Диссертация (1154386), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда последовательность Sn =yjj=1фундаментальна, так какkSk − Sn k 6kXKj−nkyj k 6j=n+1∞XK j kyj k → 0.j=n+1Следовательно, в силу полноты пространства Y , существует y ∈ Y такой,чтоy=∞Xyj .j=1Примерами квазибанаховых пространств, не являющиxся банаховыми,могут служить пространства Lp при 0 < p < 1.Определение 4.2.3. Будем говорить, что оператор T , действующий изквазибанахова пространства X в квазибанахово пространство Y ограничен, если с некоторой константой C > 0 для всех x ∈ X выполняется неравенство kT xkY 6 CkxkX . Квазинорма ограниченного оператора, которуюмы тем не менее будем называть нормой, определяется выражениемkT kX→Y := supx6=0kT xkY.kxkXЕсли ограниченный оператор T линейный, то он будет и непрерывным.237Определение 4.2.4.
Оператор T , определенный на банаховом пространстве X и принимающий значения в S, называется сублинейным на X, еслиPдля некоторого B > 0 и произвольного представления x = ∞j=1 xj , гдеряд сходится в X, выполняется неравенство|T x(t)| 6 B∞X|T xj (t)| почти всюду на [0, 1].j=1Отметим, что в этом определении мы не предполагаем субоднородности, т.е. выполнения неравенства |T (λx)(t)| 6 C|λT x(t)|, а только субаддитивность, которой достаточно для справедливости теорем далее. Исключением является раздел 4.2.6, где, кроме субаддитивности, нужна исубоднородность.
Такие операторы будем называть квазилинейными.Следующее важное понятие введено Калтоном в работе [156, см. определение 3.2, теорема 3.6].Определение 4.2.5. Квазибанахово пространство называется логарифмически выпуклым, если при некотором C > 0 в нем выполняется неравенство:∞ ∞X Xxj 6 C(1 + log j)kxj kY .j=1Yj=1Например, пространство L1,∞ с квазинормойkxk1,∞ := sup tx∗ (t) = sup yµ{t : |x(t)| > y}y>0t∈(0,1]является логарифмически выпуклым [156, теорема 3.4], [204, лемма 2.3].4.2.2Абстрактные экстраполяционные теоремыВ настоящем параграфе мы сформулируем теорему об ограниченности линейного оператора, действующего из достаточно произвольной шкалы ба238наховых пространств в фиксированное квазибанахово пространство. Результат является следствием общей теории экстраполяции Б.
Яверса и М.Мильмана, но для целей последующих параграфов нам удобно этот результат выделить и сформулировать явно. Напомним сначала определениеэкстраполяционного функтора суммы. Предположим, что имеется семейство банаховых пространств {Aθ }θ∈Θ , равномерно вложенных в банаховопространство A. Это означает, что для всех θ ∈ Θ пространство Aθ вложено в A как векторное пространство, и для некоторой константы C > 0, независящей от θ ∈ Θ, справедливо неравенствоkakA 6 CkakAθдля всех θ ∈ Θ и a ∈ Aθ .Напомним, что экстраполяционный функтор суммыPставит в соответ-ствие каждой такой шкале пространств {Aθ }θ∈Θ новое пространство()∞∞X XXXA=Aθ := a ∈ A : a =aj , где aj ∈ Aθj иkaj kAθ < ∞jθ∈Θj=1j=1с нормойkakP = inf∞Xkaj kAθ ,jj=1Pгде инфимум берется по всем представлениям элемента a ∈в виде a =P∞j=1 aj .PПространствоявляется банаховым пространством, вложенным в Aс той же константой C равномерного вложения пространств Aθ в A (см.работы Б.Яверса и М.Мильмана [151, 152]).
Кроме того, можно показать,что если пространства Aθ и A обладают дополнительно структурой идеального или симметричного пространства, то такой же структурой будетPобладать и пространство . Естественно, можно определить и простран239ство взвешенной суммыXC(θ)Aθ ,θ∈Θс произвольной положительной функцией C(θ), если под C(θ)Aθ пониматьпространство Aθ c новой нормой k · k0Aθ := C(θ)k · kAθ . При этом достаточно потребовать вложений Aθ в A c константами Cθ . Докажем теперьэкстраполяционную теорему.Теорема 4.2.6. Пусть пространства Xj , j ∈ N, — банаховы и вложенынепрерывно в банахово пространство A, а линейный оператор T действует ограниченно из каждого пространства Xj в фиксированное квазибанахово пространство Y иkT xkY 6 Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj .(4.5)Предположим также, чтоkxkA 6 CK j Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj ,где C — некоторая положительная константа, K — константа из неравенства треугольника пространства Y , а константы Cj те же, что ив (4.5).Тогда, если оператор T действует непрерывно из пространства A вкакое-нибудь топологическое векторное хаусдорфово пространство B, вкоторое непрерывно вложено пространство Y , то оператор T действуетограниченно из пространстваX :=∞XK j C j Xjj=1в пространство Y , и kT xkY 6 kxkX для всех x ∈ X.240Доказательство.
В силу вложений пространств Xj в пространство A сконстантами CK j Cj соответственно, пространство X определено корректно. Пусть x ∈ X, ε > 0. и последовательность xj ∈ Xj такова, чтоAx=∞Xxj∞Xиj=1K j Cj kxj kXj < kxkX + ε.j=1Тогда последовательность Sn =Pnj=1 T xjфундаментальна в Y .
Действи-тельно,kSk − Sn kY 6kXKj−nkXkT xj kY 6j=n+1K j Cj kxj kXj → 0 при k, n → ∞.j=n+1Следовательно, Sn сходится в пространстве Y . При этом, так как T непреPрывен из A в B, то Sn = T nj=1 xj → T x в B. В силу непрерывностивложения Y ⊂ B и отделимости B, Sn сходится в Y именно к T x. Тогда,по лемме 4.2.2,kT xkY 6∞XjK kT xj kY 6j=1∞XK j Cj kxj kXj 6 kxkX + ε.j=1В силу произвольности ε > 0, получаемkT xkY 6 kxkX .В теореме 4.2.6 необходимо условие непрерывного действия оператора внекоторое объемлющее Y пространство B. При некоторых дополнительныхограничениях на пространство Y и оператор T можно избавиться от этогоусловия.
Как вариант приведем следующую теорему, в которой оператордаже не обязан быть линейным.241Теорема 4.2.7. Пусть пространства Xj , j ∈ N, — банаховы и вложенынепрерывно в банахово пространство A, а оператор T действует ограниченно из каждого пространства Xj в фиксированное квазибанахово идеальное пространство Y измеримых функций на некотором пространствес мерой, иkT xkY 6 Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj .(4.6)Предположим также, чтоkxkA 6 CK j Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj ,где C — некоторая положительная константа, K — константа из неравенства треугольника пространства Y , а константы Cj те же, что ив (4.6). Пусть, кроме того, для некоторого B > 0 оператор T обладаетSна множестве T , j∈N Xj ⊂ T ⊂ A, свойствомесли x =∞Xxi в A, то |T x(t)| 6 B∞X|T xi (t)| для почти всех t.i=1i=1Тогда для всех x ∈ T ∩ X, гдеX :=∞XK j C j Xj ,j=1выполняется kT xkY 6 BkxkX .
В частности, если X ⊂ T , то операторT действует ограниченно из X в Y c нормой, не превосходящей B.Доказательство. Соответствующее рассуждение почти дословно повторяет доказательство теоремы 4.2.6. Отличие в том, что из фундаментальностиPпоследовательности Sn = nj=1 T xj теперь не следует сходимости этой последовательности к T x.
В этом месте необходимо воспользоваться дополнительным свойством оператора и идеальностью пространства Y , чтобы242получить оценку∞∞XXK j Cj kxj kXj 6 BkxkX + Bε,|T xj | 6 BkT xkY 6 B j=1j=1Yиз которой следует все, что нужно.Замечание 4.2.8. В теореме 4.2.7 априори не предполагается, что дляx ∈ T функция T x конечна почти всюду. Оператор T предполагается определенным на T со значениями в S. Но апостериори оказывается, что приx ∈ T ∩ X значение оператора T x принадлежит Y ⊂ S.
Это замечаниеприменимо и к теореме 4.2.19 далее.4.2.3Взвешенные суммы пространств Lp и Lp,1В этом параграфе будут вычислены взвешенные суммы пространств Lp иLp,1 на отрезке [0, 1]. При этом для дальнейшего нам необходимы не толькоизоморфизмы пространств, но и дополнительная информация о константахих взаимного вложения. Для двух банаховых пространств X и Y равенствоX = Y будет означать изоморфизм, а для обозначения изометрии будетиспользоваться выражение X ≡ Y .
Будем говорить, что вложения Aθ ⊂ Bθравномерны по θ ∈ Θ, если c одной и той же константой C > 0 для всехθ ∈ Θ и всех x ∈ Aθ справедливо kxkBθ 6 CkxkAθ .Лемма 4.2.9. Пусть Λ(ψθ ), θ ∈ Θ, — семейство пространств Лоренца,равномерно вложенных в L1 . ТогдаXΛ(ψθ ) ≡ Λ(ψ),θ∈Θгдеψ(t) = inf ψθ (t).θ∈Θ243Доказательство. ОбозначимΣ :=XΛ(ψθ ).θ∈ΘТ.к.
по определению пространства Σ,kχA kΣ 6 inf kχA kΛ(ψθ ) = inf ψθ (µ(A)) = ψ(µ(A)) = kχA kΛ(ψ) ,θ∈Θθ∈Θто, в силу экстремального свойства пространства Лоренца в классе симметричных пространств,1Λ(ψ) ⊂ Σ.(4.7)Далее, из неравенствψ(t) 6 ψθ (t)следуют вложения1Λ(ψθ ) ⊂ Λ(ψ),откуда, используя определение пространства Σ, получаем1Σ ⊂ Λ(ψ).Вместе с противоположным вложением (4.7) это дает нужное совпадениепространств Λ(ψ) и Σ.Теорема 4.2.10. Пусть ϕ(q) :[1, +∞) → [1, +∞) — возрастающаяфункция, иϕ(q + e−q ) 6 Cϕ(q)для некоторого C > 0 и всех q > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
