Диссертация (1154386), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так как ϕ̃0 ∈ M(ϕ), то f (p) :=kϕ̃0 k0p,∞ ∈ F , и, следовательно, любая функция g ∈ L∞ (ω1 ) также принадлежит F . Таким образом имеет место вложение L∞ (ω1 ) ⊂ F , откудаL0L∞ (ω1 ) ⊂ L0F = M(ϕ) ⊂ L0L∞ (ω1 ) ,и, следовательно, выполнено (ii).Импликация (ii)⇒(iii) тривиальна. Так как неравенство, противоположное (3.47), является следствием вложения M(ϕ) ⊂ L0L∞ (w1 ) , то из (iii) следует (iv) с ω = ω1 . Далее, если выполнено (iv), тоϕ(v),v∈(0,1] v 1/pω(p) 6 C infоткудаϕ(t) sup ω(p) t1/pp>1ϕ(v)6 C sup inf 1/pp>1 v∈(0,1] vt1/p 6 C supp>1ϕ(t) 1/pt = Cϕ(t),t1/pи мы получаем (v).Eсли для функции ϕ выполняется условие (3.48) с некоторой весовойфункцией ω, то фундаментальная функция пространство МарцинкевичаL0L∞ (ω) эквивалентна ϕ, и поэтому L0L∞ (ω) = M(ϕ), откуда M(ϕ) ∈ EF .193Так как импликация (v)⇒(iv) очевидна, то эквивалентность условий (i)–(v) доказана.Рассмотрим теперь функцию ϕ1 (t) := supp>1 ω(p)t1/p . Так как функцияlog ϕ1 (es ) = sup (log ω(p) + s/p)p>1является супремумом линейных функций, то она выпукла при s = log t ∈(−∞, 0].
Обозначая эту функцию через ψ(t), приходим к равенству ϕ1 (t) =eψ(log t) . Таким образом из (iv) следует (vi).Обратно, пусть имеет место представление (vi). Так как ϕ квазивогнута, то функцию ψ можно заменить на выпуклую возрастающую неположительную функцию, оставляя справедливой эквивалентность из (vi). Таковой ее и будем считать. Доопределяя функцию ψ(s) значением +∞ на(0, +∞), с помощью теоремы Фенхеля-Моро [200, Замечание 1.63, p. 26]получаем представлениеψ(s) =(us − ψ ∗ (u)) ,supu∈(−∞,+∞)где ψ ∗ (u) — сопряженная по Лежандру к ψ(s) функция:ψ ∗ (u) =sup(su − ψ(s)) =s∈(−∞,+∞)sup (su − ψ(s)) .s∈(−∞,0]Исключая тривиальный случай M(ϕ) = L∞ , считаем, что limt→0 ϕ(t) = 0,и, следовательно, lims→−∞ ψ(s) = −∞.
В этом случае ψ ∗ (u) = +∞ приu 6 0 и представление для ψ можно уточнить:ψ(s) =(us − ψ ∗ (u)) .supu∈(0,+∞)Поэтомуϕ(t) eψ(log t) =supu∈(0,+∞)194tu e−ψ∗(u).Так как lims→−∞ ψ(s) = −∞, то limu→0+ ψ ∗ (u) = +∞. Кроме того, функция ψ ∗ (u)0 является производной выпуклой функции, и, следовательно, возрастает.
Используя эти наблюдения и выражение для производной функции ht (u) := tu e−ψ∗(u):ht (u)0 = tu e−ψ∗(u)(log t − ψ ∗ (u)0 ),приходим к выводу, что для достаточно малых t функция ht (u) имеет единственную точку максимума, и эта точка принадлежит промежутку (0, 1].Поэтому при достаточно малых tϕ(t) eψ(log t) = sup tu e−ψu∈(0,1]где ω(p) = e−ψ∗(1/p)∗(u)= sup ω(p)t1/p ,p>1.
Таким образом из (vi) следует (iv).Замечание 3.4.5. Из теоремы 3.4.4 следует равносильность условия (v) ипредставленияϕ(t) supp>1t1/p,kϕe0 k0p,∞0 < t 6 1.На самом деле соответствующие множители перед t1/p просто равны, таккак0kϕ̃0 kp,∞3.4.2t1/p= supt∈(0,1] tZt0t1/pϕ̃0 (s) ds = sup=ϕ(t)t∈(0,1]ϕ(v)inf 1/pv∈(0,1] v−1.Пересечение пространств {Lp}p<∞Предположим, что неотрицательная функция ω = ω(p) является умеренной в ∞, т.е., ω(2p) ω(p) при p → ∞. В этом случае из (2.4) и пункта (ii)теоремы 2.1.1 следует, что∆16p<∞ (ω(p)Lp ) = ∆16p<∞ (ω(p)Lp,∞ ) = M(ϕ),195(3.49)где ϕ(t) = supp>1 ω(p) t1/p , 0 < t 6 1.
В то время, как второе равенствов (3.49) выполняется для каждой весовой функции ω (см. начало предыдущего раздела), первое может нарушаться. Здесь мы найдем, в терминахфункции ϕ необходимые и достаточные условия для справедливости первого равенства в (3.49).Пусть ϕ — квазивогнутая функция, и ϕ̃(t) = t/ϕ(t). Если limt→0+ ϕ̃(t) >0, мы можем считать, что ϕ(t) = t, и следовательно M(ϕ) = L1 . В противном случае ϕ̃ является абсолютно непрерывной функцией и поэтому почтивсюду существует производная ϕ̃0 .
Предположим, чтоlim ϕ̃(t) = 0 и ϕ̃0 ∈ Lp для всех p < ∞.t→0+(3.50)Из определения нормы в пространстве Марцинкевича имеемZsx∗ (t)dt 6 kxkM(ϕ) ·0Zsϕ̃0 (t)dt, 0 < s 6 1.0Следовательно, так как Lp является точным экстраполяционным пространством по отношению к паре (L1 , L∞ ), согласно теореме Кальдерона-Митягина (см., например, [32, теорема 2.4.3]), из (3.50) мы получаем, что x ∈ Lpдля всех 1 6 p < ∞ иkxkp 6 kxkM(ϕ) · kϕ̃0 kp ,1 6 p < ∞,илиsupp>1kxkp6 kxkM(ϕ) .kϕ̃0 kpПоследнее неравенство означает, чтоM(ϕ) ⊂ LL∞ (ω2 ) ,196(3.51)где ω2 (p) := 1/kϕ̃0 kp .
Теорема 3.4.6 далее показывает, какие условия достаточны для обратного вложения. Она проявляет также особую роль весовых L∞ -пространств, которую они играют при экстраполяционном описании пространств Марцинкевича. В предыдущем разделе мы видели, чтоусловие (3.48) является необходимым и достаточным для принадлежностиM(ϕ) классу EF0 . Поэтому из условия M(ϕ) ∈ EF следует M(ϕ) ∈ EF0 .Теорема 3.4.6 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобывыполнялась обратная импликация (или, равносильно, первое равенство в(3.49)).Теорема 3.4.6. Предположим, что ϕ является квазивогнутой функциейна [0, 1] такой, что limt→0 ϕ(t) = 0 иϕ(t) sup ω(p) t1/pp>1для некоторой весовой функции ω : (1, ∞) → [0, ∞). Следующие условияравносильны:(i) M(ϕ) ∈ EF .(ii) M(ϕ) = LL∞ (ω2 ) , где ω2 (p) := 1/kϕ̃0 kp .(iii) LL∞ (w2 ) = L0L∞ (w1 ) , где w2 (p) = 1/kϕe0 kp и w1 (p) = 1/kϕe0 k0p,∞ .(iv)t1/pt1/psup 0 sup 0 0 ,p>1 kϕ̃ kpp>1 kϕ̃ kp,∞0 < t 6 1.(v)0kϕ̃0 kp kϕ̃0 kp,∞ ,1971 6 p < ∞.(vi) Существует константа C > 0 такая, чтоt1/pϕ(t) 6 C sup 0 ,p>1 kϕ̃ kp0 < t 6 1.(3.52)Доказательство.
Прежде всего, заметим, что соотношения (3.50) являются следствием общих предположений доказываемой теоремы, поэтомуимеет место вложение (3.51). Импликация (i)⇒(ii) доказывается также, каксоответствующая импликация теоремы 3.4.4. Из самой теоремы 3.4.4 следует также импликация (ii)⇒(iii). Импликация (iii)⇒(iv) отражает свойствоэквивалентности фундаментальных функций совпадающих пространств.(iv) ⇒ (v). Заметим, что согласно неравенству Гельдера функция M1 ,определяемая формулой M1 (s) = log kϕ̃0 k1/s выпукла на (0, 1]. Кроме того,ясно, чтоkϕe0 k0p,∞t1/p= sup= exp0<t61 ϕ(t)1sup0<t61plog t − log ϕ(t) ,1 6 p < ∞,и поэтому функция M2 (s) := log kϕe0 k01/s,∞ также выпукла на (0, 1].
Следовательно, наши предположения даютsup ts e−M1 (s) sup ts e−M2 (s) ,0<s610<s610 < t 6 1.Распространим функции M1 и M2 на всю вещественную ось R, полагаяMi (s) := +∞ при s 6 0 и Mi (s) = Mi (1) при s > 1 (i = 1, 2). Тогда M1 и M2становятся невозрастающими выпуклыми функциями на R и предыдущуюэквивалентность можно переписать в следующем виде:exp sup(s log t − M1 (s)) exp sup(s log t − M2 (s)) ,s∈Rs∈RСледовательно,exp {M1∗ (log t)} exp {M2∗ (log t)} ,1980 < t 6 1,0 < t 6 1.где M1∗ и M2∗ — сопряженные по Лежандру функции к функциям M1 и M2соответственно. Так как M1∗ (u) = M2∗ (u) = +∞ при u > 0, из последнейэквивалентности следует, чтоM1∗ (u) − C 6 M2∗ (u) 6 M1∗ (u) + C,u ∈ R,с некоторой положительной константой C.
С другой стороны, с помощьюхорошо известной теоремы Фенхеля-Моро [200, Замечание 1.63, p. 26], дляi = 1, 2 получаемMi (v) = sup {uv − Mi∗ (u)} ,v ∈ R,u∈RоткудаM1 (v) − C 6 M2 (v) 6 M1 (v) + C,v ∈ R,или, равносильно, exp M1 (v) exp M2 (v). Это дает эквивалентность (v).Далее, общее предположение теоремы 3.4.6 и равносильность условий(iii) и (iv) теоремы 3.4.4 дает неравенство (3.47). Поэтому, предполагая (v)сразу получаем (vi).
Условие (vi) в свою очередь дает вложение LL∞ (ω2 ) ⊂M(ϕ). С учетом противоположного вложения (3.51), приходим к (i).Замечание 3.4.7. Из леммы 3.1.6 следует, что условие δϕ = 0 являетсянеобходимым условием экстраполяционности пространства M(ϕ). Хорошоизвестно, что при δϕ < 1 функция 1/ϕ принадлежит пространству M(ϕ)[32, с. 156]. Поэтому из экстраполяционного описания пространства M(ϕ),доставляемого пунктом (ii) теоремы 3.4.6, следует неравенство k1/ϕkp 6kϕ̃0 kp . Вместе с неравенством ϕ̃(t) 6 1/ϕ(t) это дает эквивалентностьk1/ϕkp kϕ̃0 kp ,199для любой функции ϕ, удовлетворяющей неравенству (3.52). Поэтому дляфундаментальной функции экстраполяционного пространства Марцинкевича вместе с неравенством (3.52) выполняется и неравенствоt1/pϕ(t) 6 C sup, 0 < t 6 1.p>1 k1/ϕkp(3.53)Обратно, если выполнено (3.53), то, в силу отмеченного тривиального неравенства ϕ̃(t) 6 1/ϕ(t), выполнено и (3.52).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
