Диссертация (1154386), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Важным примером последовательности независимыходинаково и симметрично распределенных случайных величин являетсяпоследовательность функций Радемахера rn (t) := sign sin(2n πt), n ∈ N.Напомним, что последовательность {xk }∞k=1 элементов банахова пространства X называется базисной, если она является базисом в замыканиисвоей линейной оболочки. Если же для любой биекции π : N → N по∞следовательность {xπ(k) }∞k=1 также будет базисной, то {xk }k=1 называетсябезусловной базисной последовательностью.
Хорошо известен следующийкритерий [29, глава 1, теорема 10].Теорема 5.3.8. Базисная последовательность {xk }∞k=1 в банаховом пространстве X является безусловной тогда и только тогда, когда существует число D такое, что для любого n ∈ N, произвольного набора знаков {θk }nk=1 , θk = ±1, и всех ak ∈ R имеет место неравенство n nXXθ k ak x k 6 D ak x k .k=1k=1XXПоследовательность {xk }∞k=1 , удовлетворяющая условию последней теоремы с константой D, называется D−безусловной. В частности, последовательность независимых и симметрично распределенных случайных величин является 1-безусловной базисной последовательностью в любом симметричном пространстве, ее содержащем [120, предложение 1.14].3495.3.3Базисность хаоса независимых функций в симметричных пространствахВ следующей теореме используется лексикографический порядок, согласнокоторому индекс {i1 , i2 , .
. . , ik } предшествует индексу {j1 , j2 , . . . jl } в случае, если для первого m такого, что im отлично от jm , выполняется неравенство jm > im . Если такого m не найдется, более короткий индекс предшествует более длинному. Заметим, что этот порядок согласуется с известнойнумерацией Пэли для системы Уолша (см.
пояснение после определенияхаоса в разделе 5.3.1 или [29, § 4.5]).Теорема 5.3.9. Пусть d ∈ N, {xi }∞i=1 — последовательность независимых симметрично распределенных функций (случайных величин) на [0, 1],xi 6= 0, i = 1, 2, . . . , такая, что все функции видаxi1 i2 ...id = xi1 i2 ...id (t) := xi1 (t)xi2 (t) . . . xid (t), t ∈ [0, 1],принадлежат симметричному пространству X.Тогда последовательность {xi1 i2 ...ik }i1 >i2 >...>ik , k6d является базисной вX.Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.Лемма 5.3.10. Пусть d ∈ N.
Предположим, что случайные величины zи x1 , x2 , . . . независимы в совокупности, x1 , x2 , . . . симметрично распределены, и, кроме того, z и все произведения вида zxi1 xi2 . . . xil , l 6 d,принадлежат симметричному пространству X. Тогда для любых вещественных a0 , a1 , a2 , . .
. , ak и 0 6 m < k m k X Xai yi 6 d zai y i ,zi=0i=0350(5.37)где y0 ≡ 1, а y1 , y2 , . . . — последовательность произведений {xi1 xi2 . . . xil }с l 6 d и i1 > i2 > . . . > il (в лексикографическом порядке).Доказательство. Используем индукцию по d. Пусть d = 1. Положим a0i =ai при i = 1, 2, . . . , m и a0i = −ai при i > m. Тогда (x0 := y0 ≡ 1 ) k mk 1 X XX0 ai x i + zai x i ai xi = zz 2i=0! k k i=0i=0 kXXX1 0 ai xi ,ai x i = z6ai xi + zz 2 i=0i=0i=0так как случайные векторы(z, x1 , . . .
, xm , xm+1 , . . . , xk ) и (z, x1 , . . . , xm , −xm+1 , . . . , −xk )одинаково распределены в силу условий леммы, и, следовательно, случайPPные величины z ki=0 ai xi и z ki=0 a0i xi также одинаково распределены ипо этой причине имеют равные нормы в симметричном пространстве X.Проведем переход индукции от d − 1 к d. Сначала покажем, что дляпроизвольного N ∈ N XX zax...x6zax...xi1 ...ik i1ik i1 ...ik i1ik . i1 6N, k6d i1 6N +1, k6d(5.38)Положим a0(N +1)i2 ...ik = −a(N +1)i2 ...ik , и a0i1 i2 ...ik = ai1 i2 ...ik , если i1 6 N . Тогдаснова ввиду одинаковой распределенности случайных векторов(z, x1 , . . .
, xN , xN +1 ) и (z, x1 , . . . , xN , −xN +1 )351получаем Xzax...xi1 ...ik i1ik = i1 6N k6d XX10= azx...xax+z...xi1 ...ik i1ikik i1 ...ik i12+1i1 6N +1 i1 6Nk6dk6d X X 10ai1 ...ik xi1 . . . xik ai1 ...ik xi1 . . . xik + z6 z2 i1 6N +1+1 k6d i1 6Nk6d X,zax...x=i...iii1k1k i1 6N +1 k6dи неравенство (5.38) доказано.Пусть теперь A — произвольный начальный фрагмент списка {i2 . . . ik }с i2 6 N , рассматриваемого в лексикографическом порядке. Тогда, пользуясь неравенством (5.38) и предположением индукции, получимXXz6ax...x+zaxx...xi...iiiN+1ii(N +1)i2 ...ik1k1k2k i1 6N, k6di2 ...ik ∈A, k6d XX 6 zai1 ...ik xi1 .
. . xik + zxN +1a(N +1)i2 ...ik xi2 . . . xik 6 i1 6N, k6d i2 ...ik ∈A, k6dXX6zax...x+(d−1)zxax...xi1 ...ik i1ik ik .(N +1)i2 ...ik i2 N +1 i1 6N +1, k6di2 6N, k6d(5.39)Полагая a0i1 ...ik = ai1 ...ik , если i1 6 N , и a0(N +1)i2 ...ik = −a(N +1)i2 ...ik , как и352ранее, оценимX=zxN +1ax...xii(N +1)i2 ...ik 2ki2 6N, k6d XX10= zax...x−zax...xi1 ...ik i1ikik i1 ...ik i12 i1 6N +1i1 6N +1 k6dk6d X6ax...xzi1 ...ik i1ik . i1 6N +1 k6dОтсюда и из (5.39) следует, чтоXXzax...x+zaxx...xi1 ...ik i1ikik 6(N +1)i2 ...ik N +1 i2 i1 6N, k6di2 ...ik ∈A, k6dX6 dzax...xi1 ...ik i1ik . i1 6N +1, k6dУчитывая, что порядок индексов — лексикографический, из последнегонеравенства и (5.38) в итоге получаем (5.37) для произвольных m и k,0 6 m < k.Доказательство теоремы.
Из условия xi1 i2 ...id ∈ X, невырожденности инезависимости xi легко следует, что xi1 i2 ...il ∈ X для любого l 6 d и произвольных i1 , i2 , . . . , il . Полагая в лемме 5.3.9 z ≡ 1 и a0 = 0, для последовательности {yi }∞i=1 := {xi1 i2 ...ik }i1 >i2 >...>ik , k6d (взятой в лексикографическомпорядке) получаем неравенство базисностиmkXXai y i 6 d ai yi для всех 1 6 m < k и ai ∈ R.i=1i=1353Минимальность системы {yi }∞i=1 (т.е.
тот факт, что при каждом m ∈ Nфункция ym не принадлежит замыканию линейной оболочки множества{yi }i6=m ) следует из неравенства базисности и условия: xi 6= 0, i = 1, 2, . . .Применение теоремы Банаха о базисности [29, теорема 1.6] к подпространству, порожденному последовательностью {yi }∞i=1 , завершает доказательство.Следствие 5.3.11. Для произвольного натурального d xаос Радемахера{ri1 ri2 .
. . rid }i1 >i2 >...id , рассматриваемый как подсистема системы Уолшав нумерации Пэли, является базисной последовательностью в любом симметричном пространстве X.В [102] последнее утверждение было доказано при дополнительном условии, что пространство X интерполяционно относительно банаховой пары(L1 , L∞ ).5.3.4О безусловности прореженного хаоса РадемахераВ этом разделе, а также в разделе 5.3.6 мы будем использовать понятиеRUD последовательности.Определение 5.3.12. (см.
[167]) Базисная последовательность {xj }j∈N вбанаховом пространстве X называется D-RUD последовательностью, D >0, если для любых n ∈ N и aj ∈ R, j = 1, 2, . . . , n, выполняется неравенство nZ1 nXXaj xj 6 D rj (u)aj xj du.j=1X0j=1354XRUD последовательностью будем называть D-RUD последовательностьс некоторым числом D, точное значение которого не важно в контекстерассматриваемых задач.Ясно, что любая D-безусловная базисная последовательность являетсяи D-RUD последовательностью.Лемма 5.3.13. Пусть X — симметричное пространство, и ExpL2 ⊂ X.Тогда для каждой равномерно ограниченной D-RUD последовательности{xj }j∈N из X с некоторой константой C = C(X) выполняется неравенство Хинчина: 21XX x6C(X)Dsupkxk·a2j .jj ∞j∈N j∈N j∈NXДоказательство.
С помощью леммы 5.3.7 и теоремы Родина-Семенова[196, Theorem 6] получаемXZ1 X6Daxr(u)axj jjj j du j∈N j∈N0XX 1Z X6 DC r(u)ax(·)dujj j j∈N0ExpL2 (·)X6 2DC ess sup r(·)ax(t)jj jt∈[0,1] j∈NExpL2 (·) 21X06 2DC ess sup(aj xj (t))2 t∈[0,1]j∈N 216 C(X)D sup kxj k∞ · j∈N355Xj∈Na2j .Определение 5.3.14. Пусть A ⊂ Nd , d ∈ N, α > 1.
Будем говорить, чтомножество A является супер-α-множеством, если выполняется следующееусловие: для некоторого cA > 0 и каждого n ∈ N найдутся множестваB1 , B2 , . . . , Bd такие, что |Bj | = n, j = 1, 2, . . . , d, и|A ∩ (B1 × B2 × . . . × Bd )| > cA nα .Множество B1 × B2 × . .
. × Bd из определения 5.3.14, соответствующеечислу n ∈ N, будем обозначать далее как Bn .Определение 5.3.15. Пусть A ⊂ Nd , d ∈ N, β 6 d. Будем говорить,что множество A является суб-β-множеством, если выполняется следующее условие: для некоторого CA > 0, каждого n ∈ N и любых множествB1 , B2 , . . .
, Bd , |Bj | = n, j = 1, 2, . . . , d, выполняется неравенство|A ∩ (B1 × B2 × . . . × Bd )| 6 CA nβ .Определение 5.3.16. Множество A ⊂ Nd , являющееся одновременно супер-α- и суб-β-множеством, будем называть (α, β)-множеством.Ясно, что если A является (α, β)-множеством, то α 6 β. Любое суперα-множество является (α, d)-множеством.Далее для краткости записи будем использовать сокращенное обозначение для мультииндекса и произведений функций Радемахера. Именно,положим := (j1 , j2 , .
. . , jd ) и r (t) := rj1 (t) · rj2 (t) · . . . · rjd (t).Теорема 5.3.17. Пусть X — симметричное пространство. Предположим также, что d ∈ N, A ⊂ 4d является (α, β)-множеством и α +1/β > 2. Тогда следующие условия эквивалентны:1) {r }∈A — безусловная базисная последовательность в X;3562) {r }∈A — RUD последовательность в X;3) последовательность {r }∈A эквивалентна в X стандартному базису`2 , т.е. для некоторой константы CXX−1 6 CX k{a }∈A karCXk{a }∈A k`2 (A) 6 `2 (A) . ∈AXВ частности, условия 1), 2) и 3) эквивалентны если множество Aявляется (α−ε, α+ε)-множеством при α > 1 и достаточно малом ε > 0.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
