Диссертация (1154386), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Несложно проверить,что ϕ(ϕ) ∈ ∆2 , но при этом ϕ 6∈ ∆2 .1503.2.3Аналог понятия сильно экстраполяционного пространства для шкалы {`p} и классов Шаттенафон НейманаВ этом и следующем параграфе мы покажем, что понятие сильно экстраполяционного пространства не является специфическим для шкалы пространств {Lp [0, 1]}. Оно допускает обобщение на другие шкалы и дает точную связь между интерполяционными и экстраполяционными конструкциями.В настоящем параграфе будут рассматриваться пространства односторонних числовых последовательностей, элементы которых имеют вид x ={xn }∞n=1 . Во избежание громоздкости обозначений вместо формально правильной записиk{xn }∞n=1 kдля нормы элемента x = {xn }∞n=1 мы будем использовать и сокращеннуюзапись видаkxn k.Так как буква n в подобных выражениях на протяжении всего параграфабудет закреплена за индексом координаты элемента x = {xn }∞n=1 , обозначенное сокращение не должно приводить к путанице.Докажем сначала вспомогательную лемму, дающую поточечную оценкуK-функционала пары (`1 , `∞ ) через `p -нормы и наоборот.Лемма 3.2.42.
Пусть n > 3, p = p(n) =log nlog n−1 ,а последовательностьx = {xk }∞k=1 неотрицательна и невозрастает. Тогда для всех n и x вы-151полняются неравенстваnXe−1∞Xxj 6 kxk`p 6 ej=1ke−2k−1n2Xxj .j=1k=0Доказательство. Докажем сначала левое неравенство:e−1nnXX−1 1xj 6 ne−1xj = nen j=1j=1n1X pxn j=1 j! p116 n1− p e−1 kxk`p = kxk`p .Чтобы доказать правое неравенство, воспользуемся вложением `p,1 в `p :kxk`p 6∞X1p1pxj (j − (j − 1) ) 6j=1=nX6j=11xj j p −1j=12k+11xj j p −1 +j=1nX∞X∞nXXk=0xj +∞X1xj j p −1 6k+1ke−2j=1k=0xj +j=1j=n2k +12nXnXxj 6 e∞X∞ Xk+1n2ke−2k−1n2Xxjj=n2k +1k=02 p1 −1 nXkxj .j=1k=0Далее через {x∗j }∞j=1 мы обозначаем невозрастающую перестановку последовательности {|xj |}∞j=1 .Теорема 3.2.43.
Пусть X — симметричное пространство последовательностей, и норма в X имеет следующее интерполяционное представление: n X ∞ kxkX x∗j ,n=1 j=1Fгде F — некоторая банахова идеальная решетка последовательностей.Предположим также, что в F действует ограниченно оператор S :152{fn } → {fn2 }. Тогда пространство X — сильно экстраполяционно,т.е.∞ ∞ n X∗ ,kxkxj `p(n)n=1 Fn=1j=1где p(n) =log nlog n−1 ,Fn > 3 (можно считать, что p(1) = p(2) = ∞).Доказательство.
Левое неравенство леммы 3.2.42 дает оценку nX ∗xj 6 ekxk`p(n) .Fj=1FПоэтому для доказательства теоремы остается проверить, чтоnX∗xj .kxk`p(n) 6 C Fj=1FСогласно лемме 3.2.42 и неравенству треугольника для F k ()∞ X∞∞nn2XXX−2k−1 ∗−2k−1 k ∗ex=eeSxkxk`p(n) 6 ejjF j=1 j=1k=0k=0n=1FF∞nXXk−16 ee−2 kSkkF →F x∗j ,k=0j=1Fоткуда nX x∗j .kxk`p(n) 6 C Fj=1FВ следствиях 3.2.44 и 3.2.45 участвуют все `p -нормы для p ∈ (1, p0 ).Можно показать, что для рассматриваемых пространств такой непрерывный вариант экстраполяции эквивалентен дискретному из утверждениятеоремы 3.2.43.
В этих утверждениях в качестве F мы используем пространство L∞ с весом, т.е. применяем частный случай F-метода, соответствующий экстраполяционному функтору пересечения ∆ [181, раздел 4].153Поэтому эти следствия могут быть получены и из общей теории экстраполяции. Однако теорема 3.2.43 дает новый взгляд на представленные экстраполяционные соотношения, поясняет происхождение соответствующихпараметров и позволяет получать аналогичные утверждения не только дляпространств Марцинкевича. Аналогичное замечание применимо и к следствию 3.2.47 далее (относительно классов Шаттена-фон Неймана см.
[181,пункт 5.2]).Следствие 3.2.44. По убывающей функции w(p) : [0, +∞) → R+ определим пространство МарцинкевичаM(w) := {x = (x1 , x2 , ...) : kxkM(w) := supnXn∈N i=1x∗i w(log n) < ∞}.Предположим, что существует C > 0 такое, чтоw(p) 6 Cw(2p) для всех p ∈ [0, +∞).Тогда∆1<p<p0 w(p0 )`p = M(w),иsup w(p0 )kxk`p sup1<p<p0где p0 =pp−1 ,n>n0nX!x∗i w(log n),i=1a p0 > 1 и n0 ∈ N произвольны.Следствие 3.2.45.
Пусть α > 0. Тогда для любого p0 > 1 и n0 ∈ NPn∗j=1 xjαsup (p − 1) kxk`p supαn>n0 log n1<p<p0Предположим теперь, что H — сепарабельное гильбертово пространство. Напомним, что класс Шаттена-фон Неймана Sp состоит из компакт154ных операторов T : H → H, для которых конечна норма! p1∞XkT kp :=spj,j=1где {sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T ,sj → 0, определяемая разложением Шмидта (см., например, [92, глава3, параграф 4]).
Классы Шаттена-фон Неймана являются двустороннимиидеалами и относятся к симметрично-нормированным идеалам (см. [20,глава III]). Оказывается, что нормы многих симметрично-нормированныхидеалов могут быть выражены через нормы Шаттена-фон Неймана с помощью экстраполяционнго соотношения, представленного в следующей теореме.
Через S∞ мы обозначаем класс всех компактных операторов с операторной нормой.Теорема 3.2.46. Предположим, что банахова решетка F удовлетворяет условию теоремы 3.2.43, а X — симметрично-нормированный идеалкомпактных операторов в гильбертовом пространстве H, определяемыйусловием конечности нормы n X ∞ kT kX := sj ,n=1 j=1Fгде {sj }∞j=1 — невозрастающая последовательность s-чисел оператора T .ТогдаX = F({Sp(n) }∞n=1 ),где p(n) =log nlog n−1 ,n > 3, и p(1) = p(2) := ∞. Кроме того,∞ ,kT kX kTkp(n)n=1 Fгде kT kp(n) — норма Шаттена-фон Неймана оператора T при p(n) =log nlog n−1 ,n > 3, и kT kp(1) = kT kp(2) := kT kH→H .155Доказательство. Доказательство получается непосредственным применением теоремы 3.2.43 к выражению для идеальной нормы оператора черезs-числа: nX ∞ sj {sj }j=1 ` = kT kp(n) .kT kX = p(n) FFj=1FСледствие 3.2.47.
Пусть α > 0, а MHα — сопряженный к классу Мацаева идеал компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H, с нормойPnkT kMHα := supn>1j=1 sj,αlog nгде {sj }∞j=1 — последовательность s-чисел оператора T . Тогда для любогоp0 > 1 имеет место экстраполяционное соотношение∆1<p<p0 (p − 1)α Sp = MHα ,где Sp — идеалы Шаттена-фон Неймана.В качестве примера приложения теоремы 3.2.46 приведем результат освязи между попаданием действительной и мнимой компоненты вольтеррова оператора в определенные симметрично-нормированные идеалы.
Напомним, что компактный оператор называется вольтерровым, если его спектрсостоит из одной точки {0}. Обозначим через11TR := (T + T ∗ ) и TJ := (T − T ∗ ),22iсоответственно, действительную и мнимую компоненту оператора T . Напомним, что согласно результату В.И. Мацаева (см. [82, теорема 1] или156[21, теорема III.6.2]), для вольтеррова оператора T из условия TJ ∈ Sp ,1 < p < ∞, следует TR ∈ Sp . При этом (см.
[21, теорема III.6.3]),pkTR kp 6 max, p · kTJ kp , 1 < p < ∞.p−1(3.30)Кроме того, если AJ ∈ S1 , то AR ∈ SΩ , где симметрично-нормированныйидеал SΩ состоит из операторов, для которых конечна нормаPnj=1 sj (A)kAkΩ := sup Pn−1nj=1 (2j − 1)(см. [19, теорема 3] или [21, теорема III.2.1]). Обобщением последнего результата на широкий класс симметрично-нормированных идеалов являетсяследующая теорема.Теорема 3.2.48. Предположим, что идеал X удовлетворяет условиямтеоремы 3.2.46.
Если T — вольтерров оператор, и TJ ∈ X , то TR ∈X (log−1 ), где идеал X (log−1 ) определяется условием конечности нормы∞ nX1kT kX (log−1 ) := sj . log(en)n=1 j=1FДоказательство. Сначала отметим, что если в F ограничен оператор S :∞{fn }∞n=1 → {fn2 }n=1 , то в банаховой решетке последовательностей, опреде-ленной условием конечности нормы 1fn log(en) ,F157оператор S также ограничен.
Действительно, 1122=2ff log((en)2 ) n log(en) n F F126 2fn log(en2 ) F ∞ 1S= 2fnlog(en)n=1F 16 C log(en) fn .FСледовательно, симметрично-нормированный идеал X (log−1 ), также каки X , удовлетворяет условию теоремы 3.2.46. Поэтому из теоремы 3.2.46и теоремы Банаха об обратном операторе (сравните с замечанием 3.1.3)следует, чтоkT kX kT kp(n) · χ{k>10} (n) ,FиkT kX (log−1 ) 1 ,kTk·χ(n){k>10}p(n) log(en)Fгде χ{k>10} — характеристическая функция (индикатор) множества натуральных чисел, не меньших 10. Заметим, что при n > 10 справедливонеравенство p(n) =log nlog n−1< 2.
Учитывая теперь неравенства (3.30), приусловии TJ ∈ X получаем 1kTR kX (log−1 ) 6 C kTk·χ(n)R{k>10}p(n) log(en)F 1p(n)6 C··kTk·χ(n)J p(n){k>10} log(en) p(n) − 1F log n= C log(en) · kTJ kp(n) · χ{k>10} (n)F6 C kTJ kp(n) · χ{k>10} (n)F6 CkTJ kX .158Исследуем теперь вопрос об обратимости теоремы 3.2.43.
В силу Kмонотонности банаховой пары (`1 , `∞ ) и свойства K-делимости, любое симметричное пространство X, интерполяционное относительно пары (`1 , `∞ ),имеет интерполяционное представление из формулировки теоремы. Крометого, соответствующая банахова решетка может быть выбрана следующимминимальным способом:(Fmin : =f={fn }∞n=1: |fn | 6∞ XnXi=1 j=1∞Xгде xi = {xi,j }∞j=1 ∈ X, иx∗i,j ,)kxi kX < ∞ .i=1При этом роль нормы в Fmin может выполнять величинаkf kFmin := inf∞Xkxi kX ,i=1где инфимум берется по всем {xi }∞i=1 , для которых |fn | 6P∞ Pni=1∗j=1 xi,j .Следующая теорема показывает, что в случае F = Fmin утверждение теоремы 3.2.43 обратимо.Теорема 3.2.49. Пусть X — симметричное пространство последовательностей с минимальным интерполяционным представлением: n X ∞ kxkX x∗j .n=1 j=1FminТогда следующие условия эквивалентны:1) в Fmin действует ограниченно оператор S : {fn } → {fn2 };2) n∞ X ∞ ∗ ,xjkxk `p(n)n=1n=1 Fminj=1F159где p(n) =log nlog n−1 ,n > 3, и p(1) = p(2) = ∞.Доказательство.
Импликация 1)⇒2) доказана в теореме 3.2.43. Заметимтеперь, что при p = p(n) =2e−2nXj=1log nlog n−12xjnX2 −2 1= nexj 6 n2 e−22n j=1n1 X|xj |p2n j=1! p116 n2(1− p ) e−2 kxk`p = kxk`p .Поэтому из условия 2) следует, что с некоторой константой C > 0, независящей от x ∈ X, выполняется неравенство n n2 XX∗∗xj xj .6 C j=1 j=1FFminminЕсли теперь f = {fn } ∈ Fmin , то выберем последовательность {xi } ⊂ Xтак, чтобы выпонялись неравенстваn∞ XXx∗i,j и|fn | 6∞Xi=1 j=1kxi kX 6 2kf kFmin .i=1ТогдаkSf kFmin = k{fn2 }kFmin 6∗ xi,j j=1∞ Xn2Xi=16 CFmin∞X n∞ XX∗ 6Cxi,j i=1j=1Fminkxi kX 6 Ck{fn }kFmin .i=13.2.4Сильно экстраполяционные пространства дляпроизвольных интерполяционных шкалВ следующей теореме описан подкласс F-экстраполяционных пространствпо отношению к шкале пространств {Aθ,q }θ∈(0,1) вещественного метода ин160терполяции для произвольной вложенной банаховой пары (A0 , A1 ), A0 ⊂A1 , совпадающий в случае пары (L∞ [0, 1], L1 [0, 1]) с изученным нами вышеклассом SE сильно экстраполяционных пространств.~ = (A0 , A1 ) — банахова пара, A0 ⊂ A1 , а X —Теорема 3.2.50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
