Диссертация (1154386), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следовательно, для любогоt0 ∈ (0, 1/10) для достаточно больших n!∗nnoX111/21/2√rk (t) > min log (e/t), log (e/t0 ) ,2nk=1откуда и вытекает нужный результат.Лемма 5.3.30. Пусть x1 , x2 , . . . , xm — стохастически независимые в совокупности функции на [0, 1]. Тогда для любых t1 , t2 , . . . , tm ∈ (0, 1] иt = t1 t2 .
. . tm выполняется неравенство!∗mmYYxk (t) >x∗k (tk ).k=1k=1Доказательство. Так как функции x1 , x2 , . . . , xm независимы в совокупности, то функцияmYy(s) := xk (s) на [0, 1]k=1одинаково распределена с функциейỹ(s1 , s2 , . . . , sm ) :=mYx∗k (sk ) на [0, 1]m .k=1На множестве [0, t1 ] × [0, t2 ] × . .
. × [0, tm ]ỹ(s1 , s2 , . . . , sm ) =mYx∗k (sk )k=1>mYx∗k (tk ),k=1и, следовательно, при t = t1 t2 . . . tm!∗mmYY∗∗xk (t) = y (t) = ỹ (t) >x∗k (tk ).k=1k=1372Из лемм 5.3.29 и 5.3.30 вытекаетСледствие 5.3.31. Пусть d, m ∈ N. Тогда при достаточно больших n ∈N, любого набора попарно непересекающихся множеств B1 , B2 , . . . , Bd ⊂N таких, что |B1 | = |B2 | = . . . = |Bd | = n, и всех t ∈ (0, 1/10d ) справедливо неравенствоdYk=11 X√rikn!!∗ik ∈Bkno1d/2(t) > √min log (e/t), m .(2 d)dДоказательство. Так как множества B1 , B2 , .
. . , Bd ⊂ N попарно не пересекаются, то функции1 X√rik (t), k = 1, 2, . . . ,xk (t) :=nik ∈Bkнезависимы в совокупности. Для каждого k = 1, 2, . . . , d функция xk равноизмерима с функциейn1 X√ri (t),n i=1и, поэтому, из леммы 5.3.29 следует, что для всех t ∈ (0, 1/10d ) и достаточнобольших n 1n e ono11/21/2∗1/d1/d1/dxk t> min log,m> √ min log (e/t), m.2t1/d2 dПо лемме 5.3.30dY!∗(t) >xkk=1dYx∗kt1/d,k=1откудаdYk=1!∗xknod11/21/d√ min log (e/t), m(t) >2 dno1d/2√=min log (e/t), m .(2 d)d373Перейдем теперь к доказательству теоремы 5.3.28.Доказательство теоремы 5.3.28. Равносильность условий 1), 2) и 3) вытекает из теоремы 5.3.17 и замечания 5.3.26. Поэтому остается доказатьтолько равносильность условий 3) и 4).Предположим, что выполнено условие 2) теоремы.
Для произвольного n ∈ N, согласно теореме 5.3.19, найдем набор множеств B1 , B2 , . . . , Bd ,каждое мощности n, такой, что B1 × B2 × . . . × Bd ⊂ A. Тогда, с однойстороны, согласно условию 2) теоремы, 12 d!2YX1 X1 = CX .√rik 6 CX d/2nni ∈Bk, i ∈Bk=1kkXkkC другой стороны, так как A ⊂ 4d , то множества Bk не пересекаются, и,по следствию 5.3.31, для произвольного m ∈ N при достаточно большихn∈NdYk=11 X√riknik ∈Bk!!∗no1d/2min log (e/t), m χ(0,1/10d ) (t).(t) > √(2 d)dИспользуя свойство симметричности пространства X и предыдущие оценки, получим, что для всех m ∈ Nn od/2 e,m min logtXne o√ d 1d/2√dmin log6 (20 d) , m χ(0,1/10 ) (t)t(2 d)dX√ d6 (20 d) CX .Применяя теперь лемму 5.3.6 к функции ϕ(t) = log−d/2 (e/t), заключаем,что M0 (log−d/2 (e/t)) ⊂ X.
Так как M0 (log−d/2 (e/t)) = G2/d (см. § 5.3.2),импликация 3) ⇒ 4) доказана.374Предположим теперь, что имеет место вложение G2/d ⊂ X. Согласнолемме 5.3.2 для любого конечного множества U ⊂ A 21XXd6Ca2i1 i2 ...id .arsup p− 2 di1 i2 ...id i1 i2 ...id p>1(i1 ,i2 ,...,id )∈U(i1 ,i2 ,...,id )∈UpИз следствия 3.2.34 (равно как и из теоремы 3.3.8, см. пример 3.3.12) вытекает, что с некоторым C, зависящим только от α > 0,C −1 sup p−1/α kxkp 6 kxkExpLα 6 C sup p−1/α kxkp .p>1p>1Полагая здесь α = 2/d, из предыдущего неравенства и того, что G2/d ⊂ X,получаем X 6arii...iii...i1 2d1 2d(i1 ,i2 ,...,id )∈UX X6 Carii...iii...i12d12d(i1 ,i2 ,...,id )∈U 216CG2/dXa2i1 i2 ...id ,(5.46)(i1 ,i2 ,...,id )∈Uгде константа C зависит только от X и d. Далее с помощью стандартныхрассуждений, использующих полноту пространства X, получаем правоенеравенство из условия 3) теоремы.
Левое неравенство следует из второгонеравенства леммы 5.3.2, вложения X ⊂ L1 и предельного перехода посистеме конечных подмножеств U1 ⊂ U2 ⊂ . . . ⊂ Un ⊂ . . ., исчерпывающейA. Таким образом, эквивалентность 3) ⇔ 4) установлена.375ЗаключениеВ диссертационной работе разработаны новые методы и подходы к теорииэкстраполяции пространств и операторов. С использованием этих методов доказаны новые теоремы о представлении норм симметричных и других пространств, являющихся предельными для классических шкал типаЛебега, через некоторые функции от норм пространств основной шкалы.С помощью таких представлений получены экстраполяционный теоремыдля операторов, являющиеся обобщением классических экстраполяционных теорем Яно и Зигмунда.
Эти новые экстраполяционные теоремы применены к задаче о сходимости в симметричных пространствах классических ортогональных разложений.Задача экстраполяционного описания симметричных норм нашла интересные приложения к классической проблеме моментов и неравенствамХинчина, что также отражено в работе. В частности, автором получены новые условия определенности в классической проблеме моментов, по формеблизкие условию Крамера, а по точности близкие условию Карлемана.376Список литературы[1] Асташкин С.
В. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp пространств / С.В. Асташкин // Функцион. анализ и его прил. – 2003.– Т. 37. – No. 3. – C. 73–77.[2] Асташкин С. В. Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp пространств / С.В. Асташкин // Матем. сборник. – 2003. – Т. 194.– No. 6. – С.
23–42.[3] Асташкин С. В. О пространстве мультипликаторов, порожденном системой Радемахера / С.В. Асташкин // Матем. заметки. – 2004. –Т. 75. – No. 2. – P. 173–181.[4] Асташкин С. В. Экстраполяционные функторы на семействе шкал,порожденных вещественным методом интерполяции / С.В.
Асташкин// Сиб. матем. журн. – 2005. – Т. 46. – No. 2. – C. 264–289.[5] Асташкин С. В. Функции Радемахера в симметричных пространствах/ С.В. Асташкин // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2009. – Т. 32. – C. 3–161.[6] Асташкин С. В. Независимые функции и геометрия банаховых про-377странств / С.В.
Асташкин, Ф.А. Сукочев // УМН. – 2010. – Т. 65. –No. 6 (396). – С. 3–86.[7] Асташкин С. В. О некоторых свойствах хаоса Радемахера /С.В.Асташкин, Р.С. Суханов // Матем. заметки. – 2012.– Т. 91. – No. 5. –C. 654–666.[8] Асташкин С. В. Система Радемахера в функциональных пространствах / С.В. Асташкин. – М.: Физматлит, 2017. – 550 с.[9] Ахиезер Н.
И. Классическая проблема моментов / Н.И. Ахиезер. –М.: ГИ ФМЛ, 1961. – 312 с.[10] Балло М. Бесконечные пересечения пространств Lp / М. Балло, Е.М.Семенов // Тезисы докладов XV Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах (5-12 сентября 1990 г.). –Ульяновск: УГПИ, 1990. – С. 26.[11] Берг Й.
Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й.Лёфстрём. – М.: Мир, 1980. – 264 с.[12] Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для операторов / Е.И.Бережной, А.А. Перфильев // Функц. анализ и его прил. – 2000. –Т. 34. – No. 3. – C. 66–68.[13] Бережной Е. И. Простое доказательсво теоремы экстраполяции дляпространств Марцинкевича / Е.И. Бережной // Матем.
заметки. –2013. – Т. 93. – No. 6. – C. 939–943.[14] Бережной Е. И. Точная теорема экстраполяции для пространств Ло-378ренца / Е.И. Бережной // Сиб. матем. журн. – 2013. – Т. 54. – No. 3.– C. 520–535.[15] Бережной Е. И. Можно ли усилить экстраполяционную теорему Яно?/ Е.И. Бережной // Функц.
анализ и его прил. – 2015. – Т. 49. – No. 2.– C. 82–85.[16] Бухвалов А. В. Нормированные решетки / А.В. Бухвалов, А.И.Векслер, В.А. Гейлер // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. ВИНИТИ. – 1980. – Т. 18. – С. 125–184.[17] Бухвалов А. В. Банаховы решетки – некоторые банаховы аспектытеории /А.В. Бухвалов, А.И. Векслер, Г.Я. Лозановский // УМН.
–1979. – Т. 34. – No. 2 (206). – С. 137–183.[18] Голубов Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения /Б.И. Голубов, А.В. Ефимов, В.А. Скворцов. – М.: изд-во ЛКИ, 2008.– 352 с.[19] Гохберг И. Ц. К теории треугольных представлений несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. –1961. – Т. 137. – № 5. – С. 1034–1037.[20] Гохберг И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г.
Крейн. — М.: Наука, 1965.[21] Гохберг И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М.: Наука,1967.379[22] Дмитриев В. И. Основы теории интерполяции линейных операторов/ В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // в книге: Геометриялинейных пространств и теория операторов.
— Ярославль: издательство Ярославского государственного университета, 1977. – С. 31–74.[23] Дмитриев А. А. Об операторах слабого типа (1, 1) / А.А. Дмитриев,Е.М. Семенов // Сиб. матем. журн. – 1979. – Т. 20. – № 3. – C. 656–658.[24] Емельянов Е. Ф.
О коэффициентах Фурье функций, представимыхлакунарными рядами / Е.Ф. Емельянов, С.Ф. Лукомский // Дифференциальные уравнения и теория функций. – Саратов: СГУ, 1977. –Выпуск 7. – С. 112–134.[25] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 1 / А. Зигмунд. – М.: Мир,1965.[26] Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т. 2 / А.Зигмунд.
– М.: Мир,1965. – 538 с.[27] Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович,Г.П.Акилов. – С.-Пб.: Невский диалект, 2004. – 816 с.[28] Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды / Ж.П. Кахан. – М.:Мир, 1973. – 302 с.[29] Кашин Б. С. Ортогональные ряды. / Б.С.
Кашин, А.А. Саакян. – М.:АФЦ, 1999. – 550 с.[30] Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича /М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. – М.: Физматгиз, 1958. – 272с.380[31] Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова / М.Г. Крейн // Доклады Академии наук СССР. – 1944. – Т. 46.– No. 8. – С. 339–342.[32] Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М. Семенов. – М.: Наука, 1978.
– 400 с.[33] Козаченко Ю. В., Островский Е. И. Банаховы пространства случайных величин типа субгауссовских / Ю.В. Козаченко, Е.М. Островский // Теория вероятн. и матем. стат. (Киев). – 1985. – Т. 32. –C. 42–53.[34] Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
