Диссертация (1154386), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Соотношениеsupp>1kxkp kxkLMM −1 (ep )(3.27)имеет место тогда и только тогда, когда M ∈ ∆2 .Доказательство. Если M ∈ ∆2 , то соотношение 3.27 получаем из совпадения пространств LM и M(ϕ) при ϕ(t) = 1/M −1 (1/t) и теорем 3.2.29 и3.2.21.Обратно, подставляя в (3.27) в качестве функции x индикатор интервала (0, t) при достаточно малых t, получим√11φLM (t) sup φLM (e−p )t p > φLM (e−p )t p |p=− 12 log t = φLM ( t)e−2 .p>1143Поэтому функция φLM (t) удовлетворяет ∆2 -условию, а следовательно, какотмечалось перед теоремой 3.2.29, и M ∈ ∆2 .Следствие 3.2.31.
(ср. со следствиями 2.2.3 и 2.2.4 из раздела 2.2) Предположим, что M (u) ∼ eW (u) для некоторой функции Орлича W . Тогдаэкспоненциальное пространство Орлича Exp LW := LM сильно экстраполяционно. Кроме того, имеет место эквивалентностьK(t, x; ExpLW , L∞ ) kxkp(0 < t 6 1)−1 (p)p>W (1/t) WsupДоказательство.
Условие (3.26) легко получается из выпуклости функцииW (u). Чтобы доказать эквивалентность для K-функционала, используем,как и в доказательстве теоремы 3.2.5, формулуkx∗ χ[0,ϕ−1 (t)] kX K(t, x; X, L∞ ) (0 < t 6 1),где ϕ(t) 1/W −1 (log e/t) — фундаментальная функция пространства Орлича ExpLW . В силу равносильности (1)⇔(4) из теоремы 3.2.5, а также эквивалентности в данном случае норм Орлича и Марцинкевича, при0<t61K(t, x; ExpLW , L∞ ) K(t, kxklog e/s ; ExpLW , L∞ ) kxklog e/s · χ[0,exp(1−W (1/t))] (s)ExpLWsups6exp(1−W (1/t))kxklog e/s ϕ(s)kxkp.−1 (p)Wp>W (1/t)supСледствие 3.2.32. Пусть заданы две функции Орлича W1 и W2 , а симметричное пространство X является интерполяционным по отношению144к паре (Exp LW1 , Exp LW2 ). Тогда пространство X сильно экстраполяционно.В силу вложения L∞ ⊂ ExpLW при t > 1 справедливо соотношениеx,tK(t, x; ExpLW , L∞ ) kxkExpLW .Используя также замечание 3.1.3, получаемСледствие 3.2.33.
Для любого p0 > 1kxkp.−1 (p)p>p0 WkxkExpLW supВ следующем утверждении участвуют классические пространства Зигмунда ExpLα . Доказывается это утверждение аналогично следствию 3.2.31.Другое доказательство см. в [2, теорема 2]αСледствие 3.2.34. Предположим, что M (u) ∼ eu для некоторого α > 0.Тогда пространство Зигмунда Exp Lα := LM сильно экстраполяционно.Кроме того, имеет место эквивалентностьkxkp(0 < t 6 1).1/αp>t−α px,tK(t, x; ExpLα , L∞ ) supВ частности, для любого p0 > 1kxkp1/αp>p0 pkxkExpLα supРассмотрим еще пространства Орлича-Лоренца, которые обобщают какпространств Лоренца, так и пространств Орлича. Напомним, что пространство Орлича-Лоренца ΛM (ϕ) на [0, 1] определяется нормойZ1∗kxkΛM (ϕ) := inf λ > 0 :M (x (t)/λ) dϕ(t) 6 1 .0145Напомним также, что через X̃, где X — симметричное пространство на[0, 1], мы обозначаем банахову решетку на полуоси [1, ∞) с нормойkf kX̃ := kf (log e/t)kX .Предложение 3.2.35.
Пусть ϕ ∈ F, M — функция Орлича, а F — пространство Орлича LM (dm) на полуоси [1, ∞) с мерой dm = ϕ0 (e−p )e−p dp.Тогда имеют место следующие вложения:13eLXe ⊂ LF ⊂ X := ΛM (ϕ).Доказательство. Если 0 6= x ∈ LXe , то при λ := kxkL e получаемXZ11>M kxklog e/t /λ ϕ0 (t) dt >Z1/eM kxklog 1/t /λ ϕ0 (t) dt00Z∞=M kxkp /λ ϕ0 (e−p )e−p dp.1Поэтому x ∈ LF , и kxkLF 6 kxkL e .XПусть теперь 0 6= x ∈ LF , и λ := kxkLF .
ТогдаZ∞M kxkp /λ dm(p) 6 1.1Так как x ∈ Lp для всех p > 1, и x∗ (e−p ) 6 ekxkp , тоZ1/eZ∞M x∗ (t)/(eλ) ϕ0 (t) dt = M x∗ (e−p )/(eλ) e−p ϕ0 (e−p ) dp01Z∞6M kxkp /λ dm(p) 6 1.1146Следовательно ∗x χ[0,1/e] 6 ekxkLF .ΛM (ϕ)Объединяя это неравенство со следующими, имеющими место для любогосимметричного пространства X на [0, 1],kxkX 6 kx∗ χ[0,1/e] kX + kx∗ χ(1/e,1] kX 6 3kx∗ χ[0,1/e] kX ,получаемkxkΛM (ϕ) 6 3ekxkLF .Теорема 3.2.36. (i) Если ϕ ∈ ∆2 , то ΛM (ϕ) ∈ SE и ΛM (ϕ) = LF , где F— пространство из предложения 3.2.35.(ii) Если же функция M удовлетворяет ∆2 -условиюM (2u) 6 CM (u)для всех u > u0 , то верно и обратное: из ΛM (ϕ) ∈ SE следует ϕ ∈ ∆2 .Доказательство.
Согласно (1.7), пространство ΛM (ϕ) может быть получено с помощью конструкции Кальдерона-Лозановского, и является точным положительно-интерполяционным пространством по отношению к паре (Λ(ϕ), L∞ ). Пусть ϕ ∈ ∆2 . В этом случае по теореме 3.2.17 пространствоЛоренца Λ(ϕ) является сильно экстраполяционным, поэтому по теореме3.2.5 в Λ(ϕ) действует ограниченно оператор Sx(t) = x(t2 ). Оператор Sдействует также в L∞ и является положительным, поэтому, в силу интерполяционного свойства, оператор S действует и в ΛM (ϕ). Снова применяятеорему 3.2.5, получаем ΛM (ϕ) ∈ SE. Согласно определению сильно экстраполяционного пространства, в этом случае X = LX̃ , где X = ΛM (ϕ), ис помощью предложения 3.2.35 приходим к равенству ΛM (ϕ) = LF .147Условие ∆2 для функции M эквивалентно тому, что нижний показательрастяжения γψ функции ψ(t) := 1/M −1 (1/t), являющейся фундаментальной функцией пространства Орлича LM , больше нуля.
Если ΛM (ϕ) ∈ SE,то, согласно следствию 3.2.15, φΛM (ϕ) = ψ(ϕ) ∈ ∆2 . В комбинации с условием γψ > 0 дает ϕ ∈ ∆2 . Действительно, в противном случае для каждогоh > 0 найдется такое t ∈ (0, 1), что ϕ(t2 ) 6 hϕ(t). Но тогда, в силу неравенства γψ > 0, найдутся C > 0 и ε > 0 такие, чтоψ(ϕ(t2 )) ψ(hϕ(t))66 Chε .ψ(ϕ(t))ψ(ϕ(t))Но, в силу произвольности h > 0, это противоречит свойству φΛM (ϕ) ∈∆2 .Замечание 3.2.37. ∆2 -условие для функции M , которое используется вовторой части теоремы 3.2.36, равносильно сепарабельности пространстваΛM (ϕ) [158, Theorem 2.4].Замечание 3.2.38.
Согласно теореме 3.2.36 при ϕ ∈ ∆2 для нормы пространства Орлича-Лоренца имеет место следующее экстраполяционное соотношение:kxkΛM (ϕ) infZ∞λ>0:10 −p −pM kxkp /λ ϕ (e )e dp 6 1 .Замечание 3.2.39. В доказательстве теоремы 3.2.36 использовалась теорема 3.2.17. При этом вторая часть теоремы 3.2.36 может рассматриватьсякак обобщение теоремы 3.2.17. Обратно, анализируя доказательство теоремы 3.2.36, видим, что доказать теорему 3.2.17 можно было иначе: доказатьсначала теорему 3.2.17 только для пространств Лоренца Λ(ϕ), затем воспользоваться конструкцией Кальдерона-Лозановского и доказать теорему1483.2.36, и, наконец, получить теорему 3.2.17 как частный случай второй части теоремы 3.2.36.Фундаментальная функция φX (t) пространства X = ΛM (ϕ) имеет вид:φX (t) = ψ(ϕ(t)),где ψ(t) := 1/M −1 (1/t) — фундаментальная функция пространства Орлича LM .
Из теоремы 3.2.36 и следствия 3.2.15 вытекает, что при выполненииусловия ϕ ∈ ∆2 будет выполнено и условие φX ∈ ∆2 . Предположим теперь,что ψ ∈ ∆2 . Согласно теореме 3.2.20 и лемме 3.2.28 пространство ОрличаLM в этом случае совпадает с пространством Марцинкевича M(ψ) и является сильно экстраполяционным.
Кроме того, для некоторого λ > 0Z1M1λφX (t)Z1Mdϕ(t) =01λψ(ϕ(t))dϕ(t)0Z1M=1λψ(s)ds < ∞,0и, следовательно, 1/φX ∈ ΛM (ϕ). Поэтому, согласно лемме 1.1.3 и вложениям (1.3), пространство ΛM (ϕ) совпадает с пространством МарцинкевичаM(φX ). Однако, как показывает следующее утверждение, такое пространство может не быть сильно экстраполяционным.Утверждение 3.2.40. Для произвольной возрастающей вогнутой непрерывной функции ψ на [0, 1] c ψ(0) = 0 и ψ(1) = 1 найдется функция ϕ стакими же свойствами, для которой ψ(ϕ) 6∈ ∆2 .Доказательство. Для заданной функции ψ построим индуктивно точки1 = t0 > t1 > t21 > t2 > t22 > t3 > · · · > 0, а также две последовательности149чисел 1 = b0 > b1 > b2 > · · · > 0 и 0 = k0 < k1 < k2 < .
. . со свойствамиlimn→∞ bn = 0 и km tm+1 + bm = km+1 tm+1 + bm+1 таким образом, чтобыфункция ψ(ϕ) удовлетворяла нужными свойствами, где кусочно-линейнаяфункция ϕ определяется равенствами ϕ(t) = km t + bm при t ∈ [tm+1 , tm ](m = 0, 1, 2, . . . ) и ϕ(0) = 0.Положим ϕ(t0 ) = 1. Предположим теперь, что числа 1 = t0 > t1 >t21 > t2 > t22 > t3 > · · · > t2n−1 > tn , 1 = b0 > b1 > b2 > · · · > bnи 0 = k0 < k1 < k2 < · · · < kn уже выбраны. Пусть n > 0, а точкаtn+1 ∈ (0, t2n ) удовлетворяет условиямkn t2n+1 + bn tn+1 <bn4(3.28)иψ 2(kn t2n+1 + bn tn+1 ) <bn.n+1(3.29)Возьмем теперь kn+1 и bn+1 таким образом, чтобы точки с координатами(tn+1 , kn tn+1 + bn ) и (t2n+1 , 2(kn t2n+1 + bn tn+1 )) лежали на прямой y = kn+1 t +bn+1 .
Несложные вычисления показывают, что kn+1 > kn (n = 0, 1, 2, . . . ),bn+1 > 0, и в силу (3.28) bn+1 6 bn /2 (n = 0, 1, 2, . . . ), откуда bn ↓ 0. Крометого, ψ(ϕ(tn+1 )) = ψ(kn tn+1 + bn ) > kn tn+1 + bn > bn , и из (3.29) следует,что ψ(ϕ(t2n+1 )) < bn /(n + 1). Поэтому ψ(ϕ) 6∈ ∆2 .Отметим, что условие φX ∈ ∆2 , где X = ΛM (ϕ), может выполнятьсяи в случае, когда не выполнены ни условие ϕ ∈ ∆2 , ни условие ψ(t) =1/M −1 (1/t) ∈ ∆2 .Пример 3.2.41. Рассмотрим возрастающую вогнутую функцию на [0, 1]такую, что ϕ(t) exp(− log2 log 1/t) (0 < t 6 1/e).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
