> n.ϕ(tn )Ясно, что tn → 0. Положимx̄(t) =∞Xn=11· χ 2 2 (t)ϕ(t2n−1 ) (tn ,tn−1 ]129иX0 = {y ∈ M (ϕ) : найдутся B > 0 и β > 0,для которых y ∗ (t) 6 B x̄(βt) (0 < t 6 1)}.Легко видеть, что X0 — линейное подмножество пространства Марцинкевича M (ϕ). Определим пространство X как замыкание X0 в M (ϕ).

ТогдаX — с.п. с нормой, наследуемой из M (ϕ). В частности, фундаментальнаяфункция этого пространства ϕX (t) = ϕ(t) ∈ ∆2 .Покажем теперь, что функция x1 (t) := x̄(t2 ) 6∈ X. Для этого достаточнопроверить, чтоinf kx1 − ykM (ϕ) > 0.y∈X0(3.12)Пусть y ∈ X0 . Применяя следующее известное неравенство [32, теорема 2.3.1]:ka − bkM (ϕ) > ka∗ − b∗ kM (ϕ) ,получимkx1 − ykM (ϕ) > kx1 − y ∗ kM (ϕ) > k(x1 − y ∗ )χ(t2n ,tn ] kM (ϕ) .Выберем n ∈ N настолько большим, чтобы выполнялись условияϕ(t2n−1 )1 21)> 2B и 1 +t 6 tn ,ϕ(tn )β nгде B > 0 и β ∈ (0, 1) такие, чтоy ∗ (t) 6 B x̄(βt).130(3.13)Тогдаk(x1 − y ∗ )χ(t2n ,tn ] kM (ϕ) > k(x1 (tn ) − B x̄(βt))χ(t2n /β,tn ] kM (ϕ)= x1 (tn ) − B x̄(t2n−1 ) ϕ(tn − t2n /β) > x̄(t2n ) − B x̄(t2n−1 ) ϕ(t2n )BB112−−=ϕ(tn ) >ϕ(t2n )222ϕ(tn ) ϕ(tn−1 )ϕ(tn ) ϕ(tn−1 )11Bϕ(tn )ϕ(t2n ) 12·>.=1−ϕ(t)>nϕ(tn )ϕ(t2n−1 )ϕ(tn ) 2 2CПоэтому ввиду (3.13) для всех y ∈ X0kx1 − ykM (ϕ) >1,2Cи значит, (3.12) доказано.

Тем самым по теореме 3.2.5 с.п. X не являетсясильно экстраполяционным.3.2.2Примеры симметричных сильно экстраполяционных пространствВ настоящем разделе мы рассмотрим конкретные примеры сильно экстраполяционных пространств. Именно, сформулируем условия сильной экстраполяционности для пространств Лоренца, Орлича и Марцинкевича.Напомним, что для вогнутой функции ϕ ∈ F и r ∈ [1, ∞) можно определить пространство Лоренца Λr (ϕ) с нормойZ1kxkΛr (ϕ) = 1r(x∗ (t))r dϕ(t) .0С.Ф.Лукомский [169] доказал следующее утверждение: если существуетγ > 0 такое, что для почти всех t ∈ [0, 1] выполнено неравенствоϕ0 (t) 6 γtϕ0 (t2 ),131(3.14)то пространство Лоренца Λr (ϕ) является сильно экстраполяционным.

Точнее, имеет место соотношениеkxkΛr (ϕ) X+∞ 1rkxkrn · 2−n ϕ0 (2−n ) .(3.15)n=1Отметим, что пространства с нормой, определяемой правой частью соотношения (3.15) в некоторых частных случаях возникали и раньше [24, 84],но норма таких пространств не идентифицировалась как норма пространства Лоренца. Впервые результат о совпадении пространства, определяемого нормой типа (3.15), с пространством Лоренца, появился, по-видимому,в [10] (для r = 1, без доказательства).В этом параграфе мы найдем необходимые и достаточные условия, прикоторых справедливо (3.15), а также приведем пример функции ϕ ∈ F, длякоторой не выполнено (3.14), но, тем не менее, имеет место (3.15).Обозначим через gr пространство lr (2−n/r ϕ0 (2−n )1/r ).

Его функциональным аналогом будет пространство функций, определенных на [1, ∞), Gr =Lr (2−p/r ϕ0 (2−p )1/r ).Теорема 3.2.17. Для каждого r ∈ [1, ∞) следующие условия эквивалентны:1) ϕ ∈ ∆2 , т.е выполнеено условие (3.11);2) пространство Λr (ϕ) сильно экстраполяционно;3) Λr (ϕ) = LGr , т.е. выполнено условиеZ∞kxkΛr (ϕ)  1rkxkrp 2−p ϕ0 (2−p )dp ;14) Λr (ϕ) = Lgr , т.е. выполнено условие (3.15).132(3.16)Доказательство. Равносильности 2)⇔3) и 2)⇔4) вытекают из замечания3.2.9 и равносильности пунктов (1) и (8) теоремы 3.2.5. Значит, нам остается доказать равносильность пунктов 1) и 2) теоремы 3.2.17.

Согласноследствию 3.2.15 условие ϕ ∈ ∆2 является необходимым для сильной экстраполяционности пространства Λr (ϕ). Докажем достаточность.Пусть ϕ ∈ ∆2 . ТогдаZ1 1r Z1 1rZ1 1r√(x∗ (t2 ))r dϕ(t) =(x∗ (t))r dϕ( t) 6 C(x∗ (t))r dϕ(t) ,000где при получении последнего неравенства мы воспользовались известнымсвойством перестановок [32, стр. 100, свойство 180 ]. Теперь с помощьюлеммы 3.2.6 мы получаем, что в Λr (ϕ) действует ограниченно операторSx(t) = x(t2 ). Согласно теореме 3.2.5 это означает, что пространство Λr (ϕ)сильно экстраполяционно.С помощью теоремы 3.2.17 можно, например, идентифицировать пространства с нормойkxk :=r ! 1r∞ Xkxkkk=1k,1 < r < 2,появившиеся в [24, 84] как пространства, в которых последовательностькоэффицентов рядов по лакунарным подсистемам тригонометрической системы, а также рядов по системе Радемахера, принадлежит `p .

Согласно теореме 3.2.17, эти пространства суть пространства Лоренца Λr (ϕ) сϕ(t) = log1−r (e/t).Заметим, что если для функции ϕ ∈ F выполнено условие (3.14), тоϕ ∈ ∆2 (достаточно неравенство (3.14) проинтегрировать). Приведем пример, показывающий, что обратное неверно, т.е. существует функция ϕ ∈ Fтакая, что ϕ ∈ ∆2 , но не удовлетворяет условию (3.14).133Пример 3.2.18. Через F1 будем обозначать класс кусочно-линейных функций из F вида:ϕ(2−k ) =X∆m и ϕ(t) линейна на [2−k−1 , 2−k ], k ∈ Z+ .m>kДля того, чтобы функция указанного вида принадлежала множеству F,необходимо и достаточно, чтобы1) ∆k > 0 (возрастание ϕ(t));P2) k>0 ∆k < ∞ (конечность ϕ(t));3)∆k∆k+16 2 (вогнутость ϕ(t)).В силу свойств функций класса F выполнение ∆2 -условия достаточнопроверить лишь в точках вида tk = 2−k .

Для ϕ ∈ F1 это условие равносильно требованию:XX∆k 6 Ck>nn ∈ Z+ .∆k ,(3.17)k>2nУсловие же (3.14) для ϕ ∈ F1 принимает следующий вид:k ∈ Z+ .∆k 6 γ1 min(∆2k+1 , ∆2k ),Поэтому функция ϕ не будет удовлетворять условию (3.14), еслиlim supk→+∞∆k= +∞.∆2k(3.18)Таким образом, достаточно построить пример функции ϕ ∈ F1 , для которой выполнены условия (3.17) и (3.18).Пусть натуральное число n0 > 4, являющееся полным квадратом, таково, что при n > n0(n +√√n)2 6 2134n3n2 .(3.19)Введем две последовательности натуральных чисел:3ni = n2i−1 и mi = min{k > ni : k 2 6 2k−ni ni2 }, i ∈ N.(3.20)√Ввиду (3.19) и (3.20) mi 6 ni + ni и отрезки [ni , mi ] (i = 0, 1, .

. .) попарнодизъюнктны. Кроме того, никакой отрезок вида [n, 2n] (n ∈ N) не можетпересекаться более чем с одним отрезком вида [ni , mi ]. Действительно, так√как ni > 4, то n2i > 2(ni + ni ). Следовательно, если i — наименьшее, длякоторого [ni , mi ] ∩ [n, 2n] 6= ∅, то mi > n иni+1 − mi > n2i − ni −√ni > ni +√ni > mi > n,откуда ni+1 > mi + n > 2n. Поэтому [ni+1 , mi+1 ] ∩ [n, 2n] = ∅.Рассмотрим функцию ϕ(t), для которой1, если k = 0, 1, 2;10∆k = k12 , если k > 3 и k 6∈ [ni , mi );12ni −k · 3/2, если k ∈ [ni , mi ).niПроверим сначала условия 1) – 3) принадлежности ϕ(t) классу F1 . Условие 1) очевидно.

Характеристики

Список файлов диссертации