Диссертация (1154386), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так как∞∞ mi −1XXX311ni −k∆k 6++2·63/210k 2 i=0nik≥0k=1k=niX∞∞X 1X 13π26++263+2< ∞,k3/2106nn0i=0ik=1то условие 2) также выполняется.Осталось проверить условие 3). Если k = 0, 1, 2, оно очевидно. Еслиk, k + 1 6∈ [ni , mi ), то∆k(k + 1)2=6 2,∆k+1k2135так как k > 3. Если k, k + 1 ∈ [ni , mi ), то∆k∆k+1= 2 по определению ∆k . Вслучае k = ni − 1 при некотором i = 0, 1, . .
.3/2∆knin2i=66 2,∆k+1(ni − 1)2(ni − 1)2так как ni > 4. Осталось рассмотреть последнюю ситуацию, когда k =mi − 1. Используя определение mi в (3.20), получаем∆k2ni −(mi −1) m2im2i=66 2,3/2∆k+1(mi − 1)2niтак как mi > 4.Итак, ϕ ∈ F1 . Для проверки (3.18) достаточно убедиться в том, что∆ni= ∞.i→+∞ ∆2nilim√Так как ni+1 − 2ni = n2i − 2ni > 0 и mi 6 ni + ni < 2ni , то 2ni ∈ (mi , ni+1 )и поэтому ∆2ni =1(2ni )2 .Следовательно,√∆ni(2ni )2= 3/2 = 4 ni → +∞,∆2niniи тем самым (3.18) выполнено.При проверке (3.17) можно, конечно, считать, что n > 4. Ввиду (3.20)для k ∈ [ni , mi )12ni −k<= ∆k .3/2k2niПоэтому сумму из правой части (3.17) можно оценить снизу следующимобразом:Xk>2nX 11∆k >>, n = 1, 2, . .
.k22n(3.21)k>2nСумму из левой части (3.17) представим в видеXk>n∆k =2n−1X∆k +k=n136Xk>2n∆k .(3.22)Предположим, что существует i такое, что [ni , mi ] ∩ [n, 2n − 1] 6= ∅ (какранее отмечалось, такой индекс i может быть только один). Тогда перваясумма справа в (3.22) оценивается следующим образом:2n−1X∆k 62n−1Xk=nk=nmi −1X122+∆k 6 + .2kn nik=niТак какn < mi 6 ni +√ni < 2ni ,то ni > n2 , и поэтому ввиду (3.21)2n−1X∆k 6k=nX66 12∆k .nk≥2nВ итоге, используя (3.22), получаем, чтоX∆k 6 13k>nX∆k ,k>2nт.е. условие (3.17) выполнено.Замечание 3.2.19. Только что построенный пример показывает, что существуют функции ϕ ∈ ∆2 , которые не удовлетворяют условию (3.14).
Дляних не применимы результаты работы [169], но применима теорема 3.2.17.В то же время следует сказать о том, что построенная функция ϕ(t) эквивалентна функции log−1 (10/t), для которой (3.14), как легко проверить,выполнено. Дело в том, что условие (3.14) (в отличие от условия ϕ ∈ ∆2 )не инвариантно относительно перехода к эквивалентным функциям.Перейдем теперь к пространствам Марцинкевича. Для начала заметим,что если ϕ ∈ ∆2 , то верхний показатель растяжения δϕ = 0. Действительно,137из условия ϕ ∈ ∆2 следует, что для любого n ∈ N существует константаCn такая, что−nϕ(t2 ) 6 Cn ϕ(t)для всех t ∈ [0, 1].Поэтому при s > 1 и t ∈ (0, 1/s) с помощью свойств квазивогнутости ϕполучаем оценку−n−n−n−n−n−nϕ(st) ϕ(st1−2 · t2 ) ϕ(s2 · t2 ) s2 · ϕ(t2 )−n=666 Cn s2 .ϕ(t)ϕ(t)ϕ(t)ϕ(t)Следовательно, для функции растяжения выполняется неравенствоMϕ (s) =ϕ(st)−n6 Cn s2 ,0<t6min(1,1/s) ϕ(t)supа для показателя растяжения оценки2−n log slog Mϕ (s)6 lim= 2−n0 6 δϕ = lims→+∞s→+∞log slog sприводят к равенству δϕ = 0.
Так как при δϕ < 1 имеет место эквивалентность (см. [32, теорема II.5.3])kxkM(ϕ) sup x∗ (t)ϕ(t),0<t61то далее мы будем использовать эту формулу для ϕ ∈ ∆2 без дополнительных оговорок.Теорема 3.2.20. Пространство Марцинкевича M(ϕ) сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда ϕ ∈ ∆2 .Доказательство. Согласно теореме 3.2.5 и следствию 3.2.15 нам достаточно доказать, что при ϕ ∈ ∆2 в пространстве M(ϕ) действует операторSx(t) = x(t2 ).
Если ϕ ∈ ∆2 , тоkSx∗ kM(ϕ) sup x∗ (t2 )ϕ(t) 6 C sup x∗ (t2 )ϕ(t2 ) kx∗ kM(ϕ) .0<t610<t61Теперь с помощью леммы 3.2.6 получаем нужное утверждение.138С помощью теоремы 3.2.20 и с учетом замечания 3.2.9, в соответствиис определением сильно экстраполяционного пространства получаем следующее явное экстраполяционное описание пространств Марцинкевича.Следствие 3.2.21.
СоотношениеkxkM(ϕ) sup ϕ(2−p )kxkp(3.23)16p<∞имеет место тогда и только тогда, когда ϕ ∈ ∆2 .Замечание 3.2.22. Для ϕ ∈ ∆2 cоотношения (3.16) и (3.23) могут бытьполучены также из общей теории экстраполяции Яверса-Мильмана с помощью функторов ∆(r) . Покажем это в случае пространства Марцинкевича.Если ϕ ∈ ∆2 , то вес ω(p) := ϕ(2−p ) будет умеренным, и поэтому, согласно [181, formula (4.6)],kxk∆(ϕ(2−p )Lp ) sups>0K(s, x; L1 , L∞ ),τ (s)(3.24)гдеτ (t) =t.supp>1 ϕ(2−p )t1/p1С одной стороны supp>1 ϕ(2−p )t p > ϕ(t)/2 для всех t < 12 . Обратно, пустьt = 2−p1 , а C — константа из неравенства (3.11).
В случае, когда p > p1 ,имеем ϕ(2−p )t1/p 6 ϕ(t). Если же p 6 p1 , то p1 ∈ [2n−1 p, 2n p] для некоторогонатурального n. Поэтомуnn−1ϕ(2−p )t1/p 6 C n ϕ(2−2 p )2−p1 /p 6 C n 2−2n−1где C1 = supn∈N C n 2−2< ∞. Следовательно,sup ϕ(2−p )t1/p ϕ(t),p>1139ϕ(t) 6 C1 ϕ(t),и, таким образом, τ (t) t/ϕ(t). Поэтому из (3.24) следуетsup ϕ(2−p )kxkp = kxk∆(ϕ(2−p )Lp )16p<∞ϕ(s) supss>0Zsx∗ (t) dt = kxkM(ϕ) ,0и мы приходим к (3.23).В некоторых вопросах анализа полезно следующее понятие, введенноевпервые Пустыльником в работе [194].Определение 3.2.23.
Симметричное пространство X называется ультрасимметричным, если оно является интерполяционным относительно пары(Λ(ϕ), M(ϕ)).Замечание 3.2.24. Если пространство X интерполяционно относительно пары (Λ(ϕ), M(ϕ)), то его фундаментальная функция φX (t) будет эквивалентна функции ϕ(t). Действительно, согласно теореме АроншайнаГальярдо [11, глава 2, параграф 5] существует точный интерполяционныйфунктор I такой, что I(Λ(ϕ), M(ϕ)) = X. Рассматривая оператор вложения Tin : Λ(ϕ) → M(ϕ) и его коограничение на Λ(ϕ), получаем, чтооператор Tin ограничен из I(Λ(ϕ), Λ(ϕ)) = Λ(ϕ) в I(Λ(ϕ), M(ϕ)) = X. Вчастности,φX (t) = kχ(0,t) kX = kTin (χ(0,t) )kX 6 Ckχ(0,t) kΛ(ϕ) = Cϕ(t).Рассматривая тождественный оператор Tid : M(ϕ) → M(ϕ) и его ограничение на Λ(ϕ), аналогичным образом приходим к неравенствуϕ(t) 6 CφX (t).Из теорем 3.2.17 и 3.2.20 с учетом последнего замечания получаем следующее утверждение.140Теорема 3.2.25.
Ультрасимметричное пространство X сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда его фундаментальная функцияудовлетворяет ∆2 -условию.Следствие 3.2.26. Пространство X из примера 3.2.16 не является ультрасимметричным.Простой пример ультрасимметричного пространства дает сепарабельная часть пространства Марцинкевича M0 (ϕ). Покажем это. Так как L∞ ⊂Λ(ϕ) ⊂ M0 (ϕ), то M0 (ϕ) совпадает с замыканием Λ(ϕ) в M(ϕ). Предположим, что линейный оператор T действует ограниченно в Λ(ϕ) и в M(ϕ).Пусть x ∈ M0 (ϕ), xn ∈ Λ(ϕ), и xn → x в M(ϕ). Тогда T xn ∈ Λ(ϕ) иkT x − T xn kM(ϕ) → 0. Поэтому T x ∈ M0 (ϕ), иkT xkM0 (ϕ) 6 kT (x − xn )kM(ϕ) + kT xn kM(ϕ)6 C kx − xn kM(ϕ) + kxn kM(ϕ) −→ CkxkM0 (ϕ)n→∞Следствие 3.2.27.
Пространство M0 (ϕ) сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда ϕ ∈ ∆2 .Таким образом, в случае ϕ ∈ ∆2 пространство M0 (ϕ) состоит из всехфункций x таких, чтоlim kxkp ϕ(e−p ) = 0.p→+∞Приведем теперь результаты о сильно экстраполяционных пространствах Орлича. Прежде всего мы покажем, что сильно экстраполяционныепространства Орлича совпадают с пространствами Марцинкевича (и обратно, каждое сильно экстраполяционное пространство Марцинкевича является пространством Орлича). Тем не менее, есть смысл рассматриватьпространства Орлича сами по себе, так как они задаются другой нормой и141с помощью другого параметра (выпуклой функции M ). Кроме того, далее,при рассмотрении приложений теории экстраполяции, нам будет удобнеепользоваться именно пространствами Орлича.Напомним, что пространство Орлича LM при при выполнении условий(1.1) и (1.2) из параграфа 1.1 совпадает с пространством МарцинкевичаM(ϕ).
Условие (1.1), в силу возрастания функции M , равносильно тому,что для некоторых c1 и c2111M6 6M, t ∈ (0, 1].c1 ϕ(t)tc2 ϕ(t)(3.25)Для проверки условия M (ϕ) = LM в некоторых случаях удобно пользоваться следующей леммой.Лемма 3.2.28. Пусть ϕ ∈ F. Если существует функцияα = α(t) : [0, t0 ] → [0, 1]такая, чтоϕ(α(t)) 6 Cϕ(t), t ∈ [0, t0 ],иZt0dt< ∞,α(t)0для некоторых C и t0 , то M (ϕ) = LM .Доказательство. В условиях леммы для λ0 = c1 C из эквивалентности(3.25) получаемZt0M0Zt0 Zt011dtdt 6 Mdt 6< ∞,λ0 ϕ(t)c1 ϕ(α(t))α(t)00и, следовательно, выполнено (1.2).142Условия леммы выполняются, в частности, для ϕ ∈ ∆2 (достаточно√положить α(t) = t).
При этом из (3.25) следует, что условие ϕ ∈ ∆2эквивалентно следующему условию для соответствующей функции ОрличаM (u) ∼ 1/ϕ−1 (1/u): существует C > 0 такое, чтоM (u)2 6 M (Cu)(3.26)для всех достаточно больших u. Условие (3.26) для функций Орлича хорошо известно (см. например, [30]), именно это условие и называется обычно∆2 -условием, и в этом случае мы будем писать M ∈ ∆2 . Из контекста всегда будет ясно, идет речь о функции Орлича, или о вогнутой функции,например, из класса F. В силу эквивалентности в случае выполнения ∆2 условия норм Орлича и Марцинкевича, получаем следующее утверждение.Теорема 3.2.29. Пространство Орлича LM сильно экстраполяционно тогда и только тогда, когда M ∈ ∆2 .Следствие 3.2.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
