Диссертация (1154386), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Сформулируем основнуюзадачу.Задача. Описать классы симметричных пространств X таких, чтоX⊂CилиX ⊂ D.На основе полученных вложений дать новые условия определенности вклассической проблеме моментов.291Аналогичная задача будет рассматриваться и для проблемы моментовСтилтьеса. Но сначала будут приведены некоторые результаты автора, проясняющие суть проблемы и ее связь с теорией экстраполяции. В частности,мы покажем, что ни C, ни D не являются линейными пространствами.
Этопридает новый смысл поиску пространств, вложенных в рассматриваемыеклассы, а также показывает, что аналогичная аппроксимация сверху неимеет смысла: не существует симметричного пространства X такого, чтоC⊂X⊂EилиD ⊂ X ⊂ E.Так как результаты последующих разделов представляют интерес и длятеории вероятностей, некоторые результаты мы будем излагать используявероятностную терминологию.Мы будем предполагать, что случайные величины (с.в.) заданы на некотором общем вероятностном пространстве {Ω, F, P}. В качестве такого вероятностного пространства, в частности, может служить отрезок [0, 1] смерой Лебега, как выше. Функцией распределения Fξ (x) случайной величины ξ называем функциюFξ (x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) 6 x}.Математическое ожидание мы обозначаем символом E:Z+∞Eξ =x dFξ (x).−∞Таким образом совпадение всех целых моментов двух случайных величинξ и η означает равенствоEξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈ N.292Через kξkp обозначаем Lp -норму (квазинорму при p < 1) случайной величины ξ:1kξkp := (E|ξ|p ) p ,p > 0.В вероятностных терминах условие Крамера для с.в.
X записывается ввидеEeε|X| < ∞ при некотором ε > 0.(5.8)Из наших результатов будет, в частности, следовать, что если при достаточно большом C > 0 и произвольной кратности последнего логарифмас.в.Xlog(|X| + C) · log log(|X| + C) · . . .
· log log . . . log(|X| + C)удовлетворяет условию Крамера, то для с.в. X проблема моментов Гамбургера определенная.Мы будем использовать также некоторые известные условия неопределенности проблемы моментов. Предположим, что случайная величина ξимеет плотность p(u), которая положительна для всех u ∈ R. Тогда проблема моментов Гамбургера неопределенная, если только выполнено следующее условие КрейнаZ+∞− log p(u)du < ∞1 + u2−∞[31, 205]. Если же рассматривать случайные величины c положительнойплотностью только вне некоторой окрестности нуля, последнее требованиеможет быть ослаблено до следующегоZ− log p(u)du < ∞1 + u2R\[−a,a]293(5.9)(см.
[192]). В доказательстве следующей теоремы нам потребуется такойрезультат: если плотность p(u) неотрицательной случайной величины xудовлетворяет условиюZ+∞− log p(u2 )du < ∞,1 + u2(5.10)aдля некоторого a > 0, то проблема моментов Стилтьеса неопределеннаядля x [191, предложение 1]. В случае a = 0 последнее условие (котороеобычно называется также условием Крейна) появилось в работе [201, следствие 1].5.2.2Совпадение всех целых моментов не влечет неравенств между полуцелыми моментамиВ этом разделе мы покажем, что совпадение всех целых моментов не гарантирует неравенства kξkp 6 Ckηkp ни с какой константой C даже прификсированном нецелом p, и, кроме того, отношение kξkp /kηkp может бытьнеограниченным.
При этом можно добиться, чтобы при совпадающих целых моментах отношение kξkn+1/2 /kηkn+1/2 стремилось к бесконечностикак угодно быстро при стремлении к бесконечности натурального n. Построение соответствующих случайных величин конструктивно. Из этогорезультата следует, в частности, и то свойство, которое лежит в истокахпроблемы моментов и уже отмечалось выше: все целые моменты не определяют однозначно распределение.Предложение 5.2.1.
Для любой последовательности {Cj }∞j=1 положительных чисел существуют неотрицательные случайные величины ξ иη такие, что:2941) Eξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈ N;2) для всех натуральных jEξ j+1/2> Cj .Eη j+1/2Доказательству предложения предпошлем следующую лемму, имеющую и самостоятельный интерес.Лемма 5.2.2. Для любого C > 0 и произвольного m ∈ N существуютнеотрицательные случайные величины ξ и η такие, что:1) Eξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈ N;2)E ξ m+1/2> C.Eη m+1/2Доказательство.
Мы будем использовать в качестве случайной величиныξ абсолютно непрерывную случайную величину с плотностью ke−αxλ , x > 0,f (x) = 0,x 6 0,где α > 0, 0 < λ < 1/2, а константа k выбрана из соображений нормировки. В качестве η рассмотрим абсолютно непрерывную случайную величинус плотностьюg(x) = f (x) 1 + sin(βxλ ) ,где β = α tg λπ, −1 < < 1. В [94, стр. 373] эти случайные величинырассмотрены с целью показать возможность совпадения целых моментову разнораспределенных случайных величин. Этот же пример годится идля наших целей. В [94] показано, что Eξ n = Eη n < ∞ для всех n ∈N. Вычислим моменты порядка m + 1/2 тем же способом, каким в [94]вычисляются целые моменты.295Известно, что при p > 0 и комплексных q с Re q > 0Z+∞Γ(p)tp−1 e−qt dt = p ,q(5.11)0где Γ(p) — гамма-функция Эйлера.
Положим в этом интеграле p =q = α, t = xλ , получимm+3/2Γλαm+3/2λZ+∞m+3/2λ=xλ( λ −1) e−αx λxλ−1 dx0Z+∞λλ= λxm+1/2 e−αx dx = E ξ m+1/2 ,k0т.е.Eξm+1/2kΓ=m+3/2λλαm+3/2λ< ∞.λПоложим теперь в (5.11) p = m+3/2λ , q = α + iβ, t = x , получимm+3/2Z+∞Γm+3/2λλxλ( λ −1) e−(α+iβ)x λxλ−1 dx=m+3/2(α + iβ) λ0Z+∞λxm+1/2 e−αx cos βxλ dx= λ0Z+∞λxm+1/2 e−αx sin βxλ dx,− iλ0откудаZ+∞m+3/21λλxm+1/2 e−αx sin βxλ dx = −Γ· Im.m+3/2λλ(α + iβ)0296m+3/2λ ,Далее− m+3/2λ(α + iβ)cos λπα m+3/2λcos λπα m+3/2λ==(cos λπ + i sin λπ)−m+3/2λ(cos((m + 3/2)π) + i sin(−(m + 3/2)π)),поэтому1−Im(α + iβ)m+3/2λ=cos λπα m+3/2λsin((m + 3/2)π),иm+3/2Z+∞kΓm+3/2λλ(−1)m+1 (cos(λπ)) λ .kxm+1/2 e−αx sin βxλ dx =m+3/2λα λ0Следовательно,Eη m+1/2Z+∞Z+∞λ=xm+1/2 g(x) dx = Eξ m+1/2 + kxm+1/2 e−αx sin βxλ dx00= Eξm+1/21 + (−1)m+1(cos(λπ))m+3/2λ.Рассмотрим теперь отношениеm+3/2Eη m+1/2 m+1= 1 + (−1)(cos(λπ)) λ.Eξ m+1/2Выбирая достаточно малым λ, а достаточно близким к 1 или −1 в зависимости от четности m, можно добиться, чтобы выполнялосьEη m+1/2<δEξ m+1/2с произвольным заранее выбранным δ > 0.
Мы можем положить δ = 1/C,где C из формулировки доказываемого предложения. Тогда для выбранных параметров λ и Eξ m+1/21>= C.δEη m+1/2297Доказательство предложения 5.2.1. Распределения случайных величин ξи η определим их функциями распределения F (x) и G(x) соответственно.Функции F и G будем искать в виде∞X1F (x) =Fk (x),2k∞X1G(x) =Gk (x)2kk=1k=1(смесь распределений), последовательности функций распределений {Fk }и {Gk } определим индуктивно. Пусть F1 (x) и G1 (x) — непрерывные функции распределения такие, что G1 (x) = F1 (x) = 0 при x < 0, при всехнатуральных nZ+∞Z+∞xn dF1 (x) =xn dG1 (x) < ∞,0и0Z+∞Z+∞x3/2 dF1 (x) > 2C1x3/2 dG1 (x).00Существование таких функций распределения следует из леммы 5.2.2.
Приэтом, умножая соответствующие случайные величины на общую подходящую положительную константу, можно добиться равенстваZ+∞x3/2 dG1 (x) = 1.0Пусть j > 2, функции F1 , F2 , . . . , Fj−1 , G1 , G2 , . . . , Gj−1 , уже определены, иZ+∞j−1X1Aj :=xj+1/2 dGk (x) < +∞.k2k=10Согласно лемме 5.2.2, существуют неотрицательные случайные величиныс функциями распределения Fj и Gj такими, чтоZ+∞Z+∞xn dFj (x) =xn dGj (x) < ∞ для всех n ∈ N,00298иZ+∞Z+∞xj+1/2 dFj (x) > (1 + Aj )2j Cjxj+1/2 dGj (x).00При этом, также, как и в случае j = 1, можно считать, чтоZ+∞xj+1/2 dGj (x) = 1.0Итак, последовательности {Fk } и {Gk } построены, функции F и G определены.
Cогласно построению {Fk } и {Gk },Eξ nZ+∞Z+∞∞X1xn dFk (x)=xn dF (x) =k2k=100Z+∞Z+∞∞X1=xn dGk (x) =xn dG(x) = Eη nk2k=100для всех n ∈ N. Далее, при k > j согласно неравенству Ляпунова11 k+1/2 +∞ j+1/2 +∞ZZ xj+1/2 dGk (x)6 xk+1/2 dGk (x)= 1,00откудаZ+∞xj+1/2 dGk (x) 6 1 при k > j,0и (считаем, что A1 = 0)Z+∞Z+∞∞X1xj+1/2 dGk (x)xj+1/2 dG(x) =k20k=10Z+∞j−1∞XX116·1+xj+1/2 dGk (x) 6 1 + Aj < +∞.kk22k=jk=12990Из последнего неравенства следует, в частности, что все моменты случайных величин ξ и η конечны. Кроме тогоZ+∞Z+∞Z+∞1xj+1/2 dF (x) > jxj+1/2 dFj (x) > (1 + Aj )Cj > Cjxj+1/2 dG(x),2000что и требовалось.В предыдущей главе уже отмечалось, что дискретизация F-метода внекоторых случаях (например, для умеренной решетки, когда мы получаемсильно экстраполяционное пространство) приводит к эквивалентной норме, но в общем случае дискретный и непрерывный вариант экстраполяциимогут давать разные пространства. Последний результат легко получитьи из только что доказанного предложения 5.2.1.
Действительно, используяслучайные величины η и ξ из предложения 5.2.1, соответствующие Cj = j j ,видим, что нормыkxknn∈N kηknkxk(1) = supиkxkp16p<∞ kηkpkxk(2) = supзадают разные пространства, так как для функции x0 с распределением,как у ξ, kx0 k(1) < ∞, но kx0 k(2) = ∞.5.2.3Eдинственность в континуальной проблеме моментовИз результатов предыдущего параграфа следует, что совпадение целых моментов для неотрицательных случайных величин не гарантирует совпадения распределений. В настоящем параграфе мы покажем, что распределение восстанавливается, если рассматривать моменты для ограниченной300последовательности показателей степени. Этот результат, известный, повидимому, еще С.Н.Бернштейну, есть в книге Н.И.Ахиезера [9, стр. 262].Доказательство в [9], однако, не сконцентрировано в одном месте, так каккнига преследует другие цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
