Диссертация (1154386), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Пусть Aпространство K-метода:~kxkX := kK(t, x; A)kF,где F — некоторая банахова идеальная решетка. Предположим также,что в F действует ограниченно операторS : f (t) → f (t2 ).Тогда для любого q ∈ [1, +∞]0kxkX kxkθ(t),q · χ(e,+∞) (t) ,Fгде θ(t) = log−1 t, аkxk0θ,q +∞ 1qZ q ds1−θ~ .q:= (qθ(1 − θ))s K(s, x; A)s0Доказательство. Сначала отметим, что в силу вложения A0 ⊂ A1~ (e,+∞) (t)k .kxkX := kK(t, x; A)χFДалее,~kxk0θ,q > kxk0θ,∞ = sup s−θ K(s, x; A)0<s<∞−θ−1~~> s K(s, x; A)K(t, x; A).1 = es=t=e θПоэтому0kxkθ(t),q · χ(e,+∞) (t) > ckxkX .F161Обратно, в силу вложения A0 ⊂ A1 имеют место неравенства~ 6 skxk ,min{C −1 , s}kxkA1 6 K(s, x; A)A1где C — константа вложения A0 ⊂ A1 . Далее [151, p.

19],kxk0θ,q 6 kxk0θ,rпри r 6 q.Поэтомуkxk0θ,q 6 kxk0θ,1Z+∞~ ds= θ(1 − θ)s−θ K(s, x; A)s0Ze= θ(1 − θ)~ ds + θ(1 − θ)s−θ K(s, x; A)sZ+∞~ dss−θ K(s, x; A)se06 θe1−θ kxkA1 + θ(1 − θ)Z+∞dss~s−θ K(s, x; A)e1~ + θ(1 − θ)K(e, x; A)6 θe1−θ max C,eZ+∞~ dss−θ K(s, x; A)se6 C1 θ 2Z+∞~s−θ K(s, x; A)e+∞Z~s−θ K(s, x; A)6 C2 θds+ θ(1 − θ)sZ+∞~s−θ K(s, x; A)eds.se162dss1При этом в силу связи t = e θk2ZtZ+∞∞ ZtX~ ds~ ds = θ s−θ K(s, x; A)~ ds + θs−θ K(s, x; A)θs−θ K(s, x; A)sssek=1e~6 θK(t, x; A)Ztks−θds+θse~ +6 e K(t, x; A)−θt2k−1∞X∞Xk=1k−1t−θ2k~K(t2 , x; A)Zt2s−θdsst2k−1k~K(t2 , x; A)k=16∞Xk−1e1−2k~K(t2 , x; A).k=0Следовательно,0kxkθ(t),q · χ(e,+∞) (t)F ∞ X1−2k−12k~6 C2 eeK(t , x; A) · χ(e,+∞) (t)k=0F∞Xk−1 k~ 6 C2 ee1−2 K(t2 , x; A)6 C2 ek=0∞XFe1−2k−1~ kSkkF →F K(t, x; A)k=0F6 C3 kxkX .Замечание 3.2.51. Из доказательства видно, что константы в эквивалентности0kxkX kxkθ(t),q · χ(e,+∞) (t)Fзависят только от константы вложения A0 ⊂ A1 и нормы оператороа S, ноне зависят от q.

Более того, с помощью использованных в доказательственеравенств kxk0θ,q 6 kxk0θ,r , r 6 q, легко установить, что0kxkX kxkθ(t),q(θ) · χ(e,+∞) (t)Fдля произвольной непрерывной функции q(θ) : θ ∈ (0, 1) → [1, ∞].163Покажем теперь, как из теоремы 3.2.50 вытекает основной результатпараграфа 2.2: теорема 2.2.6, доказанная впервые С.В. Асташкиным на~ = {A0 , A1 } — банахова пара,основе другого подхода. Предположим, что Aдля которой A0 ⊂ A1 , и пространство A0 полно по Гальярдо в этой паре.

Вэтом случае имеет место эквивалентность (см. [133]):~ sup min{1, tϕ(1/s)}K(s, x; A0 , A1 ),K(t, x; A0 , M(ϕ, A))s>1~ — обобщенное пространство Марцинкевича [190, с. 422, опрегде M(ϕ, A)деление 7.1.2]:kxkM(ϕ,A)~ := sup ϕ(1/t)K(t, x; A0 , A1 ).t>1Отметим, что в параграфе 2.2 мы, следуя работам С.В. Асташкина, сохранили и стиль автора, согласно которому пара (A0 , A1 ) упорядочена в обратном порядке. В настоящем разделе нам естественнее считать, что A0 ⊂ A1 ,соответствующие результаты без труда адаптируются к форме изложенияпараграфа 2.2.Пусть теперь F — произвольная банахова решетка, интерполяционнаяотносительно пары L∞ (0, ∞) и L∞ (1/t)(0, ∞). Тогдаkxk(A0 ,M(ϕ,A))~ KF~= K(t, x; A0 , M(ϕ, A))F supmin{1,tϕ(1/s)}K(s,x;A,A)01s>1F= kK(t, x; A0 , A1 )kF1 ,гдеkf kF1 .:= supmin{1,tϕ(1/s)}f(s)s>1FПредположим теперь функция ϕ удовлетворяет при u ∈ (0, 1] условию ∆2 :ϕ(u) 6 Cϕ(u2 ).

Так будет, например, в случае, если ϕ(u) = 1/Φ−1 (1 +164log 1/u) при некоторой функции Орлича Φ, как это было в параграфе 2.2.Тогдаkf (t2 )kF1√2 sup min{1, tϕ(1/ s)}f (s)=supmin{1,tϕ(1/s)}f(s)= s>1 s>1FF = Ckf (t)k ,supmin{1,tϕ(1/s)}f(s)6 CF1s>1Fи, следовательно, банахова решетка F1 удовлетворяет условию теоремы3.2.50. В этом случае для любого q ∈ [1, ∞]0kxk(A0 ,M(ϕ,A))~ K kxklog−1 t,q · χ(e,∞) (t)FF10−1supmin{1,tϕ(1/s)}kxk= ·χ(s)(e,∞)log s,q s>1F0= sup min{1, t/u}kxklog−1 (1/ϕ−1 (1/u)),q · χ(ue ,∞) (u) ,u∈[u1 ,∞)Fгде u1 = 1/ϕ(1), ue = 1/ϕ(1/e). Возвращаясь к условиям параграфа 2.2,считаем, что ϕ(u) = 1/Φ−1 (1 + log 1/u), где Φ — функция Орлича и Φ(1) >1.

В этом случае ϕ−1 (1/u) = exp(1 − Φ(u)). Учитывая также, что u1 < ue ,из последней цепочки получаем0kxk(A0 ,M(ϕ,A))~ K sup min{1, t/u}kxk1/(Φ(u)−1),q · χ(ue ,∞) (u) .Fu>0FОпределяя v из равенства Φ(u) − 1 = Φ(v) (в этом случае v ∈ [u/2, u], и,следовательно, min{1, t/u} min{1, t/v}), перепишем последнее соотношение в видеkxk(A0 ,M(ϕ,A))~ KF0−1 (1),∞) (u) .supmin{1,t/v}kxk·χ(Φ1/Φ(v),qv>0FВоспользуемся теперь следующим известным свойством: в любой банаховой решетке, интерполяционной между L∞ (0, ∞) и L∞ (1/t)(0, ∞), ограниченно действует оператор T , определяемый равенствомT f := sup min(1, t/s)|f (s)|,s>0165см. [121, замечание 3.3.8]. Кроме того, очевидно неравенство T f (t) > |f (t)|.Следовательно, имеет место эквивалентность0kxk(A0 ,M(ϕ,A))~ K kxk1/Φ(v),q · χ(Φ−1 (1),∞) (u) ,FFоткуда, с учетом вложения A0 ⊂ A1 , получаем0kxk(A0 ,M(ϕ,A))~ K kxk1/Φ(v),q · χ(1,∞) (u) .FF~ K из параграфа 2.2, соответствующихУчитывая, что для пространств AΦ(p)после переупорядочения пары пространствам (A0 , A1 )K1/Φ(p),Φ(p) настоящегораздела, имеют место равномерные при p > 1 вложенияKKθ(1 − θ)(A0 , A1 )Kθ,1 ⊂ (A0 , A1 )1/Φ(p),Φ(p) ⊂ (A0 , A1 )θ,∞ ,θ = 1/Φ(p),~ K }p>1 ) = (A0 , Mϕ (A))~ K.приходим к результату теоремы 2.2.6: F({AFΦ(p)В случае, если пополнение по Гальярдо Ã0 пространства A0 относительно объемлющего пространства A1 совпадает с A0 , мы можем усилитьтеорему 3.2.50 в следующем направлении.~ = (A0 , A1 ) такая банахова пара,Теорема 3.2.52.

Предположим, что Aчто A0 ⊂ A1 и Ã0 = A0 , а X — пространство K-метода:~kxkX := kK(t, x; A)kF.Предположим, что в банаховой идеальной решетке F действует ограниченно операторS : f (t) → f (t2 ).Тогда для любого семейства {Iθ }θ∈(0,1) точных интерполяционных функторов c характеристическими функциями ρIθ (t) = tθ , имеет место экстраполяционное соотношение~X = F {Ilog−1 t (A)}t∈(e,+∞) ,166или, подробнее,kxkX kxkIlog−1 t~ · χ(e,+∞) (t) .(A)FДоказательство.

Напомним (см. 1.6), что имеют место следующие вложения11~J ⊂~ ⊂~KAI(A)Aθθ,∞ .θ,1Поэтому и в силу теоремы 3.2.50 нам достаточно доказать только, чтоC~K~Jθ(1 − θ)Aθ,1 ⊂ Aθ,1 ,с некоторой константой C > 0, не зависящей от θ ∈ (0, 1). Нужное вложение легко получить, используя сильную формы фундаментальной леммы теории интерполяции (см.

раздел 1.2). Действительно, согласно фун~ J найдется такое представлениедаментальной лемме для любого x ∈ Aθ,1R∞x = 0 u(s) dss , чтоZ∞~ ds 6 γK(t, x; A),~ t > 0,min(1, t/s)J (s, u(s); A)s0с некоторой универсальной константой γ. Для такого представления полу-167чаем следующую цепочку неравенств:kxk0θ,1 = θ(1 − θ)kxkA~ K = θ(1 − θ)Z∞θ,1~ dtt−θ K(t, x; A)t0Z∞Z∞~ ds dtmin(1, t/s)J (s, u(s); A)s t00Z∞ Z∞dt~ ds= θ(1 − θ)γ −1  t−θ min(1, t/s)  J (s, u(s); A)ts00Z∞ Zs 1−θZ∞dtdtt~ ds= θ(1 − θ)γ −1 + t−θ  J (s, u(s); A)s tts> θ(1 − θ)γ −10= θ(1 − θ)γ−1Z∞t−θs0s−θ~ dsJ (s, u(s); A)θ(1 − θ)s0= γ −1Z∞~ ds > γ −1 kxk ~ J .s−θ J (s, u(s); A)Aθ,1s0Объединяя приведенные выше соображения, приходим к неравенствам0kxk0θ,∞ = kxkθ,∞ 6 kxkIθ (A)~ 6 γkxkθ,1 ,из которых, с помощью теоремы 3.2.50, и получаем нужное утверждение.Замечание 3.2.53.

Можно показать, что основное содержание характеризационной теоремы 3.2.5 с помощью тех идей, которые заложены в ее доказательстве, также может быть перенесено на широкий класс абстрактныхинтерполяционных шкал, см. [106].В качестве примера применения теоремы 3.2.52 и демонстрации ее потенциальных возможностей, покажем, как из этой теоремы следует основной результат работы [137] об описании гранд-пространств Лебега Lp) ,168p > 1, через перестановку x∗ . Норма в Lp) определяется через обычныеLp -нормы формулой [147]kxkp) :=sup ε1p−ε0<ε<p−1kxkp−εsupε1p−ε0<ε<ε0 <p−1kxkp−ε .В [137, Theorem 4.2] доказано, что1kxkp) sup (1 − log t)− p Z10<t<1 p1x∗ (s)p ds .tПоложим в качестве семейства точных интерполяционных функторовв теореме 3.2.52 функторы типа Петре, конкретный вид которых определяется равенством для нормы соответствующего интерполяционного пространства:kxkθ := kxk0θ,q ,где q и θ связаны между собой через p и ε соотношениямиq = p − ε,θ=ε.(p − 1)(p − ε)~ получим Iθ (A)~ =В этом случае, взяв (Lp , L1 ) в качестве банаховой пары A,Lp−ε с равномерно ограниченными константами изоморфизмов при ε ∈(0, ε0 ), ε0 < p − 1 [146, теорема 4.3].

В качестве решетки F возьмем пространство L∞ (log−1/p ) с нормой (ясно, что в теореме 3.2.52 мы можем сразурассматривать банахову решетку F функций на (e2 , +∞))kf kL∞ (log−1/p ) := sup |f (t)| log−1/p t.e2 <t<∞~ {Iθ }θ и F теорему 3.2.52, для пространства X = A~KПрименяя к таким A,F169получим, с одной стороны,kxkX K(t, x; Lp , L1 )suplog1/p te2 <t<∞ttsupR1x (s) dslog1/p tlog1/p t! p1e2 <t<∞∗0e2 <t<∞= supp− p−1RtK(t−1 , x; L1 , Lp )x∗ (s)p dsp− p−1t+,log1/p tгде мы использовали формулу Хольмстедта [146, теорема 4.1].

Несложнопоказать, что первое слагаемое в последнем соотношении мажорируетсяpвторым. Сделав замену u := t− p−1 , придем к эквивалентности1kxkX sup (1 − log u)− p Z10<u<1 p1x∗ (s)p dsuC другой стороны, согласно теореме 3.2.52,kxkX supIθ (Lp , L1 )e2 <t<∞sup ε0<ε<ε0log1/p t1p−ε1 sup θ p kxkp−ε0<θ<1/2kxkp−ε = kxkp) .что завершает доказательство формулы из [137] для нормы Lp) .1703.3Экстраполяционное описание пространствОрличаВ этом параграфе с помощью функтора пересечения ∆ мы опишем широкий класс F-экстраполяционных пространств Орлича. Основная идея,которая хорошо представлена в ключевой лемме 3.3.1, состоит в том, чтошкала пространств Лебега {Lp } может рассматриваться одновременно икак шкала пространств Орлича.

Естественно ожидать, что применяя к этойшкале экстраполяционный функтор ∆ мы, по крайней мере в некоторыхслучаях, получим родственное пространство. На самом деле получаемыйтаким образом класс пространств Орлича достаточно богат, и сильно экстраполяционные пространства Орлича, описанные в теореме 3.2.29, образуют в нем в определенном смысле очень узкий подкласс. С другой точкизрения этот феномен, специфичный для шкалы пространств {Lp } на отрезке, и не имеющий аналога для пространств {Lp } на полуоси и пространств{lp } последовательностей, объяснен в разделе 3.4, посвященном устойчивости F-метода к замене шкалы.

Часть получаемых в настоящем параграфепримеров F-экстраполяционных пространств дублируется в другом виде впараграфе 3.4. Нам представляется такое дублирование имеющим смысл:методы настоящего параграфа могут перенесены на другие шкалы пространств Орлича, а методы параграфа 3.4 дают специальную точку зрения,основанную на общем явлении устойчивости.

Таким образом, результатыэтих параграфом хорошо дополняют друг друга и наглядно демонстрируют особенности шкалы пространств {Lp } на отрезке, сочетающей в себесвойства, редко встречающиеся вместе среди абстрактных шкал.1713.3.1Лемма о пересечении пространств ОрличаПространства Lp можно рассматривать как пространства Орлича, построенные по функциям Mp = Mp (u) = up . На этом основан еще один подходк описанию экстраполяционных пространств с параметром экстраполяцииF = L∞ (ω).Лемма 3.3.1. Пусть M = {Mα }α , α ∈ A, — произвольное семействофункций Орлича Mα = Mα (u).

Характеристики

Список файлов диссертации