Диссертация (1154386), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда11ϕ(t) = sup ω(k)t k 6 sup ω(p)t p = sup e−f (p) = exp(− inf f (p)).p>1p>1k∈Np>1Пусть p0 ∈ (0, ∞) — точка минимума функции f (p). Тогдаp0p20 ep0 ee = log(1/t),откуда p0 < log log log(1/t). Поэтому1ϕ(t) = ω(k1 )t k1 где k1 = k1 (t) ∈ N и k1 < log log log(1/t) + 1.Согласно (3.66)Φ1 111> ω(k1 )k1 k.= k >logλ·loglog log 1/t1/kkλϕ(t)λ 1 t λteλ 1 (ω(k1 )t 1 ) 1ПоэтомуZ1 Φ11 dt >λϕ(t)λ0Z11dt = ∞,t loglog λ log(1/t)0и соотношение (3.67) доказано.219Глава 4Экстраполяция операторовза пределы шкалы{Lp}1<p<∞Настоящая глава посвящена основной задаче теории экстраполяции — экстраполяции операторов за пределы заданной шкалы.В параграфе 4.1 сформулированы и доказаны экстраполяционные теоремы об операторах, действующих в шкале {Lp }p<∞ , нормы которых растут при p → ∞.
В важном случае степенного роста норм оператора установлена точность соответствующего результата. Естественно, базой дляэтих теорем служит экстраполяционное описание симметричных пространств, полученное в предыдущих разделах. Параграф 4.2 посвящен решению важной задачи экстраполяции операторов, принимающих значенияв квазибанаховых пространствах. Классические экстраполяционные функторы хорошо действуют в случае банаховых шкал, и для их примененияк квазибанахову случаю потребовалось дополнительное исследование. Темне менее, уже с помощью функтора суммы Σ можно получить содержательные результаты, что и будет продемонстрировано в разделе 4.2.2204.1Экстраполяционные теоремы для операторов в шкале {Lp}p<∞, с растущими нормами при p → ∞Пусть, как обычно x∗∗ (t) =1tRtx∗ (s) ds.
Для α > 0 и симметричного0пространства X определим пространство X(log−α ) следующим образом:X(log−α ) состоит из всех таких измеримых функций x(t), чтоx∗∗ (t) log−α (e/t) ∈ X,и снабжено нормой kxkX(log−α ) = kx∗∗ (t) log−α (e/t)kX . Такие пространствавозникают в теории интерполяции операторов слабого типа [32, § II.6], атакже при изучении различных вопросов геометрии симметричных пространств (см., например, [103, Theorem 2.17]).Покажем сначала, что если X сильно экстраполяционно, то замена ввыражении для нормы X(log−α ) двух "звездочек" одной приводит к эквивалентному функционалу.Предложение 4.1.1.
Пусть X ∈ SE. Тогда X(log−α ) состоит из всехфункций x(t) таких, что x∗ (t) log−α (e/t) ∈ X иkxkX(log−α ) kx∗ (t) log−α (e/t)kX .(4.1)Доказательство. Так как log e/t log2 2/t при t ∈ (0, 1], то достаточнодоказать, что−α∗kx∗∗ (t) log−α2 (2/t)kX kx (t) log (2/t)kX .221Так как функция x∗∗ (t) убывает, то имеют место неравенства∗∗kx∗∗ (t) log−α2 (2/t) · χ[1/2,1] kX 6 2kx (t) · χ[1/2,3/4] kX6 2 · 3α kx∗∗ (t) log−α2 (2/t) · χ[1/4,1/2] kX .Следовательно,−α∗∗kx∗∗ (t) log−α2 (2/t)kX 6 kx (t) log2 (2/t) · χ[0,1/2] kX+kx∗∗ (t) log−α2 (2/t) · χ[1/2,1] kX6 (1 + 2 · 3α )kx∗∗ (t) log−α2 (2/t) · χ[0,1/2] kX .Далее предполагаем, что t ∈ [0, 1/2].
Тогдаn1x (t) =t∗∗∞Xn=0Zt2∗x (s) ds 6∞Xx∗t2n+1nt2−1.n=0t2n+1Поэтомуx∗∗(t) log−α2 (2/t)66∞Xn=0∞X∗x2n+1tS n+1log−α22n+12/t·logα22/tlogα2 (2/t) α(n+1)x∗ (t) log−α(2/t)·2·2n=02n+1t2n−1 2n −11,2где, как и ранее, Sx(t) = x(t2 ). По теореме 3.2.5, оператор S ограничен вX, и, следовательно,kx∗∗ (t) log−α2 (2/t)kX∞Xαn+1α(n+1)+1−2n ∗6 (1 + 2 · 3 ) ·kSk·2x (t) log−α(2/t)2Xn=0 .= Cα x∗ (t) log−α(2/t)2XТак как x∗ (t) 6 x∗∗ (t), противоположное неравенство очевидно.222Следствие 4.1.2. В условиях предыдущего предложения пространствоX(log−α ) сильно экстраполяционно.При этом X(log−α ) = LX̃(p−α ) , гдеkf kX̃(p−α ) := kf (p) · p−α kX̃ .Доказательство. Соотношение (4.1) показывает, что из ограниченностиоператора S в X вытекает его ограниченность в X(log−α ).
Следовательно,по теореме 3.2.5 пространство X(log−α ) также сильно экстраполяционно,т.е. X(log−α ) = L.−α^X(log)Последнее утверждение следствия получается изнепосредственно проверяемого равенства L−α^X(log)= LX̃(p−α ) .−α^Замечание 4.1.3. Пространства X(log) и X̃(p−α ), фигурирующие в до-казательстве следствия 4.1.2, могут не совпадать. Действительно, условиеf ∈ X̃(p−α ) равносильно условию f (log(e/t)) log−α (e/t) ∈ X, в то время−α^как условие f ∈ X(log) равносильно условию (f (log(e/t)))∗ log−α (e/t) ∈X. В случае X = L∞ полагая f (log(e/t)) = logα (e/(1 − t)) видим, что−α−α^^f ∈ X(log) \ X̃(p−α ). Однако пространства X(log) и X̃(p−α ) совпадают на пересечении с конусом неотрицательных неубывающих функций, иэтого достаточно для равенства L−α^X(log)= LX̃(p−α ) .Теорема 4.1.4. Пусть оператор T действует ограниченно в пространствах Lp для всех p > p0 > 1, и для некоторых положительных α иCkT kLp →Lp 6 Cpα (p > p0 ).(4.2)Тогда для произвольного сильно экстраполяционного симметричного пространства X оператор T действует ограниченно из X в X(log−α ).Кроме того, существует удовлетворяющий условию (4.2) линейныйоператор T0 со следующим свойством: если T0 ограничен из X ∈ SE в223симметричное пространство Y , тоX(log−α ) ⊂ Y.(4.3)Доказательство.
Из оценок (4.2), следствия 4.1.2 и замечания 3.2.8 следует, чтоkT xkX(log−α )6 C1 kT xkp · p−α X̃,p06 C2 kxkp X̃,p06 C3 kxkX ,и первое утверждение теоремы доказано.Для заданного α > 0 рассмотрим операторZ1T0 x(t) =logα−1 (s/t)x(s) ds.stНесложно установить, что ассоциированный с T0 оператор может быть задан явно следующим образом:1T00 x(t) =tZtlogα−1 (t/s)x(s) ds.0ОценимkT00 xkq 6Z1logα−1 (1/s)kx(st)kLq (t) ds 60Z1s−1/q logα−1 (1/s) ds · kxkq .0Поэтому из равенстваZ1s−1/q logα−1 (1/s) ds =0=Z∞et(1/q−1) tα−1 dt0qq−1α Z∞e−v v α−1 dv =0224qq−1α· Γ(α),где через Γ(x) обозначена классическая гамма-функция, пролучаемkT0 kLp →Lp = kT00 kLp0 →Lp0 6 Γ(α) · pα , где1 1+ = 1,p p0для любого 1 < p < ∞. Таким образом T0 удовлетворяет условию (4.2).Предположим, что X ∈ SE, и что T0 ограничен как оператор из X в некоторое симметричное пространство Y .Пусть x ∈ X(log−α ).
Тогда для некоторого y ∈ Xx∗ (t) 6 y(t) logα (e/t) (0 < t 6 1)и, согласно [32, §II.2, свойство 100 ],x∗ (t) 6 (y(t) logα (e/t))∗ 6 y ∗ (t/2) logα (2e/t) 6 z ∗ (t) logα (e/t),(4.4)с некоторым z ∈ X. Положим z1 (t) = z ∗ (t2 ). Согласно теореме 3.2.5 ииспользуя условие X ∈ SE, получаем, что z1 ∈ X и√√tt√ Z logα−1 (s/t)logα−1 (s/t)T0 z1 (t) >z1 (s) ds > z1 ( t)dssstt√α−1 ∗−1 −α ∗= α z (t) log (1/ t) = α 2 z (t) logα (1/t)Z> α−1 2−2α · z ∗ (t) logα (e/t) · χ[0,1/e] (t).Если T0 ограничен из X в Y , то T0 z1 ∈ Y , и из последнего неравенства и(4.4) следует, что x ∈ Y , т.е. имеет место вложение (4.3).Замечание 4.1.5. Если X = L∞ , то пространство X(log−α ) совпадает спространством Зигмунда Exp L1/α . В этом случае из теоремы 4.1.4 следуетвторая часть классической экстраполяционной теоремы Яно-Зигмунда, т.е.утверждение, что оператор T , удовлетворяющий оценкам (4.2), ограничениз L∞ в Exp L1/α .225Замечание 4.1.6.
Ярким примером оператора, для которого выполняются условия теоремы 4.1.4, является оператор H перехода к сопряженойфункции в гармоническом анализе:1Hf (x) := p.v.2πZπf (x − t) ctgtdt2−πдля 2π-периодической функции f . Для нормы этого оператора в Lp [−π, π]при p > 2 справедлива оценка kHkLp →Lp 6 ctg (π/2π) [193].Замечание 4.1.7. В одном частном случае утверждение теоремы 4.1.4вытекает из следующей интерполяционной теоремы, приведенной в работе [23].
Пусть 1 < p < ∞, X — с.п., интерполяционное между L1 и L∞ ,такое, что функция log e/t ∈ X. Тогда любой линейный оператор A, имеющий слабый тип (1, 1) и ограниченный в Lp , ограниченно действует изпространства X(log) с нормой kxkX(log) = kx∗ (t) log e/tkX в X.Если теперь T = A∗ (т.е. T — оператор, сопряженный к A), то в условиях этой теоремы T ограничен из X 0 в X 0 (log−1 ), где X 0 — с.п., ассоциированное к X [32, с. 65]. Заметим, что ввиду интерполяционной теоремы Марцинкевича [11, теорема 1.3.1] для нормы такого оператора выполнена оценка (4.2). В то же время, условия сформулированной теоремы существенно ограничительнее, и она не "покрывает" утверждения теоремы 4.1.4. Для обоснования этого можно, например, использовать конструкцию, кратко описанную в [28, § 5.9].
Пусть ψ(p) (1 < p < 3/2)— произвольная функция, такая, что limp→1 ψ(p) = ∞. Тогда существует оператор свертки A, ограниченный из Lp в L2 для всех p ∈ (1, 3/2),kAkLp →Lp 6 kAkLp →L2 6 ψ(p), который одновременно с этим не имеет слабый тип (1, 1). Тогда, если ψ(p) 6 C(p − 1)−1 для некоторого C > 0, то226для оператора T = A∗ выполнены условия теоремы 4.1.4 и не выполнены— теоремы из [23].Замечание 4.1.8.
Существует несколько иной подход к описанию поведения операторов со степенным ростом норм в пространствах Lp . Из доказательства теоремы 4.1.4 мы видим, что точность теоремы реализуется наоператорах специального вида. Оказывается, что некоторые операторы обладают следующим экстремальным свойством: любой оператор, имеющийтакую же оценку для роста норм, как и экстремальный, имеет меньший Kфункционал в паре (L1 , L∞ ). По этому поводу см. раздел 4.2.7 настоящейработы.В теореме 4.1.4 предполагалось, что оператор имеет степенной ростнорм в шкале {Lp }p<∞ .
Ясно, что результаты разделов 3.3 и 3.4 позволяют сформулировать и доказать подобные теоремы не только для сильноэкстраполяционных пространств. При этом рост норм операторов можетбыть произвольный, а не только степенной. Тем самым мы получаем другие варианты обобщения экстраполяционной теоремы Зигмунда. В качестве иллюстрации приведем следующие утверждения.Теорема 4.1.9. Предположим, что оператор T ограничен в Lp [0, 1] длявсех p ∈ (p0 , ∞), иkT kLp →Lp 6 bp ,p ∈ (p0 , ∞).Пусть, кроме того,M (u) =∞Xkak |u|иk=1N (u) =∞Xakk=1bk|u|k .Тогда оператор T ограничен из пространства Орлича LM в пространствоОрлича LN .227Доказательство.
Доказать эту теорему можно непосредственно, используя определение нормы Люксембурга в пространстве Орлича. Но теорематакже легко получается и из теоремы 3.3.22.Теорема 4.1.10. Предположим, что оператор T ограничен в Lp [0, 1] длявсех p ∈ (p0 , ∞), иkT kLp →Lp = b(p),p ∈ (p0 , ∞),b(p) ↑ +∞ при p → +∞.Пусть, кроме того, N0 (t) — выпуклая функция, для которойN0 (t)= +∞,t→+∞tlimа функцияN (t) = (N0∗ (p) + p log b(p))∗удовлетворяет хотя бы одному из условий (3.38) и (3.42).Тогда оператор T ограничен из пространства Орлича LM0 в пространство Орлича LM , гдеM0 (u) = eN0 (log u)иM (u) = eN (log u) .Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
