Диссертация (1154386), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пустьf (t) =Xcij ri (t)rj (t)почти всюду на [0, 1],(5.34)16i<j<∞функция f (t) непрерывна, иX|cij | < ∞.16i<j<∞339(5.35)ТогдаP1) ∞i=1 |cii+1 | < ∞;2) cij = 2−j+i+1 cii+1 , j > i.Обратно, если выполнены условия 1) и 2), то имеет место равенство(5.34) для непрерывной функции f и выполняется (5.35). Кроме того, дляэтой функции справедливо следующее представление:f (t) =∞Xcii+1 fi (t),где fi (t) = f0 (2i t), f0 (t) =i=14arcsin(cos(πt)).πСреди функций, описываемых теоремой 5.3.1, квадратичная функция∞XX112−i−j−1g(t) = − t + t =2ri (t)rj (t) =4−i arcsin(cos(2i πt)),6π16i<j<∞i=1а также непрерывная функция, нигде не имеющая производной,h(t) =∞Xi=14−i 1πiarcsin(cos(4 πt)) =∞∞ XX2−j−1 r2i (t)rj (t).i=1 j=2i+1Нетрудно показать (см. начало работы [7]), что хаос Радемахера, неявляясь лакунарной последовательностью функций Уолша в обычном понимании (скажем, в смысле Адамара), если его порядок больше 1, темне менее, обладает рядом свойств, сближающих его с такими последовательностями.
Так, например, в [7] доказано, что хаос Радемахера порядка d является системой 2−d –единственности (т.е. из сходимости рядаPi1 >i2 >...>id >1 ai1 i2 ...id ri1 i2 ...id (t) к нулю на произвольном множестве E ⊂ [0, 1],мера Лебега которого больше, чем 1 − 2−d , следует, что ai1 i2 ...id = 0 для всехi1 > .
. . > id ).Хаос Радемахера порядка d > 1 не является системой независимыхслучайных величин, в отличие от системы Радемахера. Тем не менее, неравенства Хинчина распространяются и на хаосы Радемахера (см. [118], [119]340или [113, глава VII, теорема 32]). Для удобства читателя и полноты изложения мы приведем здесь короткое доказательство этого факта. Длякраткости записи здесь и далее через 4d , d ∈ N, будем обозначать “нижнетреугольную” часть Nd , т.е.4d := {(i1 , i2 , . . . , id ) ∈ Nd : i1 > i2 > .
. . > id }.Лемма 5.3.2. Пусть U — конечное подмножество 4d , d ∈ N. Cуществует константа Cd , зависящая только от d, такая, что для всех p > 1и любой последовательности вещественных чисел {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈U выполняются неравенства 21 XXd2 a2i1 i2 ...id ,ar6Cpi1 i2 ...id i1 i2 ...id d(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈Upи 12XXara2i1 i2 ...id 6 4d (Cd )2 · i1 i2 ...id i1 i2 ...id .(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈U1Доказательство.
Согласно [164, теорема 6.5.1], если для последовательности независимых симметрично распределенных случайных величин {ξi }ni=1и некоторых p > q > 1 неравенствоnnXXai ξi 6 κa0 +ai ξi ,a0 +i=1i=1pqвыполнено с константой κ, не зависящей от ai ∈ R, i = 0, 1, . . . , то с некоторой константой Cd > 1, зависящей только от d, и для каждой последовательности вещественных чисел {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈UXXdaξξ...ξ6Cκi1 i2 ...id i1 i2id d n>i1 >i2 >...>id >1n>i1 >i2 >...>id >1p341ai1 i2 ...id ξi1 ξi2 .
. . ξid qРассматривая случай ξi = ri и q = 2, ввиду неравенства Хинчина (5.33) приp > 2 и ортонормированности системы {ri1 i2 ...id } получим, что для любогоконечного множества U 21 XXd2 6Cpara2i1 i2 ...id .di1 i2 ...id i1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈UpПри p ∈ [1, 2) это неравенство очевидно из-за вложения L2 ⊂ Lp . Далее, изнеравенства Гельдера следует, что для любой ограниченной функции xkxk32 6 kxk1 · kxk24 .В частности,3 Xari1 i2 ...id i1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈U2 2 X X 6 ar·ari1 i2 ...id i1 i2 ...id i1 i2 ...id i1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈U (i1 ,i2 ,...,id )∈U412 X X2d · Cd · 4 · ,6 ararii...iii...iii...iii...i1 2d1 2d1 2d1 2d(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈U12откуда 12 X2 6arai1 i2 ...id = ii...iii...i1 2d1 2d(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈U2 X.6 Cd2 · 4d · arii...iii...i1 2d1 2d(i1 ,i2 ,...,id )∈UX1В силу того, что любое симметричное пространство вложено в L1 , излеммы 5.3.2 получаем следующее простое следствие.342Следствие 5.3.3.
Для любого симметричного пространства X и любогоd ∈ N существует константа CX,d такая, что для любого конечногомножества U ⊂ 4d выполняется неравенство 12X X2 .aai1 i2 ...id 6 CX,d · rii...iii...i1 2d1 2d(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈UXВ работах [101] и [102] (см. также [5]) были исследованы свойства подпространства, порожденного хаосом Радемахера в симметричном пространстве. В частности, там показано, что последовательность {ri1 i2 ...id }r1 >···>rd >1при d > 1 безусловна в симметричном пространстве X если и только еслиона “натягивает” в X гильбертово подпространство. В этом факте отражено принципиальное отличие хаоса Радемахера от функций Радемахера,так как последние образуют безусловную базисную последовательность влюбом симметричном пространстве.
В настоящей работе будут рассматриваться аналогичные вопросы для неполного, разреженного хаоса.Основываясь на ранее введенном понятии дробного декартова произведения [111], Р. Блей пришел к следующему определению комбинаторнойразмерности множества (см. [112] а также монографию [113, глава XIII],содержащую немало интересных примеров применения этого понятия). Через |A| всюду далее будет обозначаться мощность (количество элементов)конечного множества A, а Nd := N × N × . .
. × N (d множителей), где N —множество натуральных чисел.Определение 5.3.4. Будем говорить, что множество A ⊂ Nd имеет комбинаторную размерность α, если1) для произвольного β > α существует Cβ > 0 такое, что для любого343набора множеств A1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N, |A1 | = |A2 | = . . . = |Ad | = m,|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| < Cβ mβ ;2) для любых γ < α и k ∈ N найдутся множества A1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N,|A1 | = |A2 | = . . .
= |Ad | = m > k, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > mγ .Известно, что для каждого вещественного α ∈ [1, d] существует множество размерности α [113, глава XIII]. В то же время, как будет показано в § 5.3.5, в случае максимальной комбинаторной размерности (равной d) это определение эквивалентно следующему значительно более простому свойству: для каждого n ∈ N существует такой набор множествB1 , B2 , . . . , Bd ⊂ N, |B1 | = |B2 | = .
. . = |Bd | = n, что B1 ×B2 ×. . .×Bd ⊂ S.Мы дадим два доказательства этого важного для нас факта. Первое изних основывается на применении глубокой теоремы Эрдеша о гиперграфах [136]; благодаря второму прямому доказательству, не использующемутеории графов, изложение становится замкнутым. Основываясь на этой характеризации, в § 5.3.6 мы докажем следующий результат: если множествоA ⊂ Nd имеет комбинаторную размерность d, то безусловность последовательности {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A в симметричном пространстве X гарантируетее эквивалентность в X каноническому базису в `2 . Кроме того, последнееимеет место тогда и только тогда, когда X ⊃ G2/d , где G2/d — сепарабельная часть пространства Орлича ExpL2/d , построенного по функцииM (u) ∼ exp(u2/d ).В § 5.3.3 после введения необходимых в дальнейшем определений и доказательства некоторых вспомогательных результатов будут рассмотрены344свойства хаоса, построенного по произвольной системе стохастически независимых симметрично распределенных функций.
Мы покажем, что он является базисной последовательностью в любом симметричном пространстве, этот хаос содержащем, тем самым усилив результат из работы [102],где то же самое доказано для хаоса Радемахера и симметричных пространств, интерполяционных относительно банаховой пары (L1 , L∞ ).5.3.2Вспомогательные дополнительные результаты осимметричных пространствахВ этом разделе собраны некоторые вспогательные утверждения о симметричных пространствах, которые будут использованы в доказательствахтеорем 5.3.17, 5.3.18 и 5.3.28. Мы пользуемся определениями параграфа1.1, напоминая, однако, особо важные для настоящего раздела положения.Если функция ϕ не принадлежит классу F непрерывных возрастающихвогнутых функций на [0, 1], но совпадает с функцией ϕ1 ∈ F на некотороминтервале (0, t0 ), то под Λ(ϕ) и M(ϕ) мы будем подразумевать пространства Λ(ϕ1 ) и M(ϕ1 ) соответственно.
Выбор конкретной функции ϕ1 приэтом не влияет на состав пространства. В частности, это замечание относится к пространствам из следующей леммы.Следствие 5.3.5. Пусть α > β > 0. ТогдаM(log−β (e/t)) ⊂ Λ(log−α (e/t)).Доказательство. Действительно, так как β/α < 1, то βlog (e/t)Λ(log−α (e/t))Z1=logβ (e/t) d log−α (e/t) =0Z10345x−β/α dx < ∞.Остается воспользоваться леммой 1.1.3.Замыкание множества ограниченных измеримых функций в симметричном пространстве X будем называть его сепарабельной частью и обозначать через X 0 . Тогда X 0 — симметричное пространство, которое сепарабельно, если X 6= L∞ .
Положим: M0 (ϕ) := (M(ϕ))0 .Лемма 5.3.6. Пусть X — симметричное пространство, ϕ ∈ F, и всефункции видаfm (t) = min1, m , m ∈ N,ϕ(t)имеют в X равномерно ограниченные нормы, т.е. для некоторого B > 0sup kfm kX 6 B.m∈NТогда M0 (ϕ) ⊂ X с константой вложения, не превосходящей B.Доказательство. Ввиду [32, глава II, формула (5.16)] для каждой функции x ∈ M0 (ϕ)lim x∗ (t)ϕ(t) = 0.t→0+Поэтому для любого ε > 0 можно выбрать последовательность tn ↓ 0 такую, что для всех t ∈ (0, tn ), n = 1, 2, . . . ,x∗ (t) 6ε.2n ϕ(t)(5.36)Кроме того, так какkxkM0 (ϕ) = kxkM(ϕ) > sup x∗ (t)ϕ(t),t∈(0,1]то для всех t ∈ (0, 1] справедлива также следующая оценка:x∗ (t) 6kxkM0 (ϕ)ϕ(t)346.Отсюда и из неравенства (5.36) получим, что∞Xεf (t) + kxkM0 (ϕ) fm0 (t),x (t) 6n mn2n=1∗где mn выбрано таким образом, чтобы для каждого n = 0, 1, .
. . выполнялось mn > 1/ϕ(tn+1 ). Тогда x ∈ X и∞XεkfkxkX 6k+kxk·kfk6ε+kxkmn Xm0 XM0 (ϕ)M0 (ϕ) B,n2n=1откуда ввиду произвольности ε > 0 и следует нужное утверждение.В § 5.3.4 нам понадобится следующее утверждение о пространствах Орлича.Лемма 5.3.7. Пусть z = z(u, t) — измеримая функция на квадрате [0, 1]×[0, 1], a M — функция Орлича. Предположим, что функция zt (u) := z(u, t)для п.в. t ∈ [0, 1] принадлежит пространству LM иess sup kz(·, t)kLM (·) < ∞.t∈[0,1]Тогда при п.в. u ∈ [0, 1] z(u, ·) ∈ LM (как функция от t) иZ1kz(u, ·)kLM (·) du 6 2 ess sup kz(·, t)kLM (·) .t∈[0,1]0Доказательство.
ОбозначимZ1a := ess sup kz(·, t)kLM (·) ,l(u) := 1 +t∈[0,1]M0Тогда для почти всех t ∈ [0, 1]Z1M|z(u, t)|a0347du 6 1,|z(u, t)|adt.и, следовательно,Z1Z1 Z1l(u) du = 1+0M0|z(u, t)|aZ1 Z1dtdu = 1+0M0|z(u, t)|adudt 6 2.0С другой стороны, так как l(u) > 1, функция M выпукла иZ1M|z(u, t)|adt 6 l(u),0тоZ1M|z(u, t)|al(u)dt 6 1 и kz(u, ·)kLM (·) 6 al(u).0В итогеZ1Z1kz(u, ·)kLM (·) du 6 a0l(u) du 6 2a.0Напомним, что для фундаментальной функции пространства Орличасправедливо равенство:φLM (t) =1M −1 (1/t).Если при этом 1/φLM ∈ LM , то пространство Орлича LM совпадает с пространством Марцинкевича M(φLM ) (см. раздел 1.1).
В частности, как этоуже неоднократно отмечалось в настоящей работе, пространство ОрличаExpLα совпадает с пространством Марцинкевича M(log−1/α (e/t)). То жесамое, конечно, верно и для сепарабельных частей этих пространств.Как обычно, отрезок [0, 1] будет рассматриваться также как вероятностное пространство с мерой Лебега в роли вероятности и тогда независимость набора функций понимается стохастически, т.е. как независимость348совокупности случайных величин. Случайная величина ξ называется симметрично распределенной, если у нее функция распределения такая же,как и у величины −ξ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
