Диссертация (1154386), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ЕслиP(1 − log( ∞i=k µi )) µkkfk kL1,∞ 6,1 + log kтоkT xkL1,∞ 6 Cpkxkp ,p−1(4.21)и к такому оператору мы можем применить теорему 4.2.23. Обоснуем неравенство (4.21). Для этого заметим сначала, что при q > 1∞X1 − logk=1∞X! 1q!!qµiµkZ16i=k 1qlogq (e/t) dt 6 Cq,0согласно известному неравенству для гамма-функции. Далее, используя логарифмическую выпуклость пространства L1,∞ , и применяя дважды неравенство Гельдера (для последовательностей и для интегралов), оценимZ∞XkT xkL1,∞ 6 Cµ−1|x(s)| ds kfk kL1,∞ (1 + log k) 6kk=16C∞Xµ−1kk=16C∞Xk=1∆kZ|x(s)| dsp p1∞XZ|x(s)| ds µk ·6C∞ ZXk=1 ∆µi1 − logk=1∆k!!µk 6i=k∆kµ−1k1 − log∞X∞Xi=k p1|x(s)|p ds q = Ck263pkxkp ,p−1! 1q!!qµiµk6и неравенство (4.21) доказано.Близкий к теореме 4.2.23 результат сформулирован также в конце работы [129].
Отличие в том, что в [129] требуется, чтобы оператор действовалc нужным ростом норм из Lp,∞ в Y .Из условий теоремы 4.2.23 в случае Y = L1,∞ (как и из условий близкихтеорем из упомянутых работ) следует, что для рассматриваемого оператораи произвольного множества A ⊂ [0, 1] выполняется неравенствоkT χA kL1,∞ 6 CkχA kΛ(ψ) ,(4.22)где ψ(t) t logα b/t.
Это следует из оценкиαpkT χA kL1,∞ 6 CkχA kp ,p−1в которой нужно перейти к инфинуму по p > 1, и воспользоваться результатами вычислений из доказательства следствия 4.2.12. Возникает естественный вопрос: какие оценки на норму kT xkL1,∞ можно получить дляпроизвольной функции x, используя оценку (4.22) для характеристическихфункций и какие-нибудь дополнительные условия на оператор T ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим сначала более общую ситуацию.Для краткости, запись x 6 y для функций x, y ∈ S будет означать,что x(t) 6 y(t) почти всюду на [0, 1].
Несложно проверяется следующееутверждение (сравните [32, следствие леммы II.5.2]).Теорема 4.2.25. Пусть Y — банахово идеальное пространство, Y ⊂ S,а Λ(ψ) — произвольное пространство Лоренца. Тогда любой оператор,определенный на Λ(ψ), принимающий значения в S, и удовлетворяющийследующим свойствам:1) если |x| 6 |y| ∈ Λ(ψ), то |T x| 6 |T y|,2642) |T (λχA )| 6 C|λT χA | для некоторого C > 0 и всех измеримых A ⊂ [0, 1],3)если x =∞Xxi в Λ(ψ), то |T x| 6 Ci=1∞X|T xi |,C > 0,i=14)kT χA kY< ∞,A⊂[0,1] ψ(µA)supбудет ограниченно действовать из Λ(ψ) в Y .Оказывается, в теореме 4.2.25 нельзя вместо банахова пространства Yпоставить никакое квазибанахово ненормируемое пространство.
В следующей теореме через P обозначено множество всех конечнозначных функций,т.е. функций видаx = x(t) =nXci χAi (t),i=1где n ∈ N, ci ∈ R, Ai ⊂ [0, 1]. Через µA обозначаем меру Лебега множестваA.Теорема 4.2.26. Пусть ψ(t) возрастающая непрерывная вогнутая функция на [0, 1], ψ(0) = 0, пространство Лоренца Λ(ψ) не совпадает с L1 , аY — квазибанахово ненормируемое идеальное пространство, Y ⊂ S. Тогда существует оператор, определенный на L1 , принимающий значенияв S + , и удовлетворяющий следующим свойствам:1) если |x| 6 |y| ∈ L1 , то T x 6 T y;2) T (λx) = |λ|T x для произвольных λ ∈ R и x ∈ L13)если x =∞Xxi в L1 , то T x 6i=1∞Xi=14)kT χA kY< ∞;A⊂[0,1] ψ(µA)sup265T xi ;5)supx∈PkT xkY= ∞.kxkΛ(ψ)Доказательство.
В доказательстве будем пользоваться следующим легкопроверяемым свойством квазибанахова пространства: если Y ненормируемо, то существуют последовательности натуральных чисел {nk }∞k=0 , n0 = 1,положительных вещественныx чисел {αi }∞i=1 , и элементов пространства Y{fi }∞i=1 , kfi kY = 1, такие, что для каждого k ∈ N XnknkX > kαi .αfiii=nk−1 +1i=nk−1 +1(4.23)YКроме того, так как Y — идеальное пространство, то можно считать, чтоfi > 0.Так как Λ(ψ)6=L1 и Λ(ψ)6=L∞ (по условию ψ непрерывна) найдетсяпоследовательность положительных чисел {µi }∞i=1 такая, что∞Xµj < 1,i=1и для всех j > 2 выполнены условияψ(µj ) 6ψ(µj−1 ),(2K)j(4.24)иµjµj−16,ψ(µj ) ψ(µj−1 )(2K)j(4.25)где через K обозначена константа из неравенства треугольника для Y .Пусть теперь {Ei }∞i=1 — последовательность дизъюнктных подмножествотрезка [0, 1] таких, что µ(Ei ) = µi , где последовательность {µi } удовлетворяет условиям (4.24) и (4.25).
Пусть также неотрицательные fi ∈ Y ,266kfi kY = 1, удовлетворяют условию (4.23). Тогда оператор T :T x :=Z∞Xψ(µi )i=1µi|x(t)| dt fiEiудовлетворяет всем условиям теоремы. Свойства 1), 2) и 3) очевидны. Рассмотрим функциюnkXx(t) :=i=nk−1ТогдаnkXkxkΛ(ψ) 6i=nk−1ноαi· χEi (t).ψ(µ)i+1nkXαi· ψ(µi ) =αi ,ψ(µ)ii=n+1+1k−1 nknkX XkT xkY = αf>kαi ,i ii=nk−1 +1i=nk−1 +1Yоткуда следует свойство 5).
Проверим теперь свойство 4).Пусть A ⊂ [0, 1], и µ := µ(A). Тогда или µ > µ1 , или существует j ∈ Nтакое, что µ ∈ [µj+1 , µj ]. В первом случае, используя лемму 4.2.2 и свойство(4.24), получимkT χA kY 6∞Xi=16∞XZ∞Xi ψ(µi )Kdt fi 6K i ψ(µi ) 6 µii=1EiY2−i ψ(µi−1 ) + Kψ(µ1 ) 6 (K + 1)ψ(µ).i=2Если же µ ∈ [µj+1 , µj ] при некотором j ∈ N, то оценим kT χA k следующимобразом:Z∞ ψ(µ ) ZXψ(µ)ij+1kT χA kY 6K idt fi µi + K µj+1i=j+2EiY267Ej+1dt fj+1 +YZZj−1 ψ(µ )Xψ(µ)jiK i+2 +K 2 χA dt fj +χdtfAi 6 µi µji=1EjEiYY6∞XiK ψ(µi ) + Kψ(µj+1 ) + K2 ψ(µj )i=j+2µj·µ+j−1XK i+2i=1ψ(µi )· µ.µiДалее используем неравенства µj+1 6 µ 6 µj и свойства (4.24) и (4.25):kT χA kY 6∞X−i2 ψ(µi−1 ) + Kψ(µ) + Ki=j+22 ψ(µ)µj−1Xψ(µi+1 )·µ+K·µ6i+1 µ2i+1i=16 (1/4 + K + K 2 + K/2)ψ(µ).Свойство 4) установлено и теорема доказана.Замечание 4.2.27.
В известной работе [184] доказано, что любой операторвида T x = supk |yk ∗ x|, где yk ∈ L1 (R), удовлетворяющий для любогоподмножества A ⊂ R оценке (restricted weak type (1,1))kT χA kL1,∞ (R) 6 CkχA kL1 (R) ,будет действовать ограниченно из L1 в L1,∞ (weak type (1,1)). Аналогичный результат, конечно, верен и в случае пространств функций на отрезке.
В [141] приведен пример сублинейного трансляционно-инвариантногооператора, определенного на L1 [0, 1], для которого, напротив, имеет местооценка слабого типа на характеристических функциях, но который не ограничен из L1 в L1,∞ . Из этого примера с помощью несложных рассужденийможно получить оператор, удовлетворяющий аналогичным свойствам приотображении из L log L в L1,∞ , где через L log L обозначено пространствоЛоренца Λ(ψ) с ψ(t) = t log(e/t).
Пример сублинейного оператора, который ограничен на характеристических функциях из L log L в L1,∞ , но не268ограничен на ступенчатых, приведен также в [142] (без доказательства исо ссылкой на личное сообщение Конягина С.В.). Идея примера из [142]использовалась в доказательстве теоремы 4.2.26.Замечание 4.2.28. Убирая модули под интегралом в определении оператора T из доказательства теоремы 4.2.26, и рассматривая сумму только доконечного n, получаем последовательность конечномерных линейных операторов, равномерно ограниченных на характеристических функциях, ноне являющихся таковыми на функциях из P.
Причем природа пространства Y уже не важна, это может быть совершенно произвольное квазибанахово ненормируемое пространство.Из теоремы 4.2.26 следует, в частности, что оценки (4.22) недостаточнодля ограниченности сублинейного и монотонного оператора T из Λ(ψ) вL1,∞ . Конечно, при достаточно сильных дополнительных ограничениях наоператор (например, когда оператор конечномерен или дизъюнктен) оценка (4.22) распространяется на все функции из Λ(ψ). Но несколько болееслабую оценку можно получить и без дополнительных ограничений.Теорема 4.2.29.
Предположим, что ψ(t) и ψ1 (t) := ψ(t)·log log b/t, b > 0,— возрастающие вогнутые функции на [0, 1], а Y — логарифмически выпуклое идеальное пространство, Y ⊂ S. Тогда любой оператор, определенный на Λ(ψ1 ), принимающий значения в S, и удовлетворяющий следующим свойствам:1) если |x| 6 |y| ∈ Λ(ψ1 ), то |T x| 6 |T y|,2) |T (λχA )| 6 C|λT χA | для некоторого C > 0 и всех измеримых A ⊂ [0, 1],3)если x =∞Xxi в Λ(ψ1 ), то |T x| 6 Ci=1∞Xi=1269|T xi |,C > 0,4)kT χA kY< ∞,A⊂[0,1] ψ(µA)supбудет ограниченно действовать из Λ(ψ1 ) в Y .Доказательство. Рассмотрим сначала функцию x ∈ Λ(ψ1 ) видаx = x(t) =∞Xck χ∆k (t),(4.26)k=1где ck > 0, µ(∆k ) = 2−k+1 и ∆k+1 ⊂ ∆k для всех k ∈ N.
Тогда из свойств2), 3) и логарифмической выпуклости пространства Y следует∞∞XXkT xkY 6 C ck |T χ∆k | 6 Cck kT χ∆k kY · (1 + log k),k=1k=1Yоткуда, используя свойство 4) и определение нормы в пространстве Лоренца Λ(ψ1 ), приходим к оценкеkT xkY 6 C∞Xk=1∞X−k+1−k+1ck ψ(2) · (1 + log log(2/2)) 6 C ck χ∆k k=1.Λ(ψ1 )Для произвольной функции x1 ∈ Λ(ψ1 ) существует функция x вида(4.26) такая, что |x1 (t)| 6 x(t) и x∗ (2t) 6 x∗1 (t) для всеx t ∈ [0, 1]. Тогдаиз свойства 1) и ограниченности оператора растяжения в симметричномпространстве (см. [32, теорема 4.4 главы II]) следуетkT x1 kY 6 kT xkY 6 CkxkΛ(ψ1 ) 6 2Ckx1 kΛ(ψ1 ) .Замечание 4.2.30.
При некоторых дополнительных ограничениях на оператор теорема 4.2.29 следует из [125, теорема 2.4], где рассматривается случай произвольного квазибанахова образа.270Итак, ослабляя условия теоремы 4.2.23 до условияαpkT χA kY 6 CkχA kp ,p−1что равносильно неравенству (4.21) при ψ(t) t logα b/t, мы также можемполучить результат об ограниченности оператора из некоторого пространства Лоренца в Y . Однако, сравнивая заключения теорем 4.2.23 и 4.2.29, мывидим, что в теореме 4.2.23 получается пространство L(log L)α log log log L,а в теореме 4.2.29 только более узкое пространство L(log L)α log log L.
В[125, следствие 2.3] показано, что если сублинейный оператор оператор Tприближается в некотором специальном смысле (ε, δ)-атомическими операторами ((ε, δ)-atomic approximable operator), то из условия (4.21) приψ(t) t log b/t все-таки можно получить ограниченность оператора изL log L log log log L в Y .
Смысл же теоремы 4.2.23 в том, что в ней не требуется никаких дополнительных ограничений на оператор, а используетсятолько информация о его поведении в шкале {Lp }.4.2.7Экстремальное свойство оператора Харди-ЛитлвудаВоспользуемся развитой в предыдущих параграфах техникой, чтобы продемонстрировать один подход описания поведения оператора в предельныхдля шкалы {Lp } пространствах, основанный на мажоризации рассматриваемого оператора некоторым экстремальным оператором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
