Диссертация (1154386), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В качестве примера возьмем оператор Харди-Литлвуда. При этом для большей общностибудем рассматривать пространства Lp на полуоси [0, ∞).Аналогично лемме 4.2.9 доказывается следующее утверждение.271Лемма 4.2.31. Пусть {ϕθ }θ∈Θ — семейство вогнутых функций на (0, ∞),а соответствующие пространства Лоренца Λ(ϕθ ) равномерно вложеныв пространство L1 + L∞ . ТогдаXΛ(ϕ) ≡Λ(ϕθ ),θ∈Θгдеϕ(t) := inf ϕθ (t).θ∈ΘЛемма 4.2.32.L1 + tL∞ =X1− p1tLp =p>1X1t1− p Lp,1p>1с равенством норм.Доказательство.
По неравенству ГельдераZtkxkL1 +tL∞ =1x∗ (s) ds 6 t1− p kxkp ,011поэтому t1− p Lp ⊂ L1 + tL∞ , иX11t1− p Lp ⊂ L1 + tL∞ .p>11Далее, так как Lp,1 ⊂ Lp , тоX11t1− p Lp,1 ⊂p>1X1t1− p Lp .p>1Наконец, по лемме 4.2.31X1t1− p Lp,1 = Λ(ϕ),p>111где ϕ(s) = inf p>1 t1− p s p = min{t, s}, и, следовательно, Λ(ϕ) = L1 +tL∞ .272Теорема 4.2.33.
Предположим, что оператор T действует из Lp в Lpдля всех p > 1 иp.p−1kT kLp →Lp 6Пусть ψ(s) := min{s log(e/s), 1}. Предположим, что оператор T обладает хотя бы одним из следующих двух свойств:P1) если x = ∞j=1 xj , где xj ∈ Λ(ψ) и ряд сходится в Λ(ψ), то|T x(s)| 6 B∞X|xj (s)|для почти всех s ∈ (0, ∞);j=12) оператор T — линеен и непрерывен из Λ(ψ) в пространство S всехконечных почти всюду функций со сходимостью по мере.Тогда для всех x ∈ Λ(ψ) и t ∈ (0, ∞)K(t, T x; L1 , L∞ ) 6 eBK(t, Sx; L1 , L∞ ),где Sx(s) :=1sRs0x(u) du.Доказательство. Будем предполагать, что выполнено свойство 1) из теоремы (в случае свойства 2) рассуждения немного другие). С помощью леммы 4.2.32 получаем, чтоK(t, T x; L1 , L∞ ) =infyj >0: |T x|66 B6 B6 BinfPxj : x=infPxj : x=infPxj : x== BkxkP∞XPjyjj=1∞X 1− 1ptxjxjxjj=1∞Xj=1∞Xjkyj kpjkT xj kpj1− p1pjkxj kpjpj − 11− p1pjkxj kpj ,1pj − 1ttjjj=11p>12731− p1tpt1− p p−1Lp,1.Согласно лемме 4.2.31X1t1− pp>1pLp,1 = Λ(ψt (s)),p−1где1ψt (s) = inf t1− pp>1p p1s = min{es log(t/s), t}.p−1ПоэтомуK(t, T x; L1 , L∞ ) 6 BkxkΛ(ψt )Zt/e= B x∗ (s) d(es log(e/s))0Zt= Bx∗ (u/e) d(u log(et/u))0Zt6 eBx∗ (u) d(u log(et/u)) = eBZt0Zt= eB0x∗ (u) log(t/u) du0x∗ (u)Zt1ds du = eBsuZt0= eBK(t, Sx; L1 , L∞ ).2741sZs0x∗ (u) du dsГлава 5Приложения теорииэкстраполяции кнекоторым вопросаманализаВ настоящей главе будут приведены примеры приложений идей и конструкций теории экстраполяции к различным вопросам анализа.
В параграфе 5.1доказываются теоремы о сходимости ортогональных разложений в нормахпространств, содержащихся в пересечении пространств Lp , p < ∞, а также некоторые другие результаты, связанные с ортогональными системами.В параграфе 5.2 исследуется классическая степенная проблема моментов.С помощью полученных в предыдущей главе экстраполяционных формулдля симметричных пространств будут получены новые условия определенности проблемы моментов. В разделе 5.3 экстраполяционное описание про-275странств Орлича и их сепарабельных частей применяется для исследования вопроса безусловной базисности хаосов Радемахера в симметричныхпространствах. Каждый из разделов содержит также ряд вспомогательныхрезультатов, полученных автором работы, и имеющих значение не толькодля теории экстраполяции. Так, в параграфе 5.2 показано, что любая случайная величина, у которой конечны все моменты, представляется суммойдвух случайных величин с определенной проблемой моментов.
В параграфе 5.3 доказано, что хаос из стохастически независимых функций является базисной последовательностью в любом симметричном пространстве,содержащем этот хаос.2765.15.1.1Приложения к ортогональным системамСходимость ортогональных рядовС терминологией и основными фактами теории ортогональных рядов можно познакомиться по книге [29].Пусть T — линейный оператор такой, что при p > p0 ≥ 1T : Lp → Lp и kT kLp →Lp = kT kp 6 γ(p).Доопределим γ на [1, p0 ) единицей. Из конструкции пространств LF и замечания 3.1.3 следует, что для любого параметра экстраполяции FT : LF → LF (1/γ) и kT kLF →LF (1/γ) 6 C,(5.1)где C зависит от γ и F , но не зависит от оператора T .В приводимых ниже теоремах будем предполагать, что p0 > 1 и γ(p) = 1при p ∈ [1, p0 ).Теорема 5.1.1. Пусть X = LF , а система {xn }∞n=1 — минимальна иполна в X.
Тогда, если для всех x ∈ X и натуральных N NX∗xn (x)xn 6 γ(p) · kxkp при p > p0 ,n=1pгде {x∗n } — система, сопряженная к {xn }, то для любого x ∈ X ряд∞Xx∗n (x)xnn=1сходится к x в пространстве X1 = LF (1/γ) .Доказательство. Согласно (5.1) операторы частных суммSN x =NXx∗n (x)xnn=1277действуют из X в X1 , иkSN xkX1 6 CkxkX .Пусть ε > 0 и для P =PMn=1 an xnвыполняетсяkP − xkX 6 ε.Тогда, если N > M ,SN P = PиkSN x − xkX1 6 kSN x − P kX1 + kP − xkX16 kSN (P − x)kX1 + kP − xkX6 (C + 1) kP − xkX < (C + 1)ε.ПоэтомуSN (x) → x в X1 .Пусть X — симметричное пространство, κ = κ(t) — измеримая положительная функция на [0, 1].
Через Xκ будем обозначать симметричноепространство с нормойkxkXκ = kx∗∗ · κkX ,где1x∗∗ (t) =tZtx∗ (s)ds.0В случае κ(t) = log−α(e/t) мы получаем пространство X(log−α ) из раздела4.1.278Теорема 5.1.2. Пусть пространство X сильно экстраполяционно. Тогда,в условиях теоремы 5.1.1, для любого x ∈ X ряд∞Xx∗n (x)xnn=1сходится к x в пространстве Xκ , где κ(t) = 1/γ(log e/t).Доказательство. В силу теоремы 5.1.1, достаточно показать, чтоLX1 ⊂ Xκ ,где X1 = X̃(1/γ). Применяя неравенство Гельдера, получим:Ze−px∗∗ (e−p+1 ) 6 x∗∗ (e−p ) = ep x∗ (s)ds 6 ep χ[0,e−p ] pp−1kx∗ kp = e kx∗ kp .0ПоэтомуkxkXκ ∗∗ −p+1−p+1 = x (e)κ(e) Ẽ 6 e kxkp /γ(p) = e kxkLX .X̃1Аналогичным образом используя теорему 4.1.4 получаем следующее достаточное условие сходимости для ортогональных рядов в симметричныхпространствах, близких к L∞ .Следствие 5.1.3.
Предположим, что симметричное пространство Xявляется сильно экстраполяционным, и пусть {ψn }∞n=1 такая полная вX ортонормированная система функций, что для каждого x ∈ X, всехp > p0 и всех натуральных N имеет место оценкаNXcn (x)ψn 6 Cpα kxkp ,n=1p279где cn (x) — коэффициенты Фурье функции x по отношению к системе{ψn }∞n=1 .Тогда для каждого x ∈ X ряд∞Pcn (x)ψn сходится к x в пространствеn=1X(log−α ).Следствие 5.1.4. Пусть {ψn }∞n=1 — ортонормированная система, ψn ∈L∞ , и для любых x ∈ L1 и τ > 0τ µ{t : |SN (x, t)| > τ } 6 Ckxk1 ,где C не зависит от x, N и τ , а через SN (x) обозначена частная суммаФурье функции x по ортонормированной системе {ψn }∞n=1 .
Тогда, если{ψn (t)} полна в сильно экстраполяционном пространстве X, то для всехx∈XSN (x) → x в X(log−1 ).Доказательство. В условиях следствия оператор частной суммы SN действует из пространства L1 в пространство Lw1 (так называемое "слабое"L1 ), квазинорма в котором определяется соотношениемkxkLw1 = sup τ µ{t : |x(t)| > τ }.τПоэтому к нему применима интерполяционная теорема Марцинкевича [11,с.
18], которая дает оценку:kSN (x)kp 6 C11(p − 1)(2 − p) p1kxkp ,p ∈ (1, 2).В силу самосопряженности оператора SN , получаем:kSN (x)kp 6 C2 pkxkp для всех 3 6 p < ∞,и доказательство завершается использованием предыдущего следствия.280Классическая тригонометрическая система и система Уолша являютсяполными в любом сепарабельном симметричном пространстве. Кроме того,согласно [26, теоремы 4.3.16 и 7.6.4], тригонометрическая система удовлетворяет условию следствия 5.1.3, а согласно [18, теорема 5.3.2], системаУолша удовлетворяет условию следствия 5.1.4. Поэтому справедливо следующее утверждение.Следствие 5.1.5.
Предположим, что симметричное пространство Xявляется сепарабельным и сильно экстраполяционным. Тогда тригонометрический ряд и ряд Фурье-Уолша функции x ∈ X сходится к x впространстве X(log−1 ).Для случая пространств Лоренца последнее утверждение было доказано С.Ф. Лукомским [37, 169]. Кроме того, им была показана точностьсоответствующего результата.Сформулируем еще следствие теоремы 5.1.2 для случая, когда с.п. Xявляется пространством Марцинкевича. Для этого докажем предварительно следующее простое утверждениe.Лемма 5.1.6. Пусть функция ϕ0 = ϕ0 (t) возрастает и положительнана (0, 1], и, кроме того, удовлетворяет ∆2 -условию:ϕ0 (t) 6 Cϕ0 (t2 ), 0 < t 6 1.Тогда существует вогнутая функция ϕ1 = ϕ1 (t) такая, чтоϕ1 (t) ϕ0 (t).Доказательство.
Для доказательства леммы достаточно установить неравенствоϕ0 (t2 ) Kϕ0 (t1 )6при 0 < t1 < t2 ,t2t1281(5.2)с некоторой константой K > 0 [32, c. 69].hi2k2k−1Пусть t2 < 1/C. Тогда, если t1 ∈ (t2 ) , (t2 ), k ∈ N, то2kϕ0 (t2 )ϕ0 (t2 )6 Ck ·t2t2k−1t1 C k ϕ0 (t1 )ϕ0 (t1 )·6 (t2 )2 −1 C k ·6t2t1t166 C k+1−2k−1·ϕ0 (t1 ) Cϕ0 (t1 )6,t1t1и неравенство (5.2) выполнено для всех 0 < t1 < t2 < 1/C. Легко видеть,что этого достаточно для выполнения (5.2) для всех 0 < t1 < t2 cK=Cϕ0 (1)ϕ0 (t)s+.ϕ0 (1/C)1/C6t,s61 ϕ0 (s)tsupСледствие 5.1.7.
Пусть ϕ = ϕ(t) — квазивогнутая функция на [0, 1] иϕ ∈ ∆2 . Тогда существует вогнутая функция ϕ1 = ϕ1 (t) такая, чтоϕ1 (t) ϕ0 (t) :=ϕ(t).log e/tСледствие 5.1.8. Пусть ϕ ∈ ∆2 , {ψn }∞n=1 — ортонормированная системаи для всех x ∈ M0 (ϕ) и натуральных N NXcn (x)ψn 6 Cpkxkp при p > p0 ,n=1pгде cn (x) — коэффициенты Фурье функции x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
