Диссертация (1154386), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рассуждения точно такие же, как в доказательстве теоремы 4.2.14, но вместо теоремы 4.2.6 нужно использовать теорему 4.2.7.4.2.5Экстраполяция операторов, действующих в логарифмически выпуклое пространствоВ этом параграфе рассматриваются операторы, действующие в логарифмически выпуклое пространство, т.е.
в квазибанахово пространство, в котором с некоторой константой γ > 0 выполняется неравенство∞ ∞X Xxj 6 γ(1 + log j)kxj kY .j=1Yj=1254(4.18)В этом случае можно получить более точные результаты. В то же времякласс логарифмически выпуклых пространств охватывает такое важноепространство, как L1,∞ (так называемое слабое L1 ), и, следовательно, экстраполяционные теоремы этого параграфа могут быть применены к оценкам слабого типа. Совершенно аналогично теоремам 4.2.6 и 4.2.7 доказываются следующие теоремы.
Модификация соответствующих доказательствочевидна, и мы это опускаем.Теорема 4.2.18. Пусть пространства Xj , j ∈ N, — банаховы и вложенынепрерывно в банахово пространство A, а линейный оператор T действует ограниченно из каждого пространства Xj в фиксированное логарифмически выпуклое пространство Y иkT xkY 6 Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj .(4.19)Предположим также, чтоkxkA 6 C(1 + log j)Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj ,где C — некоторая положительная константа, а константы Cj те же,что и в (4.19).Тогда, если оператор T действует непрерывно из пространства A вкакоенибудь топологическое векторное хаусдорфово пространство B, вкоторое непрерывно вложено пространство Y , то оператор T действуетограниченно из пространстваX :=∞X(1 + log j)Cj Xjj=1в пространство Y , и kT xkY 6 γkxkX для всех x ∈ X, где γ — константаиз определения (4.18) логарифмически выпуклого пространства.255Теорема 4.2.19.
Пусть пространства Xj , j ∈ N, — банаховы и вложенынепрерывно в банахово пространство A, а оператор T действует ограниченно из каждого пространства Xj в фиксированное логарифмическивыпуклое идеальное пространство Y измеримых функций на некоторомпространстве с мерой, иkT xkY 6 Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj .(4.20)Предположим также, чтоkxkA 6 C(1 + log j)Cj kxkXjдля всех j ∈ N и x ∈ Xj ,где C — некоторая положительная константа, а константы Cj те же,что и в (4.20). Пусть, кроме этого, для некоторого B > 0 оператор TSобладает на множестве T , j∈N Xj ⊂ T ⊂ A, свойствомесли x =∞Xxi в A, то |T x(t)| 6 Bi=1∞X|T xi (t)| для почти всех t,i=1Тогда для всех x ∈ T ∩ X, гдеX :=∞X(1 + log j)Cj Xj ,j=1выполняется kT xkY 6 γBkxkX , а γ — константа из определения (4.18)логарифмически выпуклого пространства.
В частности, если X ⊂ T , тооператор T действует ограниченно из X в Y c нормой, не превосходящейγB.Чтобы перейти к операторам, действующим из шкалы пространств Lp ,докажем еще следующий результат.256Утверждение 4.2.20. Пусть α > 0. ТогдаX p α ep1 + log logLp =p−1p−1p>1α Xepp1 + log logLp,1 = Λ(ψ),=p−1p−1p>1гдеtψ(t) t logαeClog log logttпри некотором C > ee .Доказательство. Функция ϕ(q) := q α log(e log eq) удовлетворяет условиютеоремы 4.2.10, так как ϕ(q) возрастает иϕ(q + e−q ) = (q + e−q )α log e log e(q + e−q )6 (q + 1)α log [e log (e(q + 1))]6 2α q α log e log(eq)2 6 2α q α log (e log(eq))26 2α+1 q α log (e log(eq)) = 2α+1 ϕ(q).Следовательно, по теореме 4.2.10,XXϕ(q)Lp =ϕ(q)Lp,1 = Λ(ψ),p>1где q =pp−1 ,p>1и111pψ(t) = inf ϕt p = inf ϕ(q)t1− q = t · inf q α (1 + log log eq)t− q .p>1q>1q>1p−11Чтобы вычислить инфимум, исследуем функцию f (q) = q α (1+log log eq)t− qна экстремум.
Вычислим f 0 :11q α (1 + log log eq)t− q log 1tq α t− qf (q) = αq (1 + log log eq)t +−q log eqq21log(elogeq)log11t= t− q q α−1 α log(e log eq) +−,log eqq0α−1− 1q257и знак f 0 (q) совпадает со знаком выраженияlog(e log eq) log 1t1α log(e log eq) +−.log eqqСледовательно, минимум функции f (q) при достаточно малом t (log 1t >α + 1 ⇔ t < e−α−1 ) достигается при q0 таком, чтоlog1q0= αq0 +.tlog eq0 · log(e log eq0 )11При этом t− q0 ∈ [eα ; eα+1 ], т.е. при всех t множитель t− q0 в выражении для1f (q0 ) = t− q0 · q0α · log(e log eq0 )остается ограниченным.
Также для q0 выполняются неравенства1111log 6 q0 6 log ,α+1tαttи, следовательно, q0α logα 1t .Остается дать оценку для множителя log (e(log eq0 )) в выражении для 1f (q0 ). Так как q0 ∈ α+1log 1t ; α1 log 1t , то1log(e log eq) = 1 + log 1 + log c log,t1где c ∈ [ α+1; α1 ]. Но1 + log 1 + log α1 log 1t = 1,lim11t→0 1 + log 1 + loglogα+1tпоэтому11f (q0 ) logα (e/t) 1 + log 1 + log + log logαttиtψ(t) t logα (e/t) log log log(C/t).258,Следствие 4.2.21.
Справедливы равенстваXqnα (1 + log n)Lpn =qn =en−1 ,pn =qn /(qn −1),n∈NX=qnα (1 + log n)Lpn ,1 = Λ(ψ),qn =en−1 ,pn =qn /(qn −1),n∈Nгдеtψ(t) t logα (e/t) log log log(C/t)при некотором C > ee .Доказательство. Будем доказывать соотношение только для пространствLp , так как доказательство для Lp,1 аналогично. При q ∈ [en−1 ; en ]αα(n−1)q (1 + log log eq) > eи, следовательно, при p =e−α n α(1 + log n) >(e ) (1 + log(n + 1)),2qq−12eααq (1 + log log eq)Lp ⊂ (en )α (1 + log(n + 1))Lpn+1 .Следовательно,X2eαXq α (1 + log log eq)Lp ⊂q>1qnα (1 + log n)Lpn .qn =en−1 ,pn =qn /(qn −1),n∈NТак как обратное включение очевидно, то по предложению 4.2.20Xqnα (1 + log n)Lpn = Λ(ψ)qn =en−1 ,pn =qn /(qn −1),n∈Nс нужной ψ(t).Из теорем 4.2.18 и 4.2.19 с помощью следствия 4.2.21 очевидным способом получаем следующие результаты.259Теорема 4.2.22.
Пусть Y — логарифмически выпуклое пространство,непрерывно вложенное в некоторое топологическое векторное хаусдорфово пространство B, а T — линейный оператор, действующий непрерывноиз пространства Λ(ψ),tψ(t) t logα (b/t) log log log(b/t),b > ee ,в B.Тогда, если при всех p > 1 оператор T действует из Lp в Y с нормойαpkT kLp →Y 6 C,p−1то T действует ограниченно из Λ(ψ) в Y .Теорема 4.2.23.
Пусть Y — логарифмически выпуклое идеальное пространство, Y ⊂ S, а T — сублинейный оператор, определенный на Λ(ψ),tψ(t) t logα (b/t) log log log(b/t),b > ee .Тогда, если при всех p > 1 оператор T действует из Lp в Y с нормойαpkT kLp →Y 6 C,p−1то T действует ограниченно из Λ(ψ) в Y .Замечание 4.2.24. Пространство Лоренца Λ(ψ) из теорем 4.2.22 и 4.2.23совпадает с пространством Орлича LM [168, теорема 2], построенном повыпуклой функцииM (u) ∼ u logα u log log log u.Это пространство обозначается также через L logα L log log log L.
При α = 1это пространство известно как пространство Антонова. Для каждой функ260ции из этого пространства ее тригонометрический ряд Фурье сходится почти всюду [97]. По вопросу сходимости ряда Фурье почти всюду см. также [98,99,128]. В [128, определение 2.1] предложена специальная конструкция пространства, использующая разложение измеримой функции в сумму ограниченных функций, и напоминающая конструкцию экстраполяционной суммы из следствия 4.2.21. При этом в [128] не используются пространства Lp или Lp,1 , но при соответствующем выборе параметров как ив следствии 4.2.21 получается пространство L log L log log log L [128, следствие 2.1].4.2.6Примеры операторов и сравнение с известнымирезультатамиВ данном параграфе на примере теоремы 4.2.23 из параграфа 4.2.5 обсуждаются вопросы области применимости, точности и новизны результатов настоящей работы.
Относительно результатов параграфа 4.2.4 отметим только, что автору неизвестны работы, в которых рассматривалисьбы вопросы экстраполяции операторов из какой-либо шкалы в случае, когда образом является произвольное квазибанахово пространство без специальных ограничений на квазинорму. В работах, на которые мы будемссылаться далее, рассматривались квазилинейные операторы (т.е. субаддитивные и субоднородные, см. определение 4.2.4 и замечание после него),поэтому в настоящем разделе мы также будем предполагать выполненымисоответствующие условия.В работах [124, 127, 203] доказаны теоремы, близкие по форме и смыслу к теореме 4.2.23, однако имеются некоторые принципиальные отличия,261которые требуют пояснений. Во-первых, необходимо отметить, что теоремы из работ [124,127,203] имеют следующее неоспоримое достоинство: ониприменимы к операторам, имеющим лишь так называемый ограниченныйслабый тип (restricted weak type), т.е.
к операторам, для которых квазинорма образа контролируется только на характеристических функциях. Этопозволяет применить соответствующие экстраполяционные результаты кзнаменитой проблеме (идущей от Лузина Н.Н.) об описании класса функций со сходящимся почти всюду рядом Фурье. Во-вторых, в этих работахрассматриваются и пространства функций на множествах неограниченноймеры.
В то же время, в упомянутых работах имеются и ограничения на рассматриваемые операторы, которых нет в настоящей работе автора. Самымсущественным из этих ограничений является требование на образ оператора. Именно, в упомянутых работах предполагается, что оператор действуетих Lp в пространство Lp,∞ , которое рассматривается с квазинормой1kxk0Lp,∞ := sup t p x∗ (t),t∈(0,1]и это важно для соответствующих рассуждений.
В настоящей работе требуется лишь, чтобы оператор действовал из Lp в общее для всех p пространство Y . Даже в случае Y = L1,∞ разница очевидна, и уже к простейшемуодномерному оператору T видаT x(t) :=1tZ1x(s) log s ds0теоремы из упомянутых работ формально неприменимы, а теорема 4.2.23дает хотя и неточный, но верный результат (в этом примере точный результат легко получить и без теоремы 4.2.23). Немного более сложный пример262дает операторT x(t) :=∞XZµ−1kk=1x(s) ds fk (t),∆kгде ∆k — попарно непересекающиеся подмножества отрезка [0, 1] такие, чтоPµ(∆k ) = µk и k µk = 1, а fk ∈ L1,∞ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
