Диссертация (1154386), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Определим пространствоLM := ∆α∈A LMα ,где LMα — пространства Орлича, построенные по функциям Mα . Тогда1LM ⊂ LM ,(3.31)где LM — пространство Орлича, построенное по функцииM (u) := sup Mα (u).α∈AПри этом для фундаментальных функций справедливо равенствоϕLM (t) = ϕLM (t).(3.32)Доказательство. Вложение (3.31) очевидно (с константой 1). Докажем(3.32). Из определения LM имеемϕLMα (t) 6 ϕLM (t).Поэтому для всех αZ1Mα0χ[0,t] (s)ϕLM (t)172ds 6 1.Для произвольного ε > 0 найдется α = α(ε) такое, что11M6 (1 + ε)Mα.ϕLM (t)ϕLM (t)Следовательно,Z1M0χ[0,t] (s)ϕLM (t)Z1ds 6 (1 + ε)Mα0χ[0,t] (s)ϕLM (t)ds 6 1 + ε.В силу произвольности ε, заключаемϕLM (t) 6 ϕLM (t).Обратное неравенство следует из (3.31).3.3.2Представление экспоненциальных пространствОрлича в виде пересечения пространств LpЕсли положитьM = {Mp }p∈[1,∞] ,где Mp (u) = ω p (p)up ,то пространство LM , описанное в формулировке леммы 3.3.1, совпадет спространством LL∞ (ω) (с равенством норм).
В следующей теореме приведены некоторые достаточные условия для совпадения LL∞ (ω) с пространствомОрлича LM , где M — огибающая семейства Mp .Теорема 3.3.2. ПустьMp (u) = ψ(p)up ,1ω = ω(p) := ψ p (p) → 0 при p → ∞,иZ∞M (u) := sup Mp (u) 6Mp (u)R(p) dp,p>11173где фyнкция R(p) > 0 такова, что для некоторого λZ∞R(p)λ−p dp < ∞.(3.33)LL∞ (ω) = LM(3.34)1ТогдаДоказательство. Пустьx ∈ LL∞ (ω) и kxkLL∞ (ω) < 1.Тогда, с учетом вида функциий Mp , имеемZ1Mp|x(t)|λdt 61,λp0где λ из условия (3.33). ПоэтомуZ1M|x(t)|λ0Z1 Z∞Mpdt 60|x(t)|R(p) dp dt =λ1Z∞Z∞ Z1|x(t)|= Mpdt R(p) dp 6 λ−p R(p) dp < ∞.λ110Следовательно, x ∈ LM .
Обратное следует из леммы 3.3.1.Замечание 3.3.3. Условие ω(p) → 0 в формулировке теоремы введено,чтобы избежать тривиального случая LL∞ (ω) = L∞ , или, эквивалентноM (u) = ∞ при u > 1.Выясним еще, когда функцию Орлича вообще можно представить ввидеM (u) = sup ψ(p)upp174(3.35)с некоторой функцией ψ = ψ(p). Не теряя в общности, можно считать, чтоu > 1, а p > 0. В следующей лемме предполагаем u, v > 1, p > 0.Лемма 3.3.4. Для функции M (u) возможно представление в виде (3.35)тогда и только тогда, когдаM (v)up = M (u).sup infpvvp(3.36)Доказательство.
Если условие (3.36) выполнено, то можно положитьψ = ψ(p) := infvM (v).vpОбратно, пусть имеет место (3.35). Тогда для всех u и pψ(p) 6M (u),upоткудаψ(p) 6 infvM (v).vpПоэтомуM(v)M(u)M (u) = sup ψ(p)up 6 sup infup 6 supup = M (u).ppvvupppПосле замен u = et , v = es и логарифмирования, равенство (3.36) можно переписать в видеlog M (et ) = sup pt − sup {sp − log M (es )} .p>0s>0В силу известной теоремы Фенхеля-Моро [73], последнее равносильно выпуклости функцииN = N (t) := log M (et ), t > 0.175Для функции N дополнительная (или сопряженная по Лежандру) функция определяется равенствомN ∗ (p) = sup{pt − N (t)},tТаким образом, из леммы 3.3.4 получаем следующее утверждение.Теорема 3.3.5. Функцию M (u) можно представить в виде (3.35) тогдаи только тогда, когдаM (u) = eN (log(u)) , u > 1,(3.37)с некоторой выпуклой функцией N . При этом можно считать, чтоψ(p) = e−N∗(p).Замечание 3.3.6.
Если N (t) = qt, то M (u) = uq . В этом случае в соотношении (3.35) ψ(p) = 0 при p > q.Следующиe теоремы вытекают непосредственно из теорем 3.3.2, 3.3.5 илеммы 3.3.1.Теорема 3.3.7. Пусть функция M имеет вид (3.37) с некоторой выпуклой функцией N (t), для которойN (t)= ∞.t→∞tlimЕсли для некоторого C справедливоeN (t) 6Z∞ept−N∗(p)+Cpdp при t > t0 ,1тоLM = LL∞ (ω) ,176(3.38)с∗− N p(p)ω = ω(p) = e.(3.39)Доказательство. Согласно теореме 3.3.5M (u) = sup Mp (u), где Mp (u) = ω p up = ep log u−N∗(p).p>1Условия теоремы 3.3.2 будут выполнены с R(p) = eCp и λ = eC+1 приu > u0 = et0 (достаточно сделать замену t = log u в (3.38)).
Ясно, что тогдаэти условия будут выполнены и для всех u > 0 с R1 (p) = C1 R(p).Теорема 3.3.8. Пусть функция M имеет вид (3.37). Если пространствоОрлича LM есть одновременно пространство Марцинкевича, тоLM = LL∞ (ω) ,где ω определено равенством (3.39).Доказательство. Из теоремы 3.3.5 и леммы 3.3.1 следует, чтоLM ⊂ LL∞ (ω)(3.40)с равенством для фундаментальных функций. Обратное вложение следуетиз предположения, что пространство LM есть пространство Марцинкевича,которое, в свою очередь, является самым широким в классе пространств содинаковой фундаментальной функцией.Замечание 3.3.9.
Теорема, близкая по формулировке к теореме 3.3.8, естьв работе [186]. Однако формулировка в [186] содержит неточности, а доказательство ошибочно.177Замечание 3.3.10. Для справедливости теорем 3.3.7 и 3.3.8 достаточносчитать, что равенство (3.37) выполняется при u > u0 . B этом случаефункция N ∗ (p) остается такой же при p > p0 , поэтому соответствующиеэкстраполяционные пространства совпадают, в силу замечания 3.1.3.Замечание 3.3.11.
Условие совпадения пространств Орлича и Марцинкевича в формулировке теоремы 3.3.8 эквивалентно существованию C > 0такому, чтоZ∞−1eN (N(s)−C)−sds < ∞.(3.41)s0Последнее получается после логарифмической замены в условии1∈ LM ⇔ϕLMZ1M 1εM −1dt < ∞.t0Далее, с помощью замены N −1 (s) = x условие (3.41) можно переписать ввидеZ∞eN (x−C)−N (x) N 0 (x) dx < ∞.(3.42)x0Используя выпуклость функции N из (3.41) и (3.42) несложно получитьтакже следующие достаточные условия совпадения пространств Орлича иМарцинкевича:Z∞Cs− N −1(s)ds < ∞(3.43)N 0 (x) dx < ∞.(3.44)es0иZ∞e−CN (x)xx0Аналогично, используя неравенство−CN 0 (x) < N (x − C) − N (x),178можно заключить, что в случаеZ∞0e−CN (x) N 0 (x) dx = ∞(3.45)x0пространства Орлича и Марцинкевича не могут совпасть.3.3.3Примеры ∆-экстраполяционных пространств ОрличаПример 3.3.12.
ПустьαMα = Mα (u) = eu = eeα log uпри u > uα .Эта функция имеет вид (3.37) сN = Nα (t) = eαt .Тогдаpplog(p/α) − .ααСоответствующее пространство Орлича LMα совпадает с пространствомN ∗ (p) =Зигмунда ExpLα , а также с пространством Марцинкевича M(log−1/α (e/t)).Согласно теореме 3.3.8LMα = LL∞ (p−1/α ) ,или, в другой записи,kxkExpLα supp>p0kxkpp1/α,что, конечно, согласуется с (2.6) и следствием 3.2.34.Пример 3.3.13. Рассмотрим пространство Орлича LMα , построенное пофункции1Mα = Mα (u) = e α logα(u)179при u > uα , α > 1.Эта функция имеет вид (3.37) сtαN = Nα (t) = .αБолее того, пространство LMα есть пространство Марцинкевича, так каквыполнено (3.43). Итак, условия теоремы 3.3.8 выполнены.
Учитывая, чтоN ∗ = Nα∗ (p) =pβ11при p > p0 , + = 1,ββ αполучаемLMα = LL∞ (exp(−pβ−1 /β)) ,или, подробнее,kxkLMα sup kxkp e−pβ−1/β.p>1Замечание 3.3.14. Фундаментальная функция пространства LMα из примера 3.3.13 определяется равенствомϕLMα (t) 1M −11/α−(α log 1/t).1 =etАналогичные функции рассматривались в примере 3.4.14.
Далее, β−1 pω = ω(p) = exp −= ϕβ (e−p ),βгде1ϕβ (t) = e− β logβ−11/t.ПоэтомуLMα = LL∞ (ϕβ (e−p )) ⊃ LL∞ (ϕLMα(e−p )) ,причем последнее включение строгое в силу теоремы 3.2.29.180Пример 3.3.15. Рассмотрим теперь пространства Орлича, построенныепо функциям вида (3.37) сN = Nγ (t) = t logγ t при t > tγ , γ > 1.Эти функции растут медленнее, чем соответствующие функции из примера 3.3.13, поэтому пространства Орлича, построенные по ним, будут шире, чем пространства Орлича из примера 3.3.13. Однако эти пространстватакже будут экстраполяционными. Действительно, они совпадают с пространствами Марцинкевича, так как выполнено (3.44). Последнее в силутого, чтоZ∞e−2 logγxlogγ x dx < ∞ при γ > 1.x0Несложно найти функцию, сопряженную к функции, эквивалентой Nγ всмысле эквивалентности N –функций [30, c.
52]. Однако для наших целейэтого недостаточно, так как соответствующие пространства Орлича могутоказаться различными. Точное же вычисление сопряженной функции Nγ∗в общем случае затруднительно. Однако для некоторых частных значенийγ это сделать несложно. В случае γ = 1 и γ = 2 с помощью элементарныхвычислений получаем:√N1∗ (p) = ep−1 и N2∗ (p) = pep+1−1p/ p + 1.В силу теоремы 3.3.8 дляM1 (u) = exp (log u log log u) и M2 (u) = exp log u log2 log uимеемkxkLM1!√ p−1 ee p+1−1 sup kxkp exp −и kxkLM sup kxkp exp − √.2pp+1p>1p>1181Замечание 3.3.16. Для функции N (t) = t log t ("крайней" функции примера 3.3.15) в экстраполяционности соответствующего пространства Орлича LM можно убедиться и с помощью теоремы 3.3.7, не используя факт егосовпадения с пространством Марцинкевича.
Достаточно проверить условие(3.38), которое для данной функции N имеет видet log t 6Z∞p−1ept−e+pdp при t > t0 .0Подынтегральная функция достигает максимума в точкеp0 = log(t + 1) + 1.ПоэтомуZ∞p0 + 1tept−ep−1+pZdp >p−1+pdp >p001> exptept−e111p0 +t − ep0 + t −1 + p0 +tt=11= exp (t + 1) log(t + 1) + t + 2 + − (t + 1)e t − log t > et log ttпри больших t, так как11lim (t + 1) log(t + 1) + t + 2 + − (t + 1)e t − log t − t log t = 1.t→∞tПример 3.3.17. Приведем пример пространств Орлича, построенных пофункциям вида (3.37), для которых теорема 3.3.8 не применима. Рассмотрим функции Nγ того же вида, что и в примере 3.3.15, но с γ ∈ (0, 1).ТогдаZ∞e−C logγxlogγ x dx = ∞,x0182откуда следует (3.45), и совпадения с пространствами Марцинкевича нет.Как мы увидим далее, см.
утверждение 3.4.11, соответствующие пространства Марцинкевича не являются F-экстраполяционными. Аналогично проверяется, что теорема 3.3.8 не применима и в случаеN (t) = t log log t при t > t0 .3.3.4Пересечение счетного семейства пространств LpПокажем еще, что в случае дискретной экстраполяции с помощью супремума всегда получается пространство Орлича.
Точнее, что нормаkxkl∞ (ω) = sup ω(k)kxkkk∈Nвсегда есть норма Орлича. В силу леммы 3.3.1, достаточно доказать вложениеLM =\LMk ⊂ LM ,kгдеMk (u) = ψ(k)uk ,M (u) = sup ψ(k)uk ,kРассмотрим функцию1M (u) =∞XMk (u).k=1Пустьx ∈ LM и kxkLM < 1.ТогдаZ1Mk (|x(t)|) dt 6 1.0183k ∈ N.Следовательно,Z1M1|x(t)|21dt =∞ ZXMkk=1 00|x(t)|2∞X1dt 6= 1,2kk=1откудаkxkLM 6 kxkLM 1 6 2,т.е. x ∈ LM . Видно также, что константа вложения LM в LM не превосходит2.Легко видеть, что аналогичные рассуждения применимы и в случаеkxk = sup ω(k)kxklog k ,k ∈ N.k>23.3.5Весовое пространство Лебега переменной степени как параметр экстраполяцииВ предыдущих разделах мы описывали пространство Орлича как F-экстраполяционное, используя в качестве параметра экстраполяции F весовоепространство L∞ (ω).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
