Диссертация (1154386), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому условия (3.52) и (3.53)эквивалентны, и каждое из них равносильно условию M(ϕ) ∈ EF . Рассуждая похожим образом, можно показать, что во всех пунктах теорем 3.4.4и 3.4.6 вместо kϕ̃0 k0p,∞ можно поставить k1/ϕk0p,∞ , а вместо kϕ̃0 kp можнопоставить k1/ϕkp .Замечание 3.4.8.
Вложение 3.51 дает аппроксимацию пространства Марцинкевича сверху экстраполяционным пространством ∆-метода. ВложениеLX̃ ⊂ X из раздела 3.2.1 в случае X = M(ϕ) можно записать в видеLL∞ (ω3 ) ⊂ M(ϕ)с ω3 = ϕ(e−p ), и это дает аппроксимацию снизу. В случае, когда пространство Марцинкевича сильно экстраполяционно, из теоремы 3.4.6 вытекает,что все три обсуждаемые пространства совпадают:LL∞ (ω3 ) = M(ϕ) = LL∞ (ω2 ) .Несложно показать также, что пространство Марцинкевича M(ϕ) сильноэкстраполяционно тогда и только тогда, когда выполнено условиеϕ(2−p ) 1k1/ϕkp200(p > 1).Рассмотрим теперь некоторые классы квазивогнутых функций, удовлетворяющих или нет условиям теоремы 3.4.6. Начнем со случая функций,соответствующих умеренным весам.Пример 3.4.9. Пусть α > 0 и ϕα (t) log−α (e/t), 0 < t 6 1, и ϕα (0) = 0.Простые вычисления показывают, чтоk logα (e/t)k0p,∞ k logα (e/t)kp pα ,p > 1.Кроме того, легко установить, что эквивалентность ϕα (t) supp>1 ω(p)t1/pвыполняется с ω(p) = p−α .
Тогда выполнено (3.53), и из замечания 3.4.7следует, что M (ϕα ) ∈ EF . С другой стороны, к такому же выводу можно прийти и с помощью факта, что весовая функция 1/k1/ϕα k0p,∞ p−αумеренна в ∞.Умеренные веса соответствуют сильно экстраполяционным пространствам Марцинкевича, охарактеризованным в теореме 3.2.20. Далее, используя теорему 3.4.6, покажем, что M(ϕ) ∈ EF , или, равносильно, что выполняется равенство (3.49), для широкого класса не умеренных весов ω.Пусть ω(p) = ψ(e−p ), 1 6 p < ∞, где ψ — возрастающая функция на[0, 1], и пусть функция ϕ определяется соотношением (3.48).
Тогда, как этонесложно установить, функция ω умеренна в бесконечности тогда и толькотогда, когда ψ ∈ ∆2 , т.е. когда ψ(t) 6 C 0 ψ(t2 ), 0 6 t 6 1. Более того, в этомслучае функции ψ и ϕ эквивалентны на [0, 1] и M(ϕ) ∈ EF . Из следующей теоремы вытекает, что формула (3.49) справедлива для любой весовойфункции вида p 7→ ψ(e−p ) определенной на [1, ∞), где ψ — возрастающаяфункция на [0, 1], для которой выполняется существенно более слабое условие ψ(et) 6 Cψ(t) для всех 0 6 t 6 1/e. Кроме того, мы докажем такое же201утверждение и для еще более быстро убывающих в бесконечности весов ωpвида ω(p) = ψ(e−e ), 1 6 p < ∞.pТеорема 3.4.10.
Пусть ω(p) = ψ(e−p ) или ω(p) = ψ(e−e ) для некоторой возрастающей функции ψ на [0, 1] со свойством ψ(et) 6 Cψ(t),0 6 t 6 1/e, и пусть функция ϕ определена по формуле (3.48). Тогда имеет место экстраполяционная формула (3.49). Кроме того, пространствоМарцинкевича M(ϕ) совпадает с пространством Орлича LΦ , построенном по функции M , определяемой какΦ(u) = sup ω(p)p upp>1для всех u > 0.pДоказательство. Мы рассмотрим только случай ω(p) = ψ(e−e ), так какдля ω(p) = ψ(e−p ) доказательство может быть получено аналогичным путем.Во-первых, для p ∈ [log k, log(k + 1)], k > 2, имеемpψ(e−e ) kxkp 6 ψ(e−k ) kxklog(k+1) 6 Cψ(e−(k+1) ) kxklog(k+1) ,что даетpsup ψ(e−e ) kxkp p>1sup ψ(e−k ) kxklog k .(3.54)k>3, k∈NДалее, ясно, что LL∞ (ω) является симметричным пространством на [0, 1]с фундаментальной функцией, эквивалентной ϕ. Так как M(ϕ) является наибольшим среди всех симметричных пространств с фундаментальнойфункцией ϕ, мы получаем непрерывные вложенияLL∞ (ω) ⊂ M(ϕ).202Поэтому для завершения доказательства (3.49) достаточно показать, чтовыполняется и обратное вложение.
Так какx∗ (t) 61kxkM(ϕ) ,ϕ(t)t ∈ (0, 1],для каждого x ∈ M(ϕ), последнее вложение немедленно следует из факта,что 1/ϕ ∈ LL∞ (ω) , или, равносильно в силу (3.54), чтоsup ψ(e−k ) k1/ϕklog k < ∞.(3.55)k>3Докажем (3.55). Прежде всего, из определения ϕ следует, что1ϕ(t) > ψ(e−(k+1) )t log(k+1) >11ψ(e−k )t log(k+1) ,Cоткуда1ψ(e−k )6 Ct− log(k+1)ϕ(t)для всех k > 3 и 0 < t 6 1. Следовательно,ψ(e−k ) k1/ϕklog k 6 C Z1tlog k− log(k+1) 1 log1 klog(k + 1) log k< ∞,dt6 C supk>3,N log(1 + 1/k)0и (3.49) (вместе с (3.55)) доказано.Докажем теперь, что пространство LL∞ (ω) совпадает с пространствомR1Орлича LΦ . Заметим, во-первых, что Φ(|x(t)|) dt 6 1 в предположении0kxkLΦ 6 1. Тогда, используя определение Φ, получаем, чтоω(p)pZ1|x(t)|p dt 6 1,1 6 p < ∞.0Отсюда следует, что x ∈ LL∞ (ω) и kxkLL∞ (ω) 6 1.203Обратно, пусть kxkLL∞ (ω) 6 1.
Без ограничения общности, мы можемсчитать, что ψ(1) = 1. При этом предположении, C −k 6 ψ(e−k ) 6 1 и,следовательно, для каждого k > 3kψ(e−k )log(k−1) = ψ(e−k )− log k−1 ψ(e−k )log kk6 C k log k−1 ψ(e−k )log k 6 C 3/2 ψ(e−k )log k .Поэтому имеемpΦ(u) = sup ψ(e−e )p up 6 ψ(e−e )u + sup C 3/2+log(k−1) ψ(e−k )log k ulog kp>1k>36 ψ(e−e )u +∞XC 4 log k ψ(e−k )log k ulog k ,k=3и, таким образом,Z1Z1 |x(t)||x(t)|dtΦ 4 4 dt 6 ψ(e−e )eCe4 C 400+∞XC 4 log k ψ(e−k )log kk=361+e4∞Xk=3Z1 |x(t)|e4 C 4log kdt01< 1.k4Это показывает, что kxkLΦ 6 e4 C 4 .Введем теперь класс квазивогнутых функций ϕ, для которых M(ϕ) ∈EF0 \EF .Утверждение 3.4.11.
Пусть γ > 0, и пусть N : (0, ∞) → (0, ∞) — функция Орлича такая, что N (t) = t(log t)γ для всех t > tγ , где tγ достаточнобольшое. Пусть ϕ определяется равенствомϕ(t) = exp(−N −1 (log(1/t))),2040 < t 6 1,где через N −1 обозначена обратная функция для N .(i) Если γ > 1, то M(ϕ) ∈ EF и, кроме того,kxkM(ϕ) kxkLΦ sup e−N ∗ (p)pp>1kxkp ,где LΦ — пространство Орлича, построенное по функцииΦ(u) = exp(N (log u))для больших u > 0, и N ∗ (p) := sups>0 {ps − N (s)}.(ii) Если 0 < γ < 1, то M(ϕ) ∈ EF0 \EF .Доказательство. Часть (i) соответствует примеру 3.3.15 из параграфа 3.3.Для доказательства части (ii) заметим сначала, что0kϕ̃0 kp,∞t1/p,= sup0<t61 ϕ(t)(3.56)откуда0log kϕ̃0 k1/s,∞ = sup {s log t − log ϕ(t)} = sup{sy − log ϕ(ey )}.0<t61y<0Так как функция log ϕ(ey ) = −N −1 (−y) выпукла, то по теореме ФенхеляМоро [200, Замечание 1.63, с.
26], имеем0log ϕ(ey ) = sup {sy − log kϕ̃0 k1/s,∞ },0<s<1и поэтомуt1/pϕ(t) = sup 0 0 .p>1 kϕ̃ kp,∞205Тогда из теоремы 3.4.4 следует, что M(ϕ) ∈ EF0 . Кроме того, объединяя(3.56) и определение функции ϕ, мы получим0kϕ̃0 kp,∞ = sup eN−1(log(1/t)) 1/pt= sup es−N (s)/p0<t61=s>0sup eps−N (s)1/p= eN∗(p)/p.s>0Поэтому, по теореме 3.4.6 (эквивалентность (i) и (v)), соотношение M(ϕ) 6∈EF будет непосредственным следствием равенстваlim kϕ̃0 kp e−N∗p→∞(p)/p= ∞.(3.57)Согласно замечанию 3.4.7, вместо kϕ̃0 kp можно использовать k1/ϕkp .
Далеедля оценки k1/ϕkp будем использовать метод Лапласа.Во-первых, ясно что для достаточно больших p N ∗ (p) = fp (s0 ), гдеfp (s) := ps − s logγ s, а s0 определяется уравнением:p − logγ s0 − γ logγ−1 s0 = 0.Обозначим x := log s0 . Очевидно, x = x(p) → +∞ при p → +∞. Крометого, из равенства p = xγ + γxγ−1 следует, что!γxγ1+= 1,px(3.58)и x = p1/γ +o(p1/γ ) при p → +∞. Далее, пусть s1 := s0 (1+y), где y = e−x+prи 1 < r < 1/γ. Заметим, что y = y(p) → 0 при p → +∞ и, принимая вовнимание, что fp (s) убывает при s > s0 , для всех достаточно больших p206получимexp(−NZ (s0 ))epNk1/ϕkp >−11/p Z+∞1/p(log(1/t))ps−N (s)dt= −e de01/pZ+∞= eps0 −N (s0 ) + peps−N (s) ds>s0 Zs1s0>eps−N (s) ds1/ps01/peps1 −N (s1 ) (s1 − s0 )= efp (s1 )/p (s0 y)1/p1/p= efp (s1 )/p s0 exp(− log s0 /p + pr−1 ) = efp (s1 )/p exp(pr−1 ).Так как r > 1, то exp(pr−1 ) → +∞ при p → +∞.
Поэтому для доказательства (3.57) достаточно показать, что для некоторого c > 0 и всехдостаточно больших p будетefp (s1 )/p > cefp (s0 )/p = ceN∗(p)/p,или, равносильно,fp (s1 ) − fp (s0 )> log c.pМы покажем, чтоfp (s1 ) − fp (s0 )= 0.p→∞plimrТак как x = log s0 и s1 = s0 (1 + y), где y = e−x+p → 0 при p → +∞, то207принимая во внимание (3.58), получимp−1 fp (s1 ) − fp (s0 ) = p−1 ps1 − s1 logγ s1 − ps0 + s0 logγ s0s0 γγ(1 + y)(log s0 + log(1 + y)) − log s0= s0 y −pxγ log(1 + y) γ= s0 y −(1 + y) 1 +−1pxγyxγ2(1 + y) 1 ++ o(y ) − 1= s0 y −px xγ γ 2= s0 y 1 −1++ o(y ) = s0 · o(y 2 )pxrx−2x+2pr= e · o(e) = e−x+2p · o(1) → 0 as p → +∞.Таким образом (3.57) доказано и поэтому M(ϕ) 6∈ EF .Результат, аналогичный теореме 3.4.6, имеет место и для сепарабельнойчасти M0 (ϕ) пространства Марцинкевича M(ϕ).Теорема 3.4.12.
Пусть M(ϕ) — пространство Марцинкевича, M0 (ϕ) —его сепарабельная часть. Следующие условия эквивалентны:1) M ∈ EF ;2) M0 (ϕ) ∈ EF ;3) M0 (ϕ) = LH , где H — подпространство L∞ (ω), ω(p) = k1/ϕk−1p , состоящее из функций f (p), для которых f (p)/k1/ϕkp → 0 при p → ∞.Доказательство. Импликация 1)⇒3) вытекает из теоремы 3.4.6 и следствия 3.1.13. Импликация 3)⇒2) очевидна.Предположим теперь, что выполнено 2). Согласно (3.51) и замечанию(3.4.7), M(ϕ) ⊂ LL∞ (ω) . В силу следствия 3.1.13, LH совпадает с сепарабельной частью LL∞ (ω) .
ПоэтомуM0 (ϕ) ⊂ LH .208Покажем, что если M0 (ϕ) ∈ EF , т.е. если M0 (ϕ) = LF для некоторого F , тосправедливо и обратное включение. Пусть ξ = ξ(p) ∈ H. Тогда существуют∞последовательности {Nk }∞k=0 и {pk }k=0 такие, что p0 = 1, pk → ∞ иNk −k+1ξ(p) 6 2kξkH · (1/ϕ) , если pk 6 p 6 pk+1 .pТак как верхние срезки (1/ϕ)N ∈ M0 (ϕ) иN(1/ϕ) 0 6 k1/ϕkM(ϕ) < ∞,M (ϕ)тоNηN = ηN (p) = (1/ϕ) ∈ F и kηN kF 6 C.pПоэтомуξ · χ[p ,p ] 6 2−k+1 C kξk ,k k+1HFоткуда, так как F — банахово пространство,ξ ∈ F и kξkF 6 4C kξkH .Итак, H ⊂ F .
Следовательно,LH ⊂ LF = M0 (ϕ) ⊂ LH ,и, следовательно, M0 (ϕ) = LH . Поэтому условия 2) и 3) равносильны. Если же выполнено 3), то эквивалентность фундаментальных функций пространств M0 (ϕ) и LH дает условие (3.53). Согласно замечанию 3.4.7, в этомслучае M ∈ EF .Сформулируем еще одно достаточное условие F-экстраполяционностипространства Марцинкевича. В следующей теореме через LΦ обозначенопространство Орлича, построенное по выпуклой функцииΦ(u) ∼1.ϕ−1 (1/t)209Теорема 3.4.13. Если M(ϕ) = LΦ и для функции ϕ(t) выполняется условиеϕ(t)убывает на (0, t0 ),tϕ0 (t)(3.59)то M(ϕ) ∈ EF .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
