Диссертация (1154386), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ТогдаX p 4eC X p 1 XpϕLp ⊂ϕLp,1 ≡ Λ(ψ) ⊂ϕLp ,p−1p−1p−1p>1p>1p>1(4.8)244где1pψ(t) := inf ϕtp .p>1p−1(4.9)В частности,X p X p Lp =ϕLp,1 = Λ(ψ).ϕp−1p−1p>1p>1Доказательство. Пусть 1 < p < r < +∞,p0 =p,p−1r0 =rr−1и0p0 = r0 + e−r .ТогдаZ1kxkp,1 =1x∗ (t) dt p =1pZ101x∗ (t)t− p0 dt 6kxkr p0kxkr=pp0p0 − r 0 10Z1 r10r0t− p0 dt =01ekxkr 0−r0 r0=r +e6 4ekxkr .prСледовательно, в силу условия на ϕ,11ϕ(p0 )Lp,1 ⊃ 4eϕ(p0 )Lr ⊃ 4eCϕ(r0 )Lr ,иX4eCr0 >11Xϕ(r0 )Lr ⊂ϕ(p0 )Lp,1 ⊂Xp0 >1p0 >1+e−11Кроме того, так как Lp,1 ⊂ Lp , тоX01ϕ(p )Lp ⊃p0 >1Xϕ(p0 )Lp,1 ,p0 >1и, в итоге,Xp0 >10ϕ(p )Lp =Xp0 >1245ϕ(p0 )Lp,1 .ϕ(p0 )Lp,1 .СоотношениеX p ϕLp,1 ≡ Λ(ψ)p−1p>1следует из леммы 4.2.9.Замечание 4.2.11.
В случае, если функция ϕ из условия теоремы 4.2.10удовлетворяет следующему существенно более сильному, чем в теореме,условиюϕ(2q) 6 Cϕ(q)(как, например, функция ϕ(q) = q β в следствии 4.2.12 далее), то справедливо также соотношениеX p X p ϕϕLp,∞ =Lp,1 = Λ(ψ).p−1p−1p>1p>1Это можно получить из [181, Теорема 5, стр. 19], выбирая в качестве банаховой пары (L1 , L∞ ). Пространство Lp,∞ (так называемое слабое Lp ) определяется нормойkxkLp,∞ := sup t1p −1t∈(0,1]Ztx∗ (t) dt.0При этом Lp ⊂ Lp,∞ .Равенство из следующего следствия хорошо известно.
Нам, однако, необходима равномерность по параметру β, поэтому мы даем независимоедоказательство равенства, отслеживая константы вложения.Следствие 4.2.12. Пусть β > 0. ТогдаX p βX p βLp =Lp,1 = Λ(ψβ ),p−1p−1p>1p>1гдеψβ (t) = t logβ (eβ /t).246При этом при любом 0 < β0 < ∞ взаимные вложения пространств равномерны по β ∈ (0, β0 ].Доказательство.
Функция ϕ = ϕ(q) = q β удовлетворяет условиям теоремы 4.2.10 и даже условию из Замечания 4.2.11, так какϕ(q + e−q ) 6 ϕ(2q) = (2q)β = 2β ϕ(q).Вычислим соответствующую функцию ψ из Теоремы 4.2.10:β11pψ(t, β) = inft p = t inf xβ t− x .p>1 p − 1x>1При t < e−β критическая точка x0 =1β1log 1t функции xβ t− x расположенаправее единицы, и является точкой минимума. Поэтому β t e logβ 1 при t < e−β ,βtψ(t, β) =1при t > e−β .Для этой функции справедливы неравенстваβeββ eββt log6 β ψ(t, β) 6 e t log.ttβПоэтому при β ∈ (0, β0 ]βψ(t, β) ψβ (t).В этом случае нормы соответствующих пространств Лоренца эквивалентны с константой, не зависящей от β ∈ (0, β0 ].
Кроме того, для константывложения 4eC из теоремы 4.2.10 имеем 4eC 6 22+β0 e. Следовательно, всевзаимные вложения пространств из доказываемого следствия равномернына (0, β0 ].В следующем следствии в дискретной сумме пространств Lpj под p0 =a0a0 −1понимается p0 = ∞. Заметим, что если функция ϕ(q) непрерывна в247точке q = 1, то добавление в непрерывную суммуX p ϕLpp−1p>1слагаемого ϕ(1)L∞ не меняет норму пространства-суммы.
Это следует изтого, что limp→∞ kxkp = kxk∞ .Следствие 4.2.13. Пусть α > 0, a > K > 1 и pj =∞XKjj=0pjpj − 1αLpj =∞XKjj=0pjpj − 1ajaj −1 .ТогдаαLpj ,1 ≡ Λ(ϕθ ),(4.10)где θ = loga K, иc1 t logα+θ (eα+θ /t) 6 ϕθ (t) 6 c2 aα t logα+θ (eα+θ /t),а c1 и c2 зависят только от α и K, но не зависят от a при a > K.При этом взаимные вложения пространств-сумм в (4.10) равномерныепо a > K.
В частности, если положитьψθ (t) = aα t logα+θ (eα+θ /t),то при фиксированных α > 0 и K > 1 будут справедливы равномерные поa > K вложенияΛ(ψθ ) ⊂∞Xj=0Kjpjpj − 1αLpjи Λ(ψθ ) ⊂∞Xj=0Kjpjpj − 1αLpj ,1 .(4.11)Доказательство. Преобразуем выражениеαα α+θppplogKjjjKj= aj a=.pj − 1pj − 1pj − 1248По следствию 4.2.12X p α+θX p α+θaαLp = aαLp,1 = Λ(ψθ ),p−1p−1p>1p>1(4.12)c равномерными вложениями при θ ∈ (0, 1), или, равносильно, при a > K.Далее будем рассуждать только о суммах пространств Lp , так как случай пространств Lp,1 совершенно аналогичен.
Из определения суммы пространств непосредственно следует, что имеет место вложениеαα+θ∞∞ XXX p α+θ1ppjjKjLpj ≡Lpj ⊂Lp . (4.13)p−1p−1p−1jjp>1j=0j=0Покажем, что имеет место и обратное вложение. Выберем для произвольного p > 1 такое целое j, чтоpj+1 =Тогдаpj+1pj+1 − 1α+θ= aj+1ajaj+1<p6p=.jaj+1 − 1aj − 1α+θ= aα+θ aj= aα+θα+θpjpj − 1=α+θ6aα+θpp−1α+θ,и, следовательно,aα+θpp−1α+θ1Lp ⊂pj+1pj+1 − 1α+θLpj+1 .Снова пользуясь определением суммы пространств и учитывая, чтоaθ = aloga K = K,получаемα+θα∞ ∞X p α+θXX1ppjjKaαLp ⊂Lpj ≡KjLpj .p−1p−1p−1jjp>1j=0j=0(4.14)249Объединяя теперь равенство (4.12) с вложениями (4.13) и (4.14), получаемвсе утверждения следствия.4.2.4Обобщение теоремы Яно на случай квазинормированного образаВ этом параграфе мы докажем экстраполяционную теорему, обобщающуютеорему Яно на случай, когда оператор действует в квазибанахово пространство.
Всюду далее под константой K, как и в параграфе 4.2.2, подразумевается константа из неравенства треугольника для квазибанаховапространства Y .Теорема 4.2.14. Пусть Y — квазибанахово пространство, которое непрерывно вложено в хаусдорфово топологическое векторное пространство B. Предположим, что линейный оператор T для каждого p > 1ограниченно действует из Lp [0, 1] в Y ,αpkT kLp →Y 6 C, где C, α > 0 не зависят от p,p−1(4.15)и, кроме того, T непрерывно действует из Λ(ψ) в B, гдеpψ(t) := t logα (b/t) exp(A log log(b/t))√с некоторыми A > 2 α log K и b > eA+α+1 .Тогда T ограниченно действует из Λ(ψ) в Y .Замечание 4.2.15.
Условие b > eA+α+1 в теореме нужно для того, чтобыфункция ψ(t) была вогнута, это условие обеспечивает корректность определения Λ(ψ). При этом при фиксированном A и разных b соответствующиепространства Λ(ψ) изоморфны. Напротив, изменение параметра A меняет250пространство. Чем меньше A, тем шире пространство Λ(ψ), и соответствующий результат точнее.Доказательство теоремы 4.2.14. Пусть a > K. Рассмотрим последовательность pj = aj /(aj − 1), j = 0, 1, 2, . . .. По условию, оператор T ограничен из Lpj в Y , и, согласно теореме 4.2.6, оператор будет действоватьограниченно с единичной нормой из пространствα∞Xpjj+1K CLpjp−1jj=0в Y . При этом суммируемые пространства, как это легко увидеть из дальнейших рассуждений, равномерно вложены в пространство Λ(ψ), поэтомуприменение теоремы 4.2.6 корректно.
Далее, с помощью следствия 4.2.13мы можем заключить, что с некоторой константой C1 , не зависящей отθ, для всех θ ∈ (0, 1) оператор T действует ограниченно из пространстваΛ(ψθ ) в Y , иkT xkY 6 C1 kxkΛ(ψθ )для всех x ∈ Λ(ψθ ),(4.16)гдеψθ (t) = aα t logα+θ (eα+θ /t),1a = Kθ.Снова применяя теорему 4.2.6, но уже к соотношениям (4.16), получаем, что для любой последовательности θj ∈ (0, 1) оператор T действуетограниченно из пространства∞XK j Λ(ψθj )j=1в Y . С помощью леммы 4.2.9 теперь приходим к выводу, что оператор Tдействует ограниченно из пространства Λ(ψ) в Y , гдеψ(t) = inf K j ψθj (t) = inf K j+α/θj t logα+θj (eα+θj /t).j∈Nj∈N251Выберем теперь последовательность θj специальным образом.
Именно,положим θj =1uj ,где u > 1. В этом случаеψ(t) = inf K j+αuj t logα+1/uj (eα+1/uj /t).j∈NТак как при t < e−α−1log(1/t) 6 log(eα+1/uj /t) 6 log(eα+1 /t) 6 (α + 2) log(1/t),тоlogα+1/uj (1/t) 6 logα+1/uj (eα+1/uj /t) 6 (α + 2)α+1 logα+1/uj (1/t),и, следовательно, при t < e−α−1tψ(t) t logα (1/t) inf K j+αuj log1/uj (1/t).j∈NДля определения функции ψ(t) осталось вычислитьinf K j+αuj log1/uj (1/t)j∈Nпри t < e−α−1 .Так как при x ∈ [j, j + 1]K (1+αu)x log1/ux (1/t) >1K 1+αuK (1+αu)(j+1) log1/u(j+1) (1/t),тоtinf K j+αuj log1/uj (1/t) inf K (1+αu)x log1/ux (1/t)x>1j∈Nпри t < e−α−1 .Поэтому достаточно вычислитьinf K (1+αu)x log1/ux 1/t =x>1inf1L y sy , где s = log 1/t > α + 1, L = K α+1/u .0<y61/u1Исследуем функцию f (y) = L y sy на экстремум.1logLf 0 (y) = L y sy log s − 2,y252следовательно, точка минимума — это y0 =или, равносильно, при t 6 e−Ku+αu2p2log L/ log s.
При s > K u+αu ,, точка минимума y0 принадлежит про-межутку (0, 1/u]. Значитqinf0<y61/uf (y) = f (y0 ) = Llog slog Lqslog Llog s=e√2 log L log s,иtα2ψ(t) t log (1/t) e√(log L) log log(1/t) tα2 t log (b/t) e√(log L) log log(b/t)при любом b > 0 и достаточно малом t < tb . Так как u > 1 произвольно,√√то A = 2 log L может быть любым числом, большим 2 α log K. Следова√тельно, для любого A > 2 α log K оператор T действует ограниченно изΛ(ψ) в Y , гдеpψ(t) := t logα (b/t) exp(A log log(b/t)),b > eA+α+1 .Замечание 4.2.16. Как легко усмотреть из доказательства, условие (4.15)можно заменить на кажущееся более слабым условиеαpkT kLp,1 →Y 6 C.p−1(4.17)Однако, в силу вложений пространств Lp,1 ⊂ Lp ⊂ Lr,1 , p > r, условия(4.15) и (4.17) эквивалентны (см. рассуждение в доказательстве теоремы4.2.10).
В формулировке теоремы 4.2.14 выбрано условие (4.15) только потому, что пространства Lp используются во многих разделах математике,в отличие от более специальных пространств Lp,1 . То же самое можно сказать о формулировках следующих далее теорем 4.2.17, 4.2.22 и 4.2.23.253Теорема 4.2.17. Пусть T — оператор, определенный на множестве TSтаком, что p>1 Lp ⊂ T ⊂ L1 , T принимает значения в S и удовлетворяет на T с некоторой константой B > 0 условию:L1если x =∞Xxi , то |T x(t)| 6 Bi=1∞X|T xi (t)| для почти всех t ∈ [0, 1].i=1Предположим так же, что для некоторого квазибанахова идеального пространства Y и каждого p > 1αp, где C, α > 0 не зависят от p.kT kLp →Y 6 Cp−1√Тогда для каждого A > 2 α log K существует D > 0 такое, чтоkT xkY 6 DkxkΛ(ψ)для всех x ∈ T ∩ Λ(ψ),гдеpψ(t) := t logα (b/t) exp(A log log(b/t)),b > eA+α+1 .В частности, если Λ(ψ) ⊂ T , то оператор T действует ограниченно изпространства Λ(ψ) в Y .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
