Диссертация (1154386), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Следующиеусловия эквивалентны:1) Λ(ϕα ) ⊂ C;2) Λ(ϕα ) ⊂ D;3) α > −2.330Доказательство. Заметив, что функция ϕ(t) = log−1 (ee /t) log−2 (log ee /t)удовлетворяет условию теоремы 5.2.27 сq1 + 2 log−1 (p + e)g(s) =,(p + e) log(p + e)для α > −2 заключаем, чтоΛ(ϕα ) ⊂ Λ(ϕ) ⊂ C ⊂ D.Обратно, представив α в виде α = −2−β, β > 0, мы можем установить,что функцияx(t) = x∗ (t) = log(ee /t) log1+β/2 log(ee /t)принадлежит пространству Лоренца Λ(ϕα ). Действительно,Z1kxkΛ(ϕa ) log(ee /t) log1+β/2 (log ee /t) d log−1 (ee /t) logα (log ee /t) =0Z∞=−eu u1+β/2 d e−u u−2−β =1Z∞ −1−β/2u−2−β/2+ (2 + β)udu < ∞.1Поэтому справедливы вложения M(1/x) ⊂ Λ(ϕ).
Кроме того, так какZ101 dt=x(t) tZ10dtt log(ee /t) log1+β/2 log(ee /t)< ∞,фундаментальная функция 1/x пространства Марцинкевича M(1/x) неудовлетворяет условию 5) теоремы 5.2.21. Как следствие мы видим, чтов случае α < −2 пространство Λ(ϕα ) содержит функцию, для которойпроблема моментов неопределенная.Замечание 5.2.29. Из доказательства следствия 5.2.28 следует вложениеΛ(ϕ) ⊂ C, где ϕ(t) = log−1 (ee /t) log−2 (log ee /t). Следует отметить, что этот331результат не следует из теоремы 5.2.21, так как не существует пространстваМарцинкевича M(ψ), для которого Λ(ϕ) ⊂ M(ψ) ⊂ D.
Действительно,если Λ(ϕ) ⊂ M(ψ), то ψ(t) 6 Cϕ(t) с некотрой константой C > 0, независящей от t ∈ [0, 1]. Следовательно,Z1dtψ(t) 6 Ct0Z1log−1 (ee /t) log−2 (log ee /t)dt< ∞,t0и объединяя это с теоремой 5.2.21 заключаем, что существует x ∈ M(ψ)\D.Таким образом теорема 5.2.27 дает новые примеры симметричных пространств, вложенных в классы C и D.Перейдем теперь к проблеме моментов Стилтьеса, в которой рассматривают неотрицательные случайный величины.
Так как мы формулируем условия определенности проблемы моментов в терминах симметричныхпространств, нам удобнее вместо неотрицательных функций (случайныхвеличин) рассматривать произвольные функции, но соответствующие условия формулировать для их модулей.Будем говорить, что проблема моментов Стилтьеса определенная дляданной функции x ∈ E (или, короче, x ∈ D+ ), если из условий y ∈ E иZ10|y(t)|n dt =Z1|x(t)|n dt,для всех n ∈ N,0следует, что распределения у |x| и |y| совпадают, т.е.µ{t ∈ [0, 1] : |x(t)| > τ } = µ{t ∈ [0, 1] : |y(t)| > τ }для всех τ ∈ R+ .Если же такого свойства нет, то говорят, что проблема моментов Стилтьеса неопределенная.
Например, если x стандартная гауссовская случайная332величина, то x, x2 , x3 , x4 ∈ D+ , но x5 ∈ E\D+ [206, раздел 11.1]. Ясно также, что если для неотрицательной функции проблема моментов Гамбургераопределенная, то проблема моментов Стилтьеса также будет определенной.Для строго положительной функции верно и обратное утверждение [145,Теорема A].Класс функций x ∈ E, удовлетворяющих следующему условиюqp∈NZ∞1X= ∞, или, равносильно,kxkp1dpq= ∞,kxkp(5.26)будем обозначать через C+ .
Известно, что C+ ⊂ D+ . Условие (5.26) также, как и в случае проблемы моментов Гамбургера, называют условиемКарлемана.Используя условия (5.26) и (5.10), аналогично теоремам о вложениях вклассы C и D, получаем следующие утверждения.Теорема 5.2.30. Пусть ϕ ∈ ∆2 . Каждое из следующих вложений1) M(ϕ) ⊂ C+ , 2) M(ϕ) ⊂ D+ , 3) M0 (ϕ) ⊂ C+ , 4) M0 (ϕ) ⊂ D+ ,эквивалентно условию5)Z1 pdtϕ(t) = ∞.t0Теорема 5.2.31. Если функция Орлича M (u) удовлетворяет условию(5.24), то каждое из следующих вложений1) LM ⊂ C+ , 2) LM ⊂ D+ , 3) L0M ⊂ C+ ,4) L0M ⊂ D+ , 5) L̃M ⊂ C+ , 6) L̃M ⊂ D+ ,равносильно условию3337)Z∞M 0 (u) du√ = ∞.M (u) u(5.27)1Следствие 5.2.32.
Пусть α > 0, γi ∈ R и при достаточно больших uM (u) = exp (uα (log u)γ1 (log log u)γ2 . . . (log . . . log u)γn ) .Вложение LM ⊂ D+ имеет место тогда и только тогда, когда{α > 1/2} ∨ {α = 1/2, γ1 > −1} ∨ {α = 1/2, γ1 = −1, γ2 > −1}∨· · · ∨ {α = 1/2, γ1 = γ2 = · · · = γk−1 = −1, γk > −1}∨· · · ∨ {α = 1/2, γ1 = γ2 = · · · = γn−1 = −1, γn > −1}.5.2.8Новые условия единственности в проблеме моментовВ этом разделе мы переформулируем результаты предыдущего параграфана вероятностном языке с целью дать явные правила для проверки определенности в проблемах моментов Гамбургера и Стилтьеса по заданнойфункции распределения. Следующая теорема вытекает из теоремы 5.2.21.Теорема 5.2.33.
i) Пусть F и G — функции распределения, M ∈ ∆2 ,выполнено (5.25), и для некоторого ε > 0Z+∞M (ε|x|) dF (x) < ∞.(5.28)−∞Тогда из равенствZ+∞Z+∞xn dF (x) =xn dG(x) для всех натуральных n−∞−∞334(5.29)следует F (x) = G(x) для всех x ∈ R.ii) Пусть M ∈ ∆2 , но условие (5.25) не выполнено. Тогда существуютфункции распределения F и G, для которых выполнены условия (5.28) и(5.29), но F 6≡ G.Следствие 5.2.34. Пусть X — случайная величина на произвольном вероятностном пространстве {Ω, F, P}, F — ее функция распределения.Если для некоторого ε > 0, некоторого натурального n и всех достаточно больших C > 0Z+∞ (−∞)exp ε|x| log−1 (|x| + C) .
. . log−1 log · · · log (|x| + C) dF (x) < ∞,|{z}n(5.30)то для случайной величины X имеет место единственность в проблемемоментов Гамбургера.Условие (5.30) похоже на условие Крамера (которое получается еслиубрать логарифмы, т.е. в случае n = 0), но, очевидно, имеет большуюобласть применимости. Аналогичные условия имеют место для проблемымоментов Стилтьеса.Теорема 5.2.35. i) Пусть F и G — функции распределения на [0, +∞),M ∈ ∆2 , выполнено (5.27), и для некоторого ε > 0Z+∞M (εx) dF (x) < ∞.(5.31)0Тогда из равенствZ+∞Z+∞xn dF (x) =xn dG(x) для всех натуральных n00335(5.32)следует F (x) = G(x) для всех x ∈ R.ii) Пусть M ∈ ∆2 , но условие (5.27) не выполнено. Тогда существуютфункции распределения F и G на [0, +∞), для которых выполнены условия(5.31) и (5.32), но F 6≡ G.Следствие 5.2.36.
Пусть X — неотрицательная случайная величина напроизвольном вероятностном пространстве {Ω, F, P}, F — ее функцияраспределения. Если для некоторого ε > 0, некоторого натурального n ивсех достаточно больших C > 0)Z+∞ (√exp ε x log−1 (x + C) . . . log−1 log · · · log (x + C) dF (x) < ∞,|{z}n0то для случайной величины X имеет место единственность в проблемемоментов Стилтьеса.3365.3Хаосы Радемахера в симметричных пространствахХорошо известно, что системы стохастически независимых функций играют большую роль в изучении геометрии банаховых пространств (см.,например, обзор [6]).
Еще больше возможностей доставляют системы произведений таких функций, так называемые хаосы, идеи которых появились в работе Н. Винера [212]. Хаосы Радемахера, т.е системы произведений независимых бернуллиевских симметрично распределенных случайных величин, с точки зрения их поведения в симметричных пространствахрассматривались С.В. Асташкиным [5, 8, 101, 102]. В настоящем параграфе исследуются свойства разреженного хаоса Радемахера, комбинаторнаяразмерность α которого меньше или равна его порядку d. Доказано, чтобезусловность такого хаоса в симметричном пространстве X гарантируетего эквивалентность в X каноническому базису `2 , или, другими словами,выполнение неравенств Хинчина. В классе пространств Орлича последнее,в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда X ⊃ ExpL2/d .
Впредельном случае, когда α = d, применение одной известной теоремы Эрдеша о гиперграфах позволяет получить более сильное утверждение: длялюбого симметричного пространства X условие безусловности (и даже более слабое свойство RUD) разреженного хаоса Радемахера в X, выполнениенеравенств Хинчина в X, и вложение X ⊃ G2/d где G2/d — сепарабельнаячасть пространства Орлича ExpL2/d , оказываются эквивалентными.
Oтметим еще следующий результат, также полученный в настоящем разделе:хаос любого порядка, построенный по произвольной системе стохастическинезависимых симметрично распределенных функций, является базисной337последовательностью в любом симметричном пространстве, его содержащем.5.3.1Предварительные сведения о функциях и хаосахРадемахераКак обычно, функции Радемахера определяются следующим образом: если0 6 t 6 1, то rn (t) := sign(sin(2n πt)), n = 1, 2, . . .
Они независимы и симметрично распределены, образуя неполную ортонормированную последовательность на [0, 1]. Согласно классическому неравенству Хинчина [161],для любого p > 1 и произвольных ak ∈ R, k = 1, 2, . . . ,∞Xa k rk k=1Lp [0,1]∞√ X 2 1/26 pak.(5.33)k=1Это соотношение вызвало большое количество исследований и обобщений,нашло многочисленные применения в различных разделах анализа [5,8,86].В частности, по известной теореме Родина-Семенова [196, Theorem 6] последовательность {rn }∞n=1 эквивалентна в симметричном функциональномпространстве X каноническому базису в `2 тогда и только тогда, когдаX ⊃ G2 , где G2 — сепарабельная часть пространства Орлича ExpL2 , построенного по функции M (u) ∼ exp(u2 ). Отметим, что неравенство, противоположное неравенству (5.33), имеет место для каждого симметричногопространства на [0, 1], так как∞Xk=1Константа√a2k1/2∞√ Xak rk 6 2L1 [0,1]k=1∞X6 Cak rk .k=1X2 в последнем неравенстве является точной, это доказано Ша-реком [198].338Главным объектом изучения в настоящем разделе будут полилинейныеформы (или хаосы), построенные по системе Радемахера (относительноболее общих определений, относящихся к этому понятию см.
[164, глава 6]).Определение. Хаосом Радемахера порядка d ∈ N будем называть множество всех функций вида ri1 i2 ...id (t) := ri1 (t) · ri2 (t) · . . . · rid (t), где i1 > i2 >. . . > id > 1.Так, сама система {rn }∞n=1 является хаосом 1-го порядка. Кроме того,если к объединению хаосов Радемахера всех порядков добавить функциюr0 (t) ≡ 1, то мы получим классическую систему функций Уолша {wn }∞n=0 .Напомним ее определение: w0 (t) = r0 (t) ≡ 1 и, если n ∈ N представимоPв виде n = ki=0 εi 2i , где εk = 1 и εi = 0 или 1 при i = 0, 1, . . . , k − 1,εQто, следуя нумерации Пэли, wn (t) = ki=0 ri+1 (t) i .
Хорошо известно (см,например, [18, утверждения 1.1.5 и 2.6.3]), что последовательность {wn }∞n=0является полной ортонормированной системой на отрезке [0, 1].В работе [43] изучались вопросы, связанные с представлением непрерывных функций рядами по хаосам Радемахера. В частности, в этой работе автором совместно с Морозовой Т.А. и Сухановым Р.С. было доказаноследующее утверждение.Теорема 5.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
