Диссертация (1154386), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отметим сразу, что класс C может быть представлен ввиде объединения линейных пространств, а именно банаховых пространствОрлича. Действительно, если ξ ∈ C, то и каждая с.в. X, для которойsupp∈NkXkp< ∞,kξkpтакже принадлежит C. В первой главе было показано, что для произвольной неотрицательной функции ω(p), p ∈ N, найдется c > 0, не зависящееот X и такое, чтоc−1 kXkLM 6 sup ω(p)kXkp 6 ckXkLM ,p∈Nгде LM — пространство Орлича, построенное по функцииM (u) := sup ω(p)p up .p∈NМы можем положить ω(p) = 1/kξkp , где ξ ∈ C. Таким образом, если ξ ∈ C,то имеет место вложение LM ⊂ C для некоторого пространства Орлича LM ,содержащего ξ.
Частным случаем этих вложений является достаточностьусловия Крамера, если в качестве ξ взять квадрат стандартной нормальной случайной величины. В следующих разделах мы найдем более точныеусловия. Здесь же докажем следующую теорему, которая показывает, вопервых, что не существует наибольшего симметричного пространства, содержащегося в C, а во-вторых, что задача аппроксимации сверху не имеет313смысла, так как симметричного пространства X со свойствомC⊂X⊂E =\Lpp<∞не существует.Кратко содержание следующей теоремы можно выразить формулойC ⊕ C = E,где через ⊕ обозначена "дизъюнктная сумма" , в которой складываютсяслучайные величины с попарно дизъюнктными носителями на вероятностном пространстве Ω.Следует отметить, что в работе [199] оригинальная плотность Стилтье1/4са p(x) = ce−x , x > 0, разложена в сумму двух дизъюнктных функций,соответствующих (после перенормировки) плотностям с.в., удовлетворяющих условию Карлемана.
Из этого результата следует, что с.в., соответствующая плотности Стилтьеса, может быть разложена в сумму двух дизъюнктных с.в. с определенной п.м. Гамбургера. В работе [109] отмечается,что метод работы [199] применим к любому распределению на [0, +∞) снеопределенной п.м. В настоящей работе результат, аналогичный результату из [199], устанавливается для произвольной случайной величины сконечными моментами.Теорема 5.2.12. Пусть X ∈ E, т.е. X — с.в.
на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P) такая, что E|X|n < ∞ для всех n ∈ N. Тогдасуществуют с.в. Y и Z на том же вероятностном пространстве такие,что:1) X = Y + Z;2) Y и Z имеют дизъюнктные носители на Ω;3143) с.в. Y и Z имеют не более одного общего значения: Y (Ω) ∩ Z(Ω) ⊂ {0};4) для Y и Z также конечны все моменты, и, кроме того, выполненоусловие Карлемана определенности п.м. Гамбургера.Доказательство. Если с.в. X имеет конечный существенный супремум,то доказывать нечего, так как условие Карлемана для ограниченной с.в.выполнено, и можно положить Y = X, Z = 0.
Пусть теперь с.в. X неограничена. Введем обозначение:AN := {ω ∈ Ω : |X(ω)| > N }.События AN могут быть определены для произвольного N ∈ R, однакодалее мы используем их только для некоторой возрастающей последовательности {Nk }∞k=0 , состоящей из натуральных чисел Nk , k ∈ N, и N0 = 0.В этом случае события ANk убывают.Далее через 1A , как обычно, обозначается индикатор события A. Мыбудем пользоваться следующим свойством, легко вытекающим из абсолютной непрерывности интеграла Лебега: для произвольного n ∈ N существуетN ∈ N такое, чтоE |X · 1AN |n < 1,и, следовательно, kX · 1AN kn < 1.
Определим теперь последовательность{Nk }∞k=1 натуральных чисел следующим образом. Пусть N1 = 1, и предположим, что числа Nj при j 6 k уже определены. Тогда выберем Nk+1 > Nkтак, чтобы выполнялось неравенствоX · 1ANk+1 < 1.(5.23)kNkПусть также N0 = 0 и Bk = ANk−1 \ ANk при k ∈ N. ОбозначимΩ1 :=∞[B2k−1иk=1Ω2 :=∞[k=1315B2k ,и положимY (ω) = X(ω) · 1Ω1 (ω)иZ(ω) = X(ω) · 1Ω2 (ω).Тогда для Y и Z выполнены свойства 1), 2) и 3) из формулировки теоремы по самому построению этих с.в. Проверим свойство 4) для Y . Длянатурального m положимm[Cm =B2k−1иDm =∞[B2k−1 .k=m+1k=1Тогда Ω1 = Cm ∪ Dm , иY (ω) = X(ω) · 1Cm (ω) + X(ω) · 1Dm (ω).По неравенству треугольника для Lp −нормы при p = pm = (2m − 1)N2m−1kY kpm 6 kX · 1Cm kpm + kX · 1Dm kpm6 kN2m−1 kpm + kX · 1AN2m kp 6 N2m−1 + 1.mМы воспользовались тем, что на множестве Cm с.в.
Y ограничена числомN2m−1 , а также неравенством (5.23). Согласно неравенству Ляпунова длялюбой с.в. значение Lp −нормы неубывает при возрастании p. Поэтому привсех p ∈ [1, pm ]kY kp 6 kY kpm 6 N2m−1 + 1.Но тогдаpmXp=11112m − 1> pm ·= (2m − 1)N2m−1 ·>,kY kpN2m−1 + 1N2m−1 + 12и, следовательно,Xp∈N1= ∞.kY kpПоследнее и означает выполнение условия Карлемана.
Рассуждение для Zаналогично.316Сформулируем несколько следствий доказанной теоремы. Как видноиз замечания 5.2.18 далее, некоторых из следствий не являются новыми.Мы показываем, как эти утверждения вытекают из теоремы 5.2.12, доказательство которой использует только факт абсолютной непрерывностиинтеграла Лебега.Следствие 5.2.13. Существуют с.в. Y и Z с определенной п.м.
такие,что для Y + Z п.м. неопределенная.Доказательство. Пусть X — с.в. с неопределенной п.м. (например, является кубом стандартной нормальной с.в.). Представляя X в виде суммы Yи Z из теоремы 5.2.12, получаем требуемое.В следующем утверждении мы применяем термин определенная и неопределенная проблема моментов к функции распределения, подразумевая,что такова п.м. для с.в. с такой функцией распределения. Под смесью двухфункций распределений G и H понимается функция распределения видаF (x) = αG(x) + (1 − α)H(x) при α ∈ (0, 1).Следствие 5.2.14. Любая функции распределения F , у которой все моменты конечны, представима в виде смеси двух функций распределенийG и H с определенной п.м.Доказательство.
С.в. X с функцией распределения F можно, согласнотеореме 5.2.12, представить в виде суммы с.в. Y и Z с дизъюнктными носителями Ω1 и Ω2 , и можно считать, что Ω1 ∪ Ω2 = Ω и α = P(Ω1 ) ∈ (0, 1).Пусть G и H — условные функции распределения для Y и Z относительнособытий Ω1 и Ω2 соответственно. Тогда для G п.м. определенная, так какZ+∞1|x|n dG(x) = E|Y |n ,α−∞317и условие Карлемана выполнено для последовательности абсолютных моментов функции распределения G одновременно с выполнением этого условия для Y .
Аналогично, п.м. определенная для H. При этом F = αG + (1 −α)H.Пример 5.2.15. Представим плотность2/31− 23 −|t|2p(t) = √ |t| e3 2πслучайной величины X = ξ 3 , ξ ∼ N (0, 1), с неопределенной п.м. в видесмеси двух плотностей p1 (t) и p2 (t) с определенной п.м. и попарно дизъюнктными носителями. Для k ∈ N положим2ktk = ee ,sk = −tk ,2kpk = t2k = e2e .Определим множествоU=∞[![[t2j−1 , t2j )j=1∞[![s2j , s2j−1 ) ,j=1и функцииf1 (t) = p(t) · 1U (t),f2 (t) = p(t) − f1 (t).Тогда плотности p1 (t) = c1 f1 (t) и p2 (t) = c2 f2 (t), где +∞−1 +∞−1ZZc1 = f1 (t) dt , c2 = f2 (t) dt ,−∞−∞удовлетворяют нужным требованиям.Доказательство. Покажем, что с.в. Y с плотностью p1 (t) удовлетворяет√условию Карлемана. Сначала отметим, что t2k < tk+1 , поэтому при t >tk+122√√t3t3pk log t − < t log t − < − 2t.22318Оценим абсолютный момент порядка pk , k = 2j − 1, j ∈ N, с.в.
Y : p1 t p1 kkZ+∞ZkppkY kpk 6 |t| k p1 (t) dt + 2c1t k f1 (t) dt−tktk+1 p1Z+∞2t3p−kt e 2 dt6 tk + c p1kZ+∞2t3plogt−k2 dt6 tk + c ektk+16√tk+1 p1Z+∞ √pk + c e− 2t dtk6√pk + c,tk+1где c > 0 не зависит от k ∈ N. Но тогдаbpk cXp∈NX 1pk − 11>>√→∞kY kpkYkp+ckpp=1при k → ∞,и, следовательно, условие Карлемана выполнено.
Рассуждение для плотности p2 (t) аналогично.Следствие 5.2.16. Существуют две независимые неотрицательные случайные величины ξ, η ∈ C такие, что ξ + η ∈/ C.Доказательство. Пусть X — произвольная с.в., для которой не выполненоусловие Карлемана, и X = Y + Z, где Y и Z — величины, построенные втеореме 5.2.12. Для произвольных с.в. ξ и η, равнораспределенных с |Y | и|Z| соответственно, выполнено условие Карлемана.
При этом для любогоp>1kξ + ηkp > max{kξkp , kηkp } >>kξkp + kηkpkY kp + kZkp=22kY + ZkpkXkp=.22ПоэтомуXp∈NX 216< ∞,kξ + ηkpkXkpp∈N319и ξ+η ∈/ C. В частности, ξ и η можно выбрать независимыми.Замечание 5.2.17. В работе [155], среди прочего, представлен ряд интересных результатов о многомерной п.м. Также там доказано следующееутверждение [155, Proposition 3.10]: существуют строго положительные ло∞гарифмически выпуклые последовательности {an }∞n=1 и {bn }n=1 такие, что∞X1= ∞,√nann=1∞X1√= ∞,nbnn=1∞Xn=11p< ∞.nmax{an , bn }Из этого результата следует незамкнутость класса квазианалитическихвесов по отношению к сложению.
Мы видим, что этот результат можетбыть получен также из следствия 5.2.16. Достаточно положить an = Eξ n иbn = Eη n .Замечание 5.2.18. Из условия ξ + η ∈/ C вообще говоря не следует, чтоξ+η ∈/ D [206, пункт 11.10]. Более того, моменты с.в. с определенной п.м.могут расти как угодно быстро [202, Corollary 4.21]. Известно, однако, чтосуществуют две независимые и одинаково распределенные с.в.
с определенной п.м., для суммы которых п.м. неопределенная [109, Theorem 2.1]. Крометого, существуют две независимые с.в. ξ, η ∈ C такие, что ξ + η ∈/ D [109,Propositon 3.1]. Отметим еще, что в работе [134] доказано следующее интересное утверждение в обратную сторону: если случайные величины ξ, η ∈ Eнезависимы, и п.м. для ξ + η определенная, то проблемы моментов для ξ иη также определенные.Замечание 5.2.19.
Через Cα , α > 0, обозначим класс с.в. X, удовлетворяющих условиюXp∈N1= ∞.kXkαp320В случае α = 1/2 и X > 0 это условие обеспечивает определенность вп.м. Стилтьеса. Условие имеет смысл и для других значений α. Например,если X, Y ∈ C2 произвольные неотрицательные с.в., то их распределениясовпадают, если только совпадают их моменты порядка 4k для всех k ∈ N.Рассуждая также, как и в доказательстве теоремы 5.2.12, можно установить, что E = Cα + Cα для любого α > 0.Замечание 5.2.20.
Таким образом класс D в общем случае не являетсялинейным пространством. Но на вероятностном пространстве Ω, состоящем из конечного числа атомов, нет с.в. с неопределенной проблемой моментов, и в этом случае класс D — это линейное пространство всех с.в.на Ω. Если говорить о произвольном вероятностном пространстве, то само определение класса D требует уточнения, так как встает вопрос о реализации конкурирующей с.в. (с такими же моментами, но другим распределением) на том же вероятностном пространстве. Сохраним обозначение D за подклассом E, состоящим из с.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
