Диссертация (1154386), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Через ψ будем обозначать функцию, обратную к ϕ. Условие (3.59) для функции ϕ равносильно следующему условию для функцииψ, которое получается с помощью замены ϕ(t) = s в (3.59):sψ 0 (s)убывает на (0, s0 ).ψ(s)(3.60)Пусть M(ϕ) = LΦ . ТогдаZ11Φdt 6 1λϕ(t)(3.61)0при некотором λ. Можно считать, что λ > c2 . Приt6ψc2λϕ(1)будем иметь λλϕ(t) = c2 ϕ ψϕ(t).c2Поэтому из (3.25) получаемΦ1λϕ(t)= Φ11 >,λψ(γϕ(t))c2 ϕ ψ c2 ϕ(t)где γ = λ/c2 . Из этого неравенства и условия (3.61) следует, чтоZt11dt < 1ψ(γϕ(t))0210для некоторого t1 . После замены t = ψ(s) получимZs1ds< 1,ψ(γs)(3.62)0для некоторого s1 . Можно считать, что γs1 < s0 .Условию же (3.53), которое равносильно условию M(ϕ) ∈ EF , послеаналогичной замены можно придать видZs1∀t ∈ (0, s1 ) ∃p = p(t) > 1 :dψ(s)p ψ(t)6C· p ,spt0или, равносильно,Zs1∀t ∈ (0, s1 ) ∃p = p(t) > 1 :ψ(t)ψ(γs) dψ(s)·6 Cp · p .p(γs) ψ(γs)t(3.63)0Если выполнено (3.62) (т.е.
M(ϕ) = LΦ ), то неравенство (3.63), равносильное условию M(ϕ) ∈ EF , будет следовать из условия∀t ∈ (0, s1 ) ∃p = p(t) > 1 :ψ(γs) ψ(t)= p .pt0<s6s1 (γs)supНо последнее есть следствие (3.60), в чем легко убедиться рассматриваяпроизводную функцииfp (u) =ψ(u)upна (0, s0 ].Пример 3.4.14. Рассмотрим пространства Марцинкевича M(ϕθ ) и M(ϕ1 ),построенные по функциямϕθ (t) exp − log e/t , θ ∈ (0, 1), и ϕ1 (t) exp −θlog e/t.log(log 10/t)Несложно проверить, что для этих функций выполняется условие (3.59).Кроме того, для этих функций выполнены также условия леммы 3.2.28 с211α(t) = t log2 (e/t), поэтому соответствующие пространства Марцинкевичасовпадают с пространствами Орлича.
Покажем это для функции ϕ1 . Достаточно доказать неравенствоlog e/α(t)log e/texp −6 C exp −log(log 10/α(t))log(log 10/t)или, равносильно,log e/t − 2 log log e/tlog e/t6C+log(log 10/t)log(log 10/t − 2 log log e/t)для некоторого C. Последнее следует из следующих вычислений:log e/tlog e/t − 2 log log e/t=lim−t→0+ log(log 10/t)log(log 10/t − 2 log log e/t)vv − 2 log v= lim−=v→+∞ log(log 10/e + v)log(log 10/e + v − 2 log v)v − 2 log vv−=2= limv→+∞ log vlog(v − 2 log v)Аналогично проверяются условия леммы 3.2.28 для функций ϕθ . Согласнотеореме 3.4.13 cooтветствующие пространства Марцинкевича F-экстраполяционны. В то же время, как легко видеть, ϕθ , ϕ1 6∈ ∆2 .Замечание 3.4.15.
При доказательстве вложения M(ϕ) ⊂ LL∞ (ω2 ) (см.(3.51)) ключевую роль играла импликация:Zt0x∗ (s) ds 6Ztϕ̃0 (s) ds для всех t ∈ [0, 1] ⇒ kxkp 6 kϕ̃0 kp для всех p > 1.0Как легко видеть, обратное вложение LL∞ (ω2 ) ⊂ M(ϕ) имеет место тогдаи только тогда, когда справедлива противоположная импликацияkxkp 6 kϕ̃0 kp для всех p > 1 ⇒212Ztx∗ (s) ds 6 C0Ztϕ̃0 (s) ds для всех t ∈ [0, 1].0Согласно примеру 3.1.8 (а также пункту (ii) утверждения 3.4.11) существует ϕ ∈ F такая, что M(ϕ) ⊂ Lp для всех p < ∞, но M(ϕ) 6∈ EF , т.е.для такой функции ϕ последнее не верно.
В работе [42] Асташкиным С.В.было доказано следующее утверждение, уточняющее это замечание и одновременно показывающее сложности, возникающие при попытках связатьмежду собой интерполяционные и экстраполяционные конструкции.Предложение 3.4.16. Не существует универсальной константы C > 0такой, что из неравенстваkxkp 6 kykp , p > 1,верного для двух функций x, y ∈ L∞ , следует, чтоZt0x∗ (s)ds 6 CZty ∗ (s)ds, 0 < t 6 1.0К проблеме связи неравенств между Lp -нормами двух функций и ихK-функционалами мы вернемся в разделе 5.2.4.3.4.3Устойчивость F-метода к дискретизации шкалы{Lp}p<∞Не всегда удобно работать со всей непрерывной шкалой {Lp }16<∞ .
Например, при решении задач, связанных с проблемой моментов (см. параграф 5.2), естественно рассматривать дискретную шкалу {Lk }k∈N . В связи с этим возникает проблема замены непрерывного экстраполяционного213функтора на дискретный, при которой не меняются значения функтора.Для F-метода и шкалы {Lp }16p<∞ естественно рассмотреть следующие дваварианта.
Пусть 1 = p1 < p2 < p3 < . . . < pk < . . . — возрастающая последовательность, и limk→∞ pk = +∞, а F — банахова идеальная решеткафункций на [1, ∞), L∞ ⊂ F . Введем два пространства последовательностей:(F d = F d ({pk }) : =f = {fk }∞k=1 :kf kF d ({pk })∞X)fk χ[pk ,pk+1 ) ∈ F,k=1∞Xfk χ[pk ,pk+1 ) ,:= k=1Fи∞X(Fd = Fd ({pk }) : =f = {fk }∞k=1 :kf kFd ({pk }))fk+1 χ[pk ,pk+1 ) ∈ F, ∞k=1X:= fk+1 χ[pk ,pk+1 ) + kf1 χ[1,∞) kF .k=1FВ целях сокращения записи, мы будем опускать последовательность {pk }в обозначении пространств F d и Fd , если рассматривается общий случай,или смысл последовательности {pk } ясен из контекста. Теперь мы можемрассмотреть два F-экстраполяционных пространства, ассоциированных свведенными дискретными решетками:(LF d = F d ({Lpk }∞k=1 ) =kxkLFdx∈S:∞X)kxkpk χ[pk ,pk+1 ) ∈ Fk=1∞X:= kxkpk χ[pk ,pk+1 ) ,k=1F214,и(LFd = Fd ({Lpk }∞k=1 ) =kxkLFdx∈S:∞X)kxkpk+1 χ[pk ,pk+1 ) ∈ F,k=1∞Xkxkpk+1 χ[pk ,pk+1 ) + kxkp1 χ[1,∞) .:= Fk=1FТак как kxkp возрастает как функция от p, тоLFd ⊂ LF ⊂ LF d .Предложение 3.4.17.
Пусть v = v(p) : [1, +∞) → R+ — возрастающаяфункция, удовлетворяющая условию: v(p) > p для всех p > 1. Предположим также, что в банаховой идеальной решетке F действует ограниченно операторV : f (p) → f (v(p)).Тогда для последовательности {pk }∞k=1 , определяемой условиями p1 = 1 иpk+1 = v(pk ), справедливы равенстваL Fd = L F = L F d .Доказательство.
Достаточно доказать вложение LF d ⊂ LFd . Имеем∞XkxkLF = kxkpk+1 χ[pk ,pk+1 ) + kxkp1 χ[1,∞) dFF! k=1 ∞ X= vkxkpk χ[pk ,pk+1 ) + kxkp1 χ[1,∞) F ∞k=1 FX6 Ckxkpk χ[pk ,pk+1 ) = CkxkL d .Fk=1F215Для параметра экстраполяции F , соответствующего сильно экстраполяционному пространству (см. теорему 3.2.5, пункт (3)), получаем следующее утверждение, поясняющее замечание 3.2.11 с общей позиции.Следствие 3.4.18. Предположим, что банахово идеальное пространствоF умеренно, т.е.
в F ограниченно действует оператор D : f (p) → f (2p).Тогда для последовательности {pk = 2k−1 }∞k=1 выполняетсяL Fd = L F = L F d .Следствие 3.4.19. Пусть ϕ ∈ F. Тогда∆k∈N (ϕ(2−k )(Lk ) = ∆p>1 (ϕ(2−p )Lp ),иsup ϕ(2−k )kxkk sup ϕ(2−p )kxkp .p>1k∈NВ частности, функции ϕβ из замечания 3.3.14 эквивалентны вогнутымфункциям при β ∈ (1, 2]. Поэтому для пространств LMα примера 3.3.13 приα > 2 также получаемLMα = Ll∞ (exp(−kβ−1 /β)) ,или, подробнее,kxkLMα sup kxkk e−kβ−1/β.k∈NПриведем пример, показывающий, что в общем случае дискретный инепрерывный вариант функтора пересечения ∆ приводят к разным пространствам.Пример 3.4.20. Рассмотрим функциюx = x(t) = elog2163/41/t.Покажем, используя идею асимптотического метода Лапласа, что3kxkp eγp , где γ =27.256(3.64)Действительно, после замены log 1/t = s,kxkpp =Z∞eps3/4−sds.1Подынтегральная функция возрастает на [1, sp := (3p/4)4 ) и убывает на(sp , ∞). ПоэтомуkxkppZsp>eps3/4 3/444−sds > exp p (3p/4) − 1− (3p/4) + 1 ,sp −1откуда3kxkp > ceγp .С другой стороны, начиная с некоторого p,4kxkpp 6 ep+γp +Z∞s4e− 2 ds 6 2ep+γp .epОбъединяя с предыдущим неравенством, получаем 3.64.
Поэтомуlimp→∞Пустьkxkp+1/2kxkp= ∞.(3.65)∞X1χ[k,k+1) (p).ω = ω(p) =kxkpk=1Ясно, чтоω(p) ↓ 0,x ∈ Ll∞ (ω) , но x 6∈ LL∞ (ω)в силу (3.65). Таким образом дискретный и непрерывный методы экстраполяции вообще говоря не эквивалентны в случае F = L∞ (ω) с произвольнымубывающим весом ω.217Эффективность в определенных случаях дискретной конструкции была продемонстрирована в разделе 3.3.4, где было показано, что применениеэкстраполяционного функтора типа ∆, т.е. F-метода при F = L∞ (ω), к дискретной подшкале {Lk }∞k=1 шкалы пространств Lp , всегда дает пространство Орлича.
Более точно, для любой положительной последовательностиd{ω(k)}∞k=1 имеет место равенство LΦ = ∆ (ωLk ), гдеkxk∆d (ωLk ) := sup ω(k)kxkk и Φ(u) = sup ω(k)k uk .k∈N(3.66)k∈NВ разделе 3.4.2 было показано, что из совпадения пространств Орлича и Марцинкевича, при некоторых условиях регулярности на параметрыпространств, следует F-экстраполяционность этих пространств. Возникаетестественный вопрос, верно ли обратное: следует ли из F-экстраполяционности пространства Орлича (или пространства Марцинкевича) совпадениеэтих пространств.
Следующее утверждение показывает, что F-экстраполяционное пространство Орлича может не совпадать ни с каким пространством Марцинкевича. В утверждении используется дискретная шкала {Lk },но ясно, что доопределяя вес ω(p) значением ω(k + 1) при p ∈ (k, k + 1],в силу монотонности Lp [0, 1]-норм мы получим то же самое пространствоОрлича.Утверждение 3.4.21. Положим ω(k) = e−eekдля каждого k ∈ N. Тогдапространство ∆d (ωLk ), определенное равенством (3.66), не совпадает нис каким пространством Марцинкевича.Доказательство.
Так как ∆d (ωLk ) = LΦ с функцией Φ, определеннойв (3.66), нам достаточно показать только, что LΦ 6= M(ϕ), где ϕ(t) :=supk ω(k)t1/k φLΦ (t). Ввиду [168] (см. также [87]), достаточно доказать,218что 1/ϕ 6∈ LΦ , т.е., что для каждого λ > 1Z1 Φ1 dt = ∞.λϕ(t)(3.67)0pВведем в рассмотрение функцию f (p) := ee + p1 log(1/t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
