Диссертация (1154386), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Если система {ψn } полна вM0 (ϕ), то для любого x ∈ M0 (ϕ) ряд∞Xcn (x)ψnn=1сходится к x в пространстве M0 (ϕ1 ), где ϕ1 (t) 282ϕ(t)log e/t .Доказательство. Согласно следствию 3.2.27 пространство M0 (ϕ) сильноэкстраполяционно. При этом, если κ(t) = log−1 e/t, тоM0 (ϕ) κ = M0 (ϕ1 )(в силу следствия 5.1.7 пространство M0 (ϕ1 ) определено корректно).

Доказательство завершается использованием теоремы 5.1.2.5.1.2Симметричность пространствамультипликаторов РадемахераКак обычно, определим функции Радемахера формулойrn (t) := sign sin(2n πt),t ∈ [0, 1],n ∈ N.Через R обозначим множество всех функций видаP∞n=1 an rn ,где рядыпредполагаются сходящимися почти всюду. Для симметричного пространства X на [0, 1] введем обозначение R(X) для замкнутого линейного подпростраства X, получаемого пересечением R ∩ X.

Пространством мультипликаторов Радемахера пространства X будем называть пространствоPΛ(R, X) всех измеримых функций x : [0, 1] → R таких, что x · ∞n=1 an rn ∈P∞X для каждогоn=1 an rn ∈ R(X). Это пространство будет банаховойфункциональной решеткой на [0, 1] с нормойkxkΛ(R,X)∞∞∞ XXn Xo= sup x ·an rn :an rn ∈ X, an rn 6 1 .n=1Xn=1n=1XПространство Λ(R, X) может рассматриваться как пространство операторов из R(X) во все пространство X, получающихся умножением на измеримую функцию.283Пространство мультипликаторов Радемахера Λ(R, X) впервые рассматривалось в работе [130], где было показано, что для любого симметричногопространства X из довольно широкого класса классических пространствсоответствующее пространство Λ(R, X) не является симметричным. Этоткласс был расширен в работе [103] до включения всех перестановочно-инвариантных пространств с положительным нижним показателем растяженияγϕX фундаментальныой функции ϕX : γϕX > 0.

Этот результат мотивируетизучение симметричного ядра Sym (R, X) пространства Λ(R, X), т.е. наибольшего симметричного пространства, вложенного в Λ(R, X). Пространство Sym (R, X) изучалось в работе [103], где было показано, что если симметричное пространство X удовлетворяет свойству Фату и X ⊃ ExpL2 ,то Sym (R, X) является симметричным пространством с нормой kxk :=kx∗ (t) log1/2 (2/t)kX . Там же было показано, что любое симметричное пространство X со свойством Фату, являющееся интерполяционным по отношению к паре (Llog1/2 L, L∞ ) может быть реализовано как симметричноеядро некоторого симметричного пространства. Противоположная ситуациявозникает когда пространство мультипликаторов Радемахера Λ(R, X) является симметричным пространством.

Простейший пример этой ситуациивозникает при Λ(R, X) = L∞ . В работе [3] было показано, что равенствоΛ(R, X) = L∞ выполняется для всех симметричных пространств X, интерполяционных по отношению к паре (L∞ , ExpL2 ). Более точный результатполучен в [104], где было доказано, что Λ(R, X) = L∞ тогда и толькотогда, когда функция log1/2 (2/t) не принадлежит замыканию L∞ в X, которое мы, как и ранее, будем обозначать через X0 .

В работе [105] изучалсяслучай, когда пространство Λ(R, X) является симметричным, но отличноот L∞ . В частности, следующее дстаточное условие симметричности про284странства Λ(R, X) было получено в [105, Theorem 3.4].Теорема 5.1.9. Если в симметричном пространстве X на [0, 1] действует оператор Sx(s) = x(s2 ), то Λ(R, X) — симметричное пространство.Доказательство из [105] основывается на некоторых неравенствах дляфункции распределения. Экстраполяционное доказательство, представленное здесь, и опубликованное в совместной работе автора и С.В. Асташкина [170], существенно короче, и показывает полезность концепции сильноэкстраполяционного пространства.Доказательство.

В случае, когда log1/2 (2/t) 6∈ X0 , как это доказано в[104], Λ(R, X) = Sym (R, X) = L∞ . Поэтому мы можем считать, чтоknlog1/2 (2/t) ∈ X0 . Положим ∆kn := [ k−12n , 2n ), где n ∈ N и k = 1, · · · , 2 . Вви-ду [105, Proposition 3.3] достаточно доказать существование такого A > 0,что для всех n ∈ N и каждого набора c1 > c2 > · · · > c2n > 0 будетвыполнятся неравенство2n2nXX 2 21/21/2ck χ∆kn · logck χ∆kn · log 6 A .nt X2 t+1−k Xk=1(5.3)k=1Предположим, что измеримая функция x принадлежит всем пространствам Lp при p < ∞. Для каждого 0 < t 6 1 при p := log(2/t) имеемkxkp = kxklog(2/t) > Zt∗log(2/t)(x (s))ds1/ log(2/t)01> x∗ (t)t1/ log(2/t) > x∗ (t),eтак как t1/ log(2/t) > 1/e при 0 < t 6 1.

Поэтому ∗1/2 2 1/2 2 x (t) · log 6 e kxklog(2/t) log .t Xt X285(5.4)Если 1 6 p < ∞, то, согласно [130, Lemma 1], существует линейнаяPкомбинация функций Радемахера hp = mk=n+1 bk rk такая, что k(bk )k`2 = 1иkxkp 6 3p−1/2 kx · hp kp .(5.5)Согласно [196] и соотношениюkxkLN sup x∗ (t) log−1/2 (2/t),0<t61для каждого k = 1, . . . , 2n , имеем m−nX∗χ∆kn hp (s) =bk rk∗(2n s)k=1 2 χ[0,2−n ) (s)k(bk )k`26 C1 logns2 2 1/26 C1 logχ[0,2−n ) (s).2n s1/2Пусть x =P2nk=1 ck χ∆knс неотрицательными и убывающими коэффициен-тами ck .

Последнее неравенство влечет, что∗(xhp ) (s) =2nXck χ∆kn hp∗(s)k=16 C12nXck χ∆kn logk=11/2∗2(s).2n s + 1 − kСледовательно, согласно (5.5),2nX1/2−1/2 kxkp 6 3C1 pck χ∆kn logk=12.n2 s+1−k pОткуда, полагая снова p = log(2/t), получаем, что 1/2 2 kxklog(2/t) log 6t X2862nX1/2ck χ∆kn log6 3C1 k=12 .2n s + 1 − k log(2/t) XПо теореме 3.2.5 и согласно нашим предположениям, предыдущее неравенство дает, что2nX 2 21/21/2ck χ∆kn log kxklog(2/t) log 6 C3 .t X2n s + 1 − k Xk=1Это неравенство вместе с (5.4) дает (5.3), и доказательство закончено.5.1.3Операторы проектирования на подпространства,порожденные сжатиями и трансляциямиНапомним, что симметричное пространство X обладает свойством Фату,если из сходимости ограниченной в X последовательности {xn }∞n=1 почтивсюду к x следует, что x ∈ X, иkxkX 6 lim inf kxn kX .n→∞Для измеримой функции a введем обозначениеa(2k t − 1) при t ∈ (2−k , 2−k+1 ),ak = ak (t) :=0 иначе.В работе автора [41] было доказано следующее утверждение.Теорема 5.1.10.

Пусть X — симметричное пространство на [0, 1], сепарабельное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны:1) существует C > 0 такое, что∞∞∞XXX−1 C ck χ(2−k ,2−k+1 ) 6 c k ak 6 C ck χ(2−k ,2−k+1 ) k=1Xk=1287Xk=1Xдля произвольных a ∈ X, kakX = 1, и ck ∈ R;2) для произвольных a = a∗ ∈ X и b = b∗ ∈ X 0 , для которыхZ1a(t)b(t) dt = 1,0операторPa,b x(t) :=∞Xk=12k−k+12Zx(s)b(2k s − 1) ds ak (t)2−kограничен в X;3) X = Lp для некоторого p ∈ [1, ∞].Эта теорема, характеризующая пространства Lp , показывает также, чтопроекторы Pa,b не будут ограничены в сепарабельных F-экстраполяционныхпространствах. Мы можем, тем не менее, используя теорему 4.1.4 доказатьследующее утверждение.Теорема 5.1.11. Пусть a = a∗ ∈ ExpL1/α , α > 0, b = b∗ ∈ ∪q>1 Lq . Тогда оператор Pa,b ограничен из произвольного сильно экстраполяционногопространства X в пространство X(log−α ).Доказательство.

Пусть b ∈ Lq0 . Тогда [41, лемма 3.6]kPa,b kLp →Lp = kakp · kbkqпри q =pp−16 q0 . Так как a ∈ ExpL1/α , то, согласно следствию 3.2.34,kakp 6 Cpα . Поэтому при p > p0 =q0q0 −1kPa,b kLp →Lp 6 Ckbkq0 pα ,и доказательство завершается применения теоремы 4.1.4.2885.2Вероятностная проблема моментовСуществует интересная связь между теорией экстраполяции в шкалах симметричных пространств и теорией вероятностей. Так, экстраполяционноеописание пространств Марцинкевича позволяет восстановить распределение по известным Lp -нормам функции (или, на языке теории вероятностей, случайной величины). Эта точка зрения находит применения в задачах, связанных с большими уклонениями, уточнением вероятностых неравенств, оценками максимумов случайных процессов, и даже в прикладных задачах математической статистике (см., например, книгу Островского Е.И.

[85] или работу [163]). В настоящем параграфе обсуждается замеченная автором связь между теорией экстраполяции и классической степенной проблемой моментов. Будут доказаны теоремы единственности дляпроблемы моментов, уточняющие известное условие Крамера и близкиек нему по форме. Основные результаты этого параграфа опубликованы вработах [45, 46, 49, 172].5.2.1Классическая проблема моментов, известные результаты и постановка задачиОбозначим через E линейное пространствоTp<∞ Lp .Для данной функцииx ∈ E определим числаZ1µn =x(t)n dt,n ∈ N,0называемые моментами x. Проблемой моментов обычно называется классзадач, связанных с характеризацией поведения последовательности моментов {µn }∞n=1 , возможно с добавлением некоторых ограничений на функцию289x в постановке проблемы, а также с описанием классов измеримых функций, имеющих заданную последовательность моментов.

Последняя проблема известна как проблема классов и очень близка проблеме экстраполяционного описания предельных пространств для шкалы пространств Lp .Особую важность имеют здесь вопросы единственности, касающиеся вопроса об однозначном восстановлении распределения функции по последовательности ее моментов. Если рассматриваются произвольные функции(без каких-либо ограничений), соответствующий круг вопросов называетсяпроблемой моментов Гамбургера.

В случае, когда функции предполагаются неотрицательными, говорят о проблеме моментов Стилтьеса.Будем говорить, что проблема моментов Гамбургера определенная дляданной функции x ∈ E (или, короче, x ∈ D), если из условий y ∈ E иZ10y(t)n dt =Z1x(t)n dt,для всех n ∈ N,0следует, что распределения функций x и y совпадают, т.е.µ{t ∈ [0, 1] : x(t) > τ } = µ{t ∈ [0, 1] : y(t) > τ }для всех τ ∈ R.Если же такого свойства нет, то говорят, что проблема моментов Гамбургера неопределенная. Хорошо известно, что множества D и E\D не пусты.Так, если x стандартная гауссовская случайная величина, т.е.1µ{t ∈ [0, 1] : x(t) > τ } = √2πZ∞u2e− 2 du,τто x ∈ D, но x3 ∈ E\D [110]. Известно также, что проблема моментов Гамбургера является определенной для каждой функции x, удовлетворяющей290так называемому условию КрамераZ1eε|x(t)| dt < ∞ для некоторого ε > 00или, что равносильно, x ∈ ExpL.

Как мы уже знаем, последнее свойствоможет быть переписано как условие на Lp -нормы (моменты) x:supp∈Nkxkp< ∞,pкоторое равносильно аналитичности характеристической функции для x вокрестности нуля. Более точное условие КарлеманаZ∞X 1dp= ∞, или, равносильно,= ∞.kxkpkxkpp∈N(5.6)1также зависит от роста Lp -норм функции x и, как следствие, от того, вкакие пространства Орлича попадает функция x.

Обозначим через C классфункций, удовлетворяющих условию (5.6), и будем называть его классомКарлемана. Как известно (см. [206, пункты 11.9 и 11.10]), имеют местоследующие строгие вложенияL∞ ⊂ ExpL ⊂ C ⊂ D ⊂ E.(5.7)Наша цель состоит в уточнении последних соотношений с помощью вложений симметричных пространств в классы C и D.

Характеристики

Список файлов диссертации