Диссертация (1154386), страница 37
Текст из файла (страница 37)
без конкурирующей с.в. на(Ω, F, P), а через D0 обозначим подкласс E с.в., для которых нельзя реализовать конкурирующую с.в. вообще ни на каком вероятностном пространстве. Ясно, что C ⊂ D0 ⊂ D ⊂ E. В случае пространства без атомовCD0 = DE, а в случае пространства, состоящего из конечного числаатомов, C = D0 = D = E. Для произвольного вероятностного пространствалинейность класса D равносильна условию D = E. Так, если в вероятностном пространстве Ω можно выделить часть Ω1 без атомов, P(Ω1 ) > 0, тона Ω существует случайная величина с неопределенной проблемой моментов, так как условное распределение на Ω1 можно сделать произвольным(и, в частности, таким, как у X 3 , X ∼ N (0, 1)), а на Ω \ Ω1 с.в. можнозанулить, и, кроме того, конкурирующая с.в.
может быть реализована на321том же пространстве. В этом случае D =6 E, и класс D (а как следствие,и класс D0 ) не будет линейным. Известно, что существуют и дискретныевероятностные пространства, состоящие из счетного числа атомов, на которых можно реализовать случайную величину с неопределенной проблемоймоментов (см. пункт 11.2 книги [206], где описано бесконечное семействодискретных величин с моментами логнормального распределения). Точнаяхарактеризация вероятностных пространств без с.в. с неопределенной проблемой моментов автору неизвестна (ни в смысле D, ни в смысле D0 ).5.2.7Симметричные пространства с определеннойпроблемой моментовВ этом параграфе роль вероятностного пространства играет отрезок [0, 1]с мерой Лебега µ.
Все результаты останутся верными и при замене отрезка на произвольное неатомическое вероятностное пространство, а доказательства достаточности соответствующих условий определенности можноперестроить и для случая произвольного вероятностного пространства. Нов некоторых рассуждениях нам удобно пользоваться перестановками функций, поэтому далее мы будем работать только с отрезком [0, 1].Достаточные условия определенности проблемы моментов обычно формулируются в индивидуальных терминах для функции (или случайной величины). Но естественно ставить вопрос и о классах функций, образующих,например, линейное пространство. В качестве классов функций с единственностью в проблеме моментов естественно рассматривать симметричные пространства, так как принадлежность функции таким пространствамзависит лишь от распределения.
Кроме того, условия Крамера и Карле-322мана монотонны, что соответствует условию идеальности из определениясимметричного пространства.Мы докажем теперь некоторые результаты, связанные с вложениямисимметричных пространств в классы C и D. Как уже отмечалось выше,из теоремы 5.2.12 следует, что наибольшего симметричного пространства,вложенного в C или D, не существует.Теорема 5.2.21. Пусть ϕ ∈ ∆2 , т.е.
ϕ(t) 6 Cϕ(t2 ) для некоторого C > 0и всех t ∈ [0, 1]. Каждое из следующих вложений1) M(ϕ) ⊂ C, 2) M(ϕ) ⊂ D, 3) M0 (ϕ) ⊂ C, 4) M0 (ϕ) ⊂ D,эквивалентно условию5)Z1ϕ(t)dt= ∞.t0Доказательство. Учитывая очевидность некоторых импликаций, нам достаточно доказать только импликации 5) ⇒ 1) и 4) ⇒ 5).5) ⇒ 1). Так как ϕ ∈ ∆2 , то для пространства Марцинкевича M(ϕ)имеемxxxkxkM(ϕ) sup ϕ(t)x∗ (t) sup ϕ(e−p )kxkp sup ϕ(e−p )kxkp ,p>1t∈(0,1]p∈Npпри этом 1/ϕ ∈ M(ϕ) и k1/ϕkp 1/ϕ(e−p ) (см.
[42, теорема 2]). Поэтомувложение M(ϕ) ⊂ C имеет место тогда и только тогда, когдаZ∞ϕ(e−p ) dp = ∞,1но последнее равносильно условию 5).3234) ⇒ 5). Предположим противное, т.е. что 5) не имеет место. Тогдасуществует такая вогнутая положительная функция ψ(t) ∈ C 1 [0, 1], чтоlimt→0+ ϕ(t)/ψ(t) = 0, ψ 0 (t) > 0 для всех t ∈ [0, 1] и выполняется условиеZ1ψ(t)dt< ∞.t0Для обоснования этого несложного факта поступим следующим образом.Благодаря сходимости интеграла для ϕ(t)/t найдется последовательность{δn }∞n=1 ↓ 0 такая, что∞XZδnn·n=1ϕ(t)dt< ∞.t0При этом можно считать, что δ1 = 1 и δn+1 < δn0 , где δn0 — точка, в которой касательная yn (t) = kn t + bn к функции nϕ(t) в точке δn пересекаетфункцию (n + 1)ϕ(t).
Тогда функцияkn t + bn , если t ∈ (δ 0 , δn ]nφ(t) =(n + 1)ϕ(t), если t ∈ (δn+1 , δ 0 ]nявляется вогнутой по построению, удовлетворяет условию lim ϕ(t)= 0 и,t→0+ φ(t)P∞так как φ(t) 6 n=1 (n + 1)ϕ(t)χ(0,δn ] (t), условиюZ1φ(t)dt< ∞.t0Сглаживая эту функцию в точках δn0 , получаем нужную функцию ψ(t).Но тогда существует и симметрично распределенная убывающая функция z(t), которая совпадает с 1/ψ на некотором интервале вида (0, δ). Проверим, что для плотности p(x) такой функции (или случайной величины)324выполняется условие Крейна (5.9). Имеем0p(x) = − (µ {t ∈ (0, 1) : z(t) > x})0x = − z −1 (x) x = −1z 0 (z −1 (x)).Функция p(x) четна в силу симметричности z. Поэтому условие Крейнадля p равносильно условиюZ+∞− log p(x)dx =x2z(1/3)Z+∞log −z 0 (z −1 (x))dx < ∞,x2z(1/3)или, после замены t := z −1 (x), условиюZ1/3− log(−z 0 (t))dz(t) < ∞.(z(t))20Так как z(t) = 1/ψ(t) при t ∈ (0, 1/3), то достаточно установить конечностьинтегралаZ1/3 0 ψ (t)ψ 0 (t)dt.log2ψ(t)0Для любой вогнутой функции ψ справедливо неравенство ψ 0 (t) 6 ψ(t)/t,поэтомуψ 0 (t)logψ(t)216 log,tψ(t)иZ1/3 0 Z1/3Z1/3ψ (t)logψ 0 (t)dt 6 log(1/t) ψ 0 (t)dt + log(1/ψ(t)) ψ 0 (t)dt.2ψ(t)000Второй интеграл справа конечен для любой возрастающей функции ψ.
Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, чтоZ1/3log(1/t) ψ 0 (t)dt < ∞.0325Так как ψ(s)χ(s,1) (t) 6 ψ(t) и, в силу предположения, функция ψ(t) суммируема по мере dt/t, с помощью теоремы Лебега о мажорируемой сходимостиполучимZ1lim ψ(s) log(1/s) = lim ψ(s)s→0+s→0+dt= lims→0+tsZ1ψ(s)χ(s,1) (t)dtt0Z1=lim ψ(s)χ(s,1) (t)s→0+dt= 0.t0ПоэтомуZ1/3Z1/31/3 Z1dtlog(1/t) ψ 0 (t)dt = log(1/t) dψ(t) = ψ(t) log(1/t) + ψ(t) < ∞.0t000Итак, для плотности случайной величины z ∈ M0 (ϕ) выполнено условиеКрейна, и, следовательно, M0 (ϕ) 6⊂ D, что противоречит 4). Таким образом импликация 4) ⇒ 5) доказана.Пусть M (u) — функция Орлича.
Предположим, что существует C > 0такое, чтоM (u)2 6 M (Cu)(5.24)для всех достаточно больших u. Несложно установить, что в этом случаепространство Орлича LM совпадает с пространством Марцинкевича M(ϕ),где ϕ(t) := 1/M −1 (1/t) ∈ ∆2 . Кроме того, для интеграла из формулировкитеоремы 5.2.21 имеемZ10dtϕ(t) =tZ1dt=tM −1 (1/t)Z∞M −1 (1)0326M 0 (u) du.M (u) uВо многих вопросах анализа важную роль играют классы Орлича L̃M ,состоящие из таких функций x(t) на отрезке [0, 1], для которыхZ1M (|x(t)|) dt < ∞.0Ясно, что L0M ⊂ L̃M ⊂ LM . Поэтому из теоремы 5.2.21 и предыдущегозамечания получаем следующий результат (см.
[46, теорема 2]; сравнитетакже с [154, теорема 1.1]).Теорема 5.2.22. Если функция Орлича M (u) удовлетворяет условию(5.24), то каждое из следующих включений1) LM ⊂ C, 2) LM ⊂ D, 3) L0M ⊂ C, 4) L0M ⊂ D, 5) L̃M ⊂ C, 6) L̃M ⊂ Dравносильно условию7)Z∞M 0 (u) du= ∞.M (u) u(5.25)1Следствие 5.2.23. Пусть α > 0, γi ∈ R и при достаточно больших uM (u) = exp (uα (log u)γ1 (log log u)γ2 . . . (log . . . log u)γn ) .Пространство LM вложено в класс D тогда и только тогда, когда{α > 1} ∨ {α = 1, γ1 > −1} ∨ {α = 1, γ1 = −1, γ2 > −1}∨· · · ∨ {α = 1, γ1 = γ2 = · · · = γk−1 = −1, γk > −1}∨· · · ∨ {α = 1, γ1 = γ2 = · · · = γn−1 = −1, γn > −1}.В частности, любая функция M (u) видаuM (u) ∼ e (log u)·(log log u)·...·(log...
log u) ,327при произвольной кратности последнего логарифма, удовлетворяет неравенству (5.24) и условию 7) теоремы 5.2.22. Получаем следующее утверждение, которое мы сформулировали в вероятностных терминах (см. такжеработу [154], где с помощью совершенно других методов доказан близкийрезультат для многомерной проблемы моментов).Следствие 5.2.24. Предположим, что случайная величина ξ такова,что при достаточно большом C > 0 случайная величинаη=ξlog(|ξ| + C) · log log(|ξ| + C) · .
. . · log log . . . log(|ξ| + C)удовлетворяет условию Крамера. Тогда проблема моментов Гамбургераопределенная для ξ.Следующий результат уточняет результат работы [110] о проблеме моментов для степеней стандартной гауссовской случайной величины g.Следствие 5.2.25. Пусть a > 0, bi ∈ R, i = 1, 2, .
. . , n, и пусть C ∈ Rтакое, что n−кратный логарифм log log . . . log C корректно определен иположителен. Тогда проблема моментов Гамбургера для случайной величиныη = sign(g)·|g|a ·(log(|g|+C))b1 ·(log log(|g|+C))b2 . . . (log log . . . log(|g|+C))bnопределенная тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих n + 1 условий:1) a ∈ (0, 2);2) a = 2, b1 < 1;...n) a = 2, b1 = . . . = bn−2 = 1, bn−1 < 1;n+1) a = 2, b1 = .
. . = bn−1 = 1, bn 6 1.328Замечание 5.2.26. Интересно заметить, что условия определенности проблемы моментов (Гамбургера!) для случайной величиныζ = |g|a · (log(|g| + C))b1 · (log log(|g| + C))b2 . . . (log log . . . log(|g| + C))bn ,которая равна модулю случайной величины η из следствия 5.2.25, несколько другие, именно,1) a ∈ (0, 4);2) a = 4, b1 < 2;...n) a = 4, b1 = . . . = bn−2 = 2, bn−1 < 2;n+1) a = 4, b1 = . . .
= bn−1 = 2, bn 6 2.Последний результат вытекает из следующих двух фактов: a) условиеZ∞M 0 (u) du√ = ∞.M (u) u1является достаточным для определенности проблемы моментов Стилтьесадля каждой случайной величины из пространства Орлича LM (см. теорему 5.2.30 далее); b) если проблема моментов Стилтьеса определенная дляположительной случайной величины, то такова же и проблема моментовГамбургера [145, теорема A].Через Λr (ϕ), r > 1, обозначим пространство Лоренца с нормой 1 1rZkxkΛr (ϕ) = x∗ (t)r dϕ(t) .0Теорема 5.2.27.
Пусть r > 1, а вогнутая функция ϕ ∈ ∆2 представимав видеZ∞ϕ(t) =g(s)r+1 dslog 1/t329с некоторой неотрицательной функцией g(s) такой, чтоZ∞g(s) ds = +∞.1Тогда Λr (ϕ) ⊂ C.Доказательство. Так как ϕ ∈ ∆2 , то из [42, теорема 3], получаем∞ 1rZxkxkΛr (ϕ) kxkrp e−p ϕ0 (e−p ) dp .1Кроме того, из предположений теоремы следует, что ϕ0 (t) = g(log 1/t)r+1 ·1/t и, следовательно, для любого x ∈ Λr (ϕ)Z∞kxkrp g(p)r+1 dp =1Z∞kxkrp e−p ϕ0 (e−p ) dp < ∞.1С другой стороны, применяя неравенство Гельдера с параметрами q =r + 1 и q0 =r+1r ,получимZ∞Z∞g(p) dp =1rrr+1 dpkxkpr+1 g(p) · kxk−p1Z∞6 1 r+1kxkrp g(p)r+1 dpZ∞·11r r+1dp kxkp,и из расходимости интеграла в левой части этого неравенства следует выполнение условия Карлемана (5.6) для всех x ∈ Λr (ϕ).Следствие 5.2.28. Пуусть ϕα (t) log−1 (e/t) logα (log ee /t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
