Диссертация (1154386), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Согласно лемме 1.2.1, функция p log b(p) будет выпуклой. Поэтому выпуклой будет и сумма двух выпуклых функций N0∗ (p) +p log b(p). Следовательно,N ∗ (p) = (N0∗ (p) + p log b(p))∗∗ = N0∗ (p) + p log b(p).Поэтому, согласно теоремам 3.3.7 и 3.3.8, замечанию 3.3.11 и вложению(3.40),kT xkLM 6 C sup kT xkp e−N ∗ (p)pp>p06 C sup b(p)kxkp e−N0∗ (p)p −log b(p)p>p06 CkxkLM .0228= C sup kxkp ep>p0−N0∗ (p)pМы можем также, используя результаты разделов 3.2.1, 3.2.3 и 3.2.4,сформулировать экстраполяционные теоремы для шкал {Lp,q }, {`p }, {Sp }~ θ,q . Чтобы не перегружать работу техническими подробностями, ограиAничимся здесь случаем пространств {`p } и линейным по p ростом нормисследуемого оператора.Введем специальный класс S банаховых решеток последовательностей:∞F ∈ S ⇔ оператор S : {fn }∞n=1 → {fn2 }n=1 ограничен в F.Примером решетки класса S может служить решетка F α , α > 0, с нормой|fn |.αn∈N log (en)kf kF α := supПространства-параметры класса S использовались в формулировках теорем 3.2.43 и 3.2.46.Если F — произвольное банахово идеальное пространство последовательностей, то через XF будем обозначать пространство последовательностей, определяемое условием конечности нормы n X ∞ kxkXF := x∗k .n=1 k=1FНапример, XF α — пространство Марцинкевича с нормой (см.
cледствие3.2.45)PnkxkXF α = supn∈N∗k=1 xk.αlog (en)Отметим, что в виде XF могут быть представлены все пространства X, интерполяционные относительно пары (`1 , `∞ ) (пишем X ∈ I(`1 , `∞ )). Крометого, если X ∈ I(`1 , `∞ ), то существует пространство F , интерполяционное229относительно пары (`∞ , `∞ (1/n)) (пишем F ∈ I(`∞ , `∞ (1/n))), для которого X = XF (эти и другие факты, относящиеся к теории интерполяции,можно почерпнуть из [121]).Через F (log−1 ) будем обозначать пространство с нормой∞ kf kF (log−1 ) := fn / log(en) .n=1 FОтметим, что если F ∈ S, то также F (log−1 ) ∈ S. Действительно, если f ∈ F (log−1 ), то {fn / log(en)} ∈ F , а поэтому, в силу F ∈ S, также{fn2 / log(en2 )} ∈ F . При этом|fn2 |/ log(en) 6 2|fn2 |/ log(en2 ).Следовательно {fn2 / log(en)} ∈ F , а значит {fn2 } ∈ F (log−1 ).Если F ∈ I(`∞ , `∞ (1/n)), то в F ограничен операторf˜n := sup min{1, n/k}|fk |.k∈NОтметим, что f˜n > fn , и при этом {f˜n }∞n=1 — неотрицательная, неубывающая и вогнутая последовательность.
Следовательно, найдется последовательность неотрицательных и невозрастающих чисел yk , для которойf˜n =nXyk .k=1Мы будем использовать эти простые факты в доказательстве следующегоутверждения.Теорема 4.1.11. Пусть F ∈ S. Тогда, если оператор T ограничен из `p в`p при p ∈ (1, 2], иkT k`p →`p 6230C,p−1то T ограничен как оператор из XF в XF (log−1 ) .Кроме того, если F ∈ S ∩ I(`∞ , `∞ (1/n)),n1Xxk(T0 x)n :=nk=1иT0 : XF → Y,где Y ∈ I(`1 , `∞ ), то XF (log−1 ) ⊂ Y . При этом kT0 k`p →`p 6pp−1 .Доказательство.
Первая часть доказываемой теоремы следует из экстраполяционного описания, представленного в теореме 3.2.43, см. рассуждениев доказательстве теоремы 3.2.48.Перейдем к доказательству второй части теоремы, т.е к доказательству утверждения о точности результата первой части. То, что операторT0 (дискретный оператор Харди-Литлвуда) удовлетворяет нужной оценкена норму в пространствах `p , хорошо известно, и мы не будем здесь этодоказывать.
Обозначим, для краткости, X := XF , X1 := XF (log−1 ) . Чтобыпоказать минимальность пространства X1 , достаточно доказать, что длялюбого x ∈ X1 найдется z ∈ X такой, что для некоторого C > 0 и всехn∈NnXx∗k6Ck=1nX(T0 z)∗k .k=1Итак, пусть x ∈ X1 . Тогда, по определению, g ∈ F , еслиPnx∗gn := k=1 k .log(en)Но тогда и g̃ ∈ F . Следовательно,g̃n =nXk=1231yk∗ ,где y = y ∗ ∈ X. Пусть теперь2fn :=nXyk .k=1Так как F ∈ S, fn = g̃n2 , а g̃ ∈ F , то также f ∈ F и, следовательно, f˜ ∈ F .Но тогдаf˜n =nXzk ,k=1∗где z = z ∈ X.
Теперь оценим снизуnX(T0 z)∗k =k=1knX1Xk=12=nXl=1kzl =l=1PnnX1k=1k(T0 z)∗k :f˜k >nX1k=1k2fk =nkX1Xk=1kyll=1nnnnnXXX11 X1 X>yl>ylyl√ k√ k√ kk=d lenX> c log(en)l=1k=d lel=1k=d neyl = c log(en)g̃n > c log(en)gnl=1nPn∗Xk=1 xk= c log(en)=cx∗k .log(en)k=1Мы получили, что каждый элемент x ∈ X1 мажорируется (в смыслепорядка Харди-Литлвуда) элементом T0 z при некотором z ∈ X. Поэтомулюбое пространство Y ∈ I(`1 , `∞ ), содержащее образ T0 (X), должно содержать и все элементы пространства X1 = XF (log−1 ) .Замечание 4.1.12.
Как это следует из стандартного доказательства интерполяционной теоремы Марцинкевича [11], любой оператор T , имеющийслабый тип (1, 1) и сильный тип (2, 2), удовлетворяет оценке на норму изтеоремы 4.1.11. Интересные примеры операторов, являющихся обобщениями дискретного преобразования Гильберта, можно найти также в работе [107].2324.2Экстраполяция сублинейных операторов,действующих в квазибанаховы пространстваВ этом параграфе с помощью конструкции экстраполяционного функтора Σ будут описаны экстраполяционные пространства Лоренца, близкие кL1 [0, 1]. С помощью этого описания будет доказано, что ограниченное действие линейных и сублинейных операторов с фиксированным квазибанаховым образом Y распространяется на экстраполяционные пространства,если априори свойство ограниченности известно только для действия изLp в Y при p > 1. Результаты обобщают классическую теорему Яно, вкоторой пространство Y банахово.
Насколько известно автору, ранее аналогичные задачи с квазибанаховым образом решались только при дополнительных ограничениях на свойства Y , и, главное, только для операторовс некоторыми специальными свойствами (см. [97–99, 124–129, 203]). Средидополнительных результатов отметим построенный в разделе 4.2.6 примерквазилинейного оператора, действующего ограниченно на характеристических функциях из пространства Лоренца в квазибанахово пространство, ноне являющегося ограниченным на множестве конечнозначных функций.
Вразделе 4.2.7 доказывается одно экстремальное свойство оператора ХардиЛитлвуда среди операторов с заданным ростом норм. Результаты этогопараграфа опубликованы в работах [47, 172].В настоящем параграфе будут рассматриваться преимущественно операторы, действующие из шкалы пространств Lp = Lp [0, 1] при p > 1 в фиксированное квазибанахово пространство Y , и исследоваться возможностьих ограниченного продолжения на пространства измеримых функций на233отрезке [0, 1], содержащих ∪p>1 Lp .
Для удобства сформулируем здесь ещераз классическую и исторически первую теорему такого типа, обобщениюкоторой в основном и посвящен параграф.Экстраполяционная теорема Яно, 1951 [213]. Пусть T — оператор, определенный на L1 [0, 1], принимающий значения в множестве всехизмеримых и почти всюду конечных функций, и удовлетворяющий принекотором B > 0 условиюесли x =∞Xxi в L1 , то |T x(t)| 6 Bi=1∞X|T xi (t)| почти всюду.i=1Предположим, что T действует в пространствах Lp при p ∈ (1, p0 ), идля некоторых положительных C и αα1kT kLp →Lp 6 Cпри всехp−1p ∈ (1, p0 ).Тогда оператор T действует ограниченно из пространства Лоренца Λ(ψ)в L1 , гдеψ(t) := t logα (eα /t).В своей работе Яно рассмотрел приложения своей теоремы к различнымклассическим операторам.
В то же время для многих важных операторовгармонического анализа их область значений не накрывается пространством L1 . Поэтому хотелось бы иметь результаты об ограниченности операторов, действующих в более широкие, чем L1 , пространства. Для этихцелей в настоящем разделе используется экстраполяционный функтор Σ,т.е. подход Яверса и Мильмана. Общий подход к теории экстраполяции, отличный от подхода Яверса и Мильмана и включающий некоторые случаиквазибанаховых пространств, содержащих L1 , предложен в [126].2344.2.1Квазибанаховы пространстваВ этом и других разделах настоящего параграфа S всегда будет обозначатьпространство всех измеримых и конечных почти всюду функций на [0, 1],S — множество всех измеримых функций на [0, 1], допускающих значения±∞ на множестве положительной меры (сложение не определяем), а S + —множество неотрицательных функций из S (здесь сложение определяетсяестественным образом).Следующее известное определение дает широкое обобщение понятиянормированного пространства.Определение 4.2.1.
Векторное пространство Y называется квазинормированным c константой K, если1) kxkY > 0, при этом kxkY = 0 равносильно x = 0;2) kλxkY = |λ|kxkY ;3) kx + ykY 6 K(kxkY + kykY ) для некоторого K > 1.Квазинормированное пространство Y называется квазибанаховым, еслионо полно относительно топологии, порожденной квазинормой.Легко видеть, что в квазинормированном пространстве справедливонеравенство nn−1nX XXjn−1yj 6K kyj kY + K kyn kY 6K j kyj kY .j=1Yj=1j=1Хорошо известно, что в квазибанаховом случае справедливо неравенствос бесконечным количеством слагаемых (см., например, [178, теорема 1.1]).Для полноты и удобства дальнейшего изложения приведем здесь с доказательством это утверждение в нужной нам форме.235Лемма 4.2.2.
Пусть Y — квазибанахово пространство с константой K.Еслиy=∞Xyjв Y,j=1тоkykY 6∞XK j kyj kY .j=1Обратно, если∞XK j kyj kY < ∞,j=1то существует y ∈ Y такой, что y =P∞P∞j=1 yj .P+ (y − nj=1 yj ), тогдаnnXXjn+1 kyk 6K kyj k + Kyj .y −Доказательство. Пусть y =j=1 yj=Pnj=1 yjj=1ЕслиP∞j=1 Kjj=1kyj k = ∞, то доказывать нечего. Пусть∞XK j kyj k < ∞,j=1тогдаlimn→∞∞XK j kyj k = 0.j=n+1Пусть ε > 0. Выберем n и k > n такими, чтоk∞XXεεjK kyj k <,иy−y<.j2 2K n+22Kj=1j=n+1ТогдаnkkXXXn+1 n+1 Kyj = Kyj +yj 6y −y −j=1j=1236j=n+1kkXXεεn+2 2K j+2 kyj k < K n+2 ·yj +6K+K·= ε.y −n+222K2Kj=n+1j=1Следовательно,kyk 6nXjK kyj k + ε 6j=1∞XK j kyj k + ε.j=1В силу произвольности ε > 0, получаем требуемое неравенство.nP∞PjПусть теперь j=1 K kyj kY < ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
