Диссертация (1154386), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В настоящем разделе мы представим другое экстраполяционное описание пространств Орлича, менее удобное с точки зренияприложений, но зато более естественное с точки зрения геометрии пространств Орлича и охватывающее более широкий класс пространств Орлича.Пусть ϕ — неотрицательная функция на [1, ∞). Определим пространство G(ϕ) с помощью нормыZkf kG(ϕ) := inf{λ > 0 :∞1|f (p)|λpϕ(p) dp 6 1}.Несложно показать (по аналогии с пространствами Орлича), что пространство G(ϕ) является банаховым идеальным пространством.184Теорема 3.3.18.
Предположим, что функция Орлича допускает представление∞Z|u|p ϕ(p) dp.M (u) =1Тогда LM ≡ LG(ϕ) , т.е. пространства LM и LG(ϕ) совпадают и изометричны.Доказательство.kxkLM =====1Z|x(t)|dt 6 1inf λ > 0 :Mλ0pZ1 Z∞ |x(t)|ϕ(p) dp dt 6 1inf λ > 0 :λ0 1 p1 p1∞ZZp|x(t)| dt /λ ϕ(p) dp 6 1inf λ > 0 :10pZ∞ kxkpinf λ > 0 :ϕ(p) dp 6 1λ1= kxkLF .kxkp G(ϕ)Замечание 3.3.19. Ясно, что для любой неотрицательной функции ϕ име2ет место вложение L∞ (ϕ1/p ) ⊂ G(ϕ). В частности, используя функциюM (u) = eN (log u) вида (3.37), вес ψ(p) = e−N∗(p), игравший важную роль вразделе 3.3.2 и вложение (3.40), получаемLM ⊂ LL∞ (e−N ∗ (p)/p ) ⊂ LG(e−N ∗ (p) ) = LM1 ,гдеZ∞M1 (u) =|u|p e−N1185∗(p)dp.Eсли для некоторого C > 0 и достаточно больших u будет выполняться неравенство M (u) 6 M1 (Cu), что равносильно условию (3.38), то мыполучим совпадение LM и LL∞ (e−N ∗ (p)/p ) .
Это дает другое доказательствотеоремы 3.3.7.Замечание 3.3.20. Пространства L∞ (ϕ1/p ) и G(ϕ), конечно, не могут совпадать, однако если через V обозначить конус неотрицательных неубывающих функций на [1, ∞), то возможно равенствоL∞ (ϕ1/p ) ∩ V = G(ϕ) ∩ V,(3.46)и этого достаточно для совпадения пространств LL∞ (ϕ1/p ) и LG(ϕ) . В каче2стве примера можно рассмотреть вес ϕ(p) = e−p/2. В этом случае равен-ство (3.46) приводит к двойному экстраполяционному описанию простран1ства Орлича LM , построенного по функции M (u) ∼ e 2 log2u(ср.
с примером3.3.13):LM = LG(e−p2 /2 )иLM = LL∞ (e−p/2 ) .Рассмотрим теперь дискретный вариант пространства G(ϕ) — пространство последовательностей g(ϕ), определяемое нормой()n∞ X|xn |k{xn }∞ϕ(n) 6 1n=1 kg(ϕ) := inf λ > 0 :λn=1Предложение 3.3.21.g(ϕ) = `∞ (ϕ1/n )1/nДоказательство. Если x = {xn }∞), тоn=1 ∈ `∞ (ϕ|xn | 6 kxk`∞ (ϕ1/n ) ϕ−1/n (n)186при всех n ∈ N.Поэтому при λ = 2kxk`∞ (ϕ1/n )n∞ X|xn |λn=1∞X1= 1,ϕ(n) 6n2n=1и, следовательно, kxkg(ϕ) 6 2kxk`∞ (ϕ1/n ) .Обратно, если x ∈ g(ϕ), то при λ = kxkg(ϕ) + εn∞ X|xn |λn=1ϕ(n) 6 1,и, следовательно, для каждого n ∈ Nn|xn |ϕ(n) 6 1,λоткуда |xn |ϕ−1/n (n) 6 λ, и kxk`∞ (ϕ1/n ) 6 kxkg(ϕ) .Теорема 3.3.22.
ПустьM (u) =∞Xak |u|k ,ak > 0.k=1Тогдаx ∈ LM⇔sup kxkp a1/pp < ∞.p∈NДоказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.3.18 получаем равенство LM ≡ Lg({an }) . Применение предложения 3.3.21 завершает доказательство теоремы 3.3.22.Замечание 3.3.23. Теорема 3.3.22 позволяет получить новым способомрезультат раздела 3.3.4: пересечение ∆k ω(k)Lk всегда будет пространствомОрлича. Действительно, достаточно рассмотреть функцию ОрличаM (u) =∞Xω(k)k |u|k .k=11873.4Устойчивость экстраполяционных конструкцийВ настоящем разделе исследуется феномен устойчивости F-метода дляшкал {Lp [0, 1]}p<∞ и {Lp,∞ [0, 1]}p<∞ .Явлению устойчивости экстраполяционных функторов ∆ и Σ посвящена существенная часть оригинальных работ Б. Яверса и М. Мильмана [151, 152, 181]. В этих работах показано, что функторы ∆ и Σ устойчивы по отношению к замене должным образом нормированной шкалы{ω(θ)Aθ,q }θ∈(0,1) на шкалу {ω(θ)Aθ,r }θ∈(0,1) при любых q, r ∈ [1, ∞], есливесовая функция удовлетворяет следующим условиям (такие функции вконтексте теории экстраполяции называются умеренными):θ+1ω(θ) ω(2θ) при θ → 0 и ω(θ) ωпри θ → 1.2По этому поводу см.
также раздел 2.1 настоящей работы. Теорема 3.2.4 израздела 3.2.1 является обобщением результатов об устойчивости Б. Яверсаи М. Мильмана, она переносится и на другие шкалы (θ, q)-метода вещественной интерполяции. Для шкал {Lp,1 }, {Lp }, {Lp,∞ } на отрезке [0, 1]устойчивость при умеренном весе ω параметра экстраполяции L1 (ω) (т.е.при выполнении условия ω(p) 6 Cω(2p)) отмечалась также в работе [10].В [159] в контексте общих интерполяционных шкал доказаны результаты,включающие все эти случаи. Однако результаты об устойчивости, которыебудут доказаны в настоящем параграфе, охватывают существенно болееширокий класс параметров экстраполяции, и являются специфическимидля шкалы {Lp [0, 1]}p<∞ функций на отрезке.
Это связано с особенностямивложений симметричных пространств семейства {Lp,q }p,q∈[1,∞] . Дело в том,что действие F-метода нечувствительно к колебаниям Lp -нормы функции188x при малых значениях p (см. замечание 3.1.3), а при больших p шкала {Lp }становится в некотором смысле очень близкой шкале {Lp,∞ }. Чтобы пояснить это, начнем со следующего результата, уточняющего теорему 3.2.4.В этом параграфе нам будет удобно рассматривать пространство Lp,∞ снормой kxk0p,∞ := kx∗∗ kp,∞ , которая эквивалентна при 1 < p < ∞ исходнойRtквазинорме на этом пространстве.
Здесь, как и выше, x∗∗ (t) := 1t 0 x∗ (s) ds.Теорема 3.4.1. Предположим, что в банаховом идельном пространствеF ограниченно действует операторT : f (p) → f (p + e−p ).Тогда x 0kxkp kxkp,∞ .FFДоказательство. Неравенство0kxkp,∞ 6 kxkp FFследует из вложений Lp ⊂ Lp,∞ с константой 1. Чтобы доказать обратное неравенство, покажем сначала справедливость равномерных вложенийLp+e−p ,∞ ⊂ Lp . Так как при x ∈ Lq,∞111x∗ (t) 6 sup x∗ (s)s q · t− q 6 kxk0q,∞ t− q ,0<s61то при q = p + e−pZ1kxkp = p1x∗ (t)p dt 6 kxk0q,∞ 0= kxk0q,∞Z1 p11 pt− qdt0qq−p p1= kxk0q,∞189p + e−pe−p p16 2e2 kxk0q,∞ .Поэтому0022kxkp 6 2e kxkp+e−p ,∞ 6 2e kT kF →F kxkp,∞ .FFFТеорема 3.4.1 позволяет сводить вычисление пространств F-метода дляшкалы пространств Лебега {Lp } к вычислению таковых для шкалы пространств Марцинкевича {Lp,∞ }.
В некоторых случаях это позволяет существенно упростить задачу идентификации получаемого пространства.Так будет, например, если в качестве параметра экстраполяции F используется банахова решетка вида L∞ (ω), т.е когда F-метод вырождается вэкстраполяционный функтор пересечения ∆, так как последний коммутирует с операцией вычисления нормы Марцинкевича. Будем использоватьобозначение EF0 для класса всех пространств, получаемых применением Fметода к шкале {Lp,∞ }, а для соответствующеего F-экстраполяционногопространства будем использовать обозначение L0F . Аналогично лемме 3.1.6и следствию 3.1.7 устанавливаются следующие утверждения, которые мыбудем использовать внутри параграфа.Лемма 3.4.2.
Если симметричное пространство X ∈ EF0 , то верхнийиндекс Бойда βX = 0 пространства X равен нулю.Следствие 3.4.3. Для показателей растяжения фундаментальной функции φ пространства X ∈ EF0 справедливы равенстваγφ = δφ = 0.В разделе 3.4.1 мы опишем пространства Марцинкевича, принадлежащие классу EF0 .
В разделе 3.4.2 мы выделим те пространства Марцинкевича,190которые остаются F-экстраполяционными и по отношению к шкале пространств {Lp }, а также покажем, что пересечение пространств {Lp } можетне совпадать ни с каким пространством Марцинкевича. Раздел 3.4.3 посвящен явлению устойчивости F-метода по отношению к замене непрерывнойшкалы {Lp }p<∞ на дискретную шкалу {Lp(n) }n∈N .Результаты, изложенные в настоящем разделе, получены автором совместно с С.В.
Асташкиным в работах [42,170–172]. Разделить роль каждогоиз авторов не представляется возможным, результаты представлены здесьс согласия С.В. Асташкина, форма изложения принадлежит автору.Аналогичные результаты об устойчивости имеют место и для функторов, двойственных функторам F-метода. Для случая экстраполяционногофунктора суммы Σ соответствующие утверждения используются в параграфе 4.2.
Точные формулировки и доказательства, включающие вычисления для некоторых специальных случаев, представлены в разделе 4.2.3.3.4.1Пересечение пространств {Lp,∞}p<∞Пусть ω(p): [1, ∞) → R+ . Так какsup ω(p)kxk0p,∞ =p∈[1,∞)1sup ω(p) sup t p −1p∈[1,∞)t∈(0,1]supp∈[1,∞) ω(p)ttt∈(0,1]1pZt0Zt= supx∗ (s) dsx∗ (s) ds,0то пересечение пространств {Lp,∞ } всегда будет пространством Марцинкевича с фундаментальной функцией1ϕ(t) = sup ω(p)t p .p∈[1,∞)191Этот простой результат можно записать следующим образом:∆p∈[1,∞) (ω(p)Lp,∞ ) = L∞ (ω) {Lp,∞ }p∈[1,∞) = L0L∞ (ω) = M(ϕ).Естественным образом встает обратный вопрос: какие пространства Марцинкевича могут быть получены таким образом? Ответ на этот вопрос даетследующая теорема, где ϕ̃ := t/ϕ(t).Теорема 3.4.4. Пусть ϕ — произвольная квазивогнутая функция на [0, 1],для которой ϕe0 ∈ Lp для всех 1 6 p < ∞. Тогда следующие условия равносильны:(i) M(ϕ) ∈ EF0 .(ii) M(ϕ) = L0L∞ (w1 ) , где w1 (p) = 1/kϕe0 k0p,∞ , 1 6 p < ∞.(iii) Существует константа C > 0 такая, чтоϕ(t) 6 C supp>1t1/p,kϕe0 k0p,∞0 < t 6 1.(3.47)(iv) Существует функция ω : [1, ∞) → [0, ∞), удовлетворяющая условиюϕ(t) sup ω(p) t1/p ,p>10 < t 6 1.(v) Имеет место эквивалентностьϕ(v) 1/pϕ(t) sup inf 1/p t ,v∈(0,1] vp>1(vi) Имеет место эквивалентностьϕ(t) eψ(log t) ,где ψ(s) — выпуклая функция на (−∞, 0].1920 < t 6 1.(3.48)Доказательство.
Так как Lp,∞ также является точным интерполяционным пространством между L1 и L∞ (см., например, [32, теоремы 2.4.3 и2.4.9]) для каждого 1 6 p < ∞, из условия ϕe0 ∈ Lp,∞ (или, равносильно,M(ϕ) ⊂ Lp,∞ ), 1 6 p < ∞, вытекает, чтоkxk0p,∞sup 0 0 6 kxkM(ϕ) .e kp,∞p>1 kϕПоэтому, M(ϕ) ⊂ L0L∞ (w1 ) , где w1 (p) = 1/kϕe0 k0p,∞ , 1 6 p < ∞. Предположим теперь, что выполнено условие (i), т.е. M(ϕ) = L0F для некоторого банахова идеального пространства F .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
