Диссертация (1154386), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Это означает, что длялюбого E ⊂ Y такого, что |E| = n,|{x ∈ X : x × E ⊂ S}| 6 md−δ .(5.42)Обозначим Sx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ S}, и для каждой пары множеств (F, G)определим функциюχ(F, G) =1,если F ⊂ G0,если F 6⊂ G.Теперь неравенство (5.42) можно переписать в видеXχ(E, Sx ) 6 md−δ ,x∈Xоткуда, в силу произвольности E ⊂ Y , |E| = n,XXnχ(E, Sx ) 6 Cm· md−δ ,(5.43)E⊂Y,|E|=n x∈Xnгде Cm= m!/(n!(m − n)!).
С другой стороны, для произвольного G ⊂ YXnχ(E, G) = C|G|,E⊂Y,|E|=nи поэтомуXXχ(E, Sx ) =E⊂Y,|E|=n x∈XXXx∈X E⊂Y,|E|=nχ(E, Sx ) =XnC|S.x|x∈XCогласно лемме 5.3.20, существует множество X2 ⊂ X такое, что|X2 | >md−η,2и для каждого x ∈ X2 |Sx | >365m1−η.2(5.44)Следовательно,Xx∈XnC|Sx|>XnC|Sx|x∈X2md−ηn· Cb0,5m>1−η c >2md−η (0, 5m1−η − 1)(0, 5m1−η − 2) . . . (0, 5m1−η − n)>.2n!(5.45)Сравнивая (5.43), (5.44) и (5.45), приходим к неравенствуnCm· md−δ >md−η (0, 5m1−η − 1)(0, 5m1−η − 2) . . . (0, 5m1−η − n),2n!или, после элементарных преобразований,2m(m−1) .
. . (m−n+1) > mδ−η ·(0, 5m1−η −1)(0, 5m1−η −2) . . . (0, 5m1−η −n),которое при фиксированном n и достаточно больших m противоречит выбору η < δ/(n + 1). Таким образом, если m достаточно велико, множестваX1 и Bd+1 , о которых речь идет перед неравенством (5.42), существуют, и,следовательно, теорема доказана.Для формулировки упомянутой ранее теоремы Эрдеша нам понадобятся некоторые определения из теории графов.Определение 5.3.22. Гиперграфом называется упорядоченная пара G =(V, E), где V — произвольное множество, а E — произвольное подмножество 2V . При этом элементы V называются вершинами, а элементы E —ребрами.Определение 5.3.23.
Гиперграф называется r−графом, если все его ребра имеют одинаковую мощность r.Таким образом, 2−граф — это обычный граф без петель и кратныхребер.366Определение 5.3.24. Через Knr обозначим полный r−дольный гиперграфс долями объема n, т.е. r−граф, множество вершин V которого состоитиз r попарно непересекающихся групп V1 , V2 , . . . Vr по n вершин в каждойгруппе, а E = {(v1 , v2 , . . . , vr ) : v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , .
. . , vr ∈ Vr }.Следовательно, в Knr ровно nr вершин и nr ребер.Теорема 5.3.25. (Эрдеш, [136, теорема 1]) Для произвольных натуральных n, r и k > k0 (n, r) любой r−граф G = (V, E) с |V | = k и1|E| > k r− nr−1содержит подграф Knr .Доказательство теоремы 5.3.19. Множество A ⊂ Nd может быть рассмотрено как d−граф A = (VA , EA ) с бесконечным числом вершин:VA = N1 ∪ N2 ∪ . . .
∪ N d ,EA = {(n1 , n2 , . . . , nd ) : (n1 , n2 , . . . , nd ) ∈ A}.Если A имеет размерность d в смысле определения 5.3.4, то, согласно пункту 2) этого определения, для любого γ < d в A существует конечныйподграф G = (V, E) с |V | = dm и |E| > mγ . При этом m может бытьвыбрано как угодно большим. Для произвольного n ∈ N выберем теперьγ > d−1/nd−1 и такое достаточно большое m, чтобы для соответствующегоконечного подграфа G = (V, E) c |V | = dm выполнялись неравенства (k0из теоремы Эрдеша)dm > k0 (n, d),1|E| > mγ > (dm)d− nd−1 .Применяя к G = (V, E) ⊂ A = (VA , EA ) теорему Эрдеша, приходим кзаключению, что в G существует подграф Knd ⊂ G ⊂ A. Обращая терминологию, получаем множества B1 , B2 , . .
. , Bd (доли гиперграфа Knd ) изтеоремы 5.3.19.367Замечание 5.3.26. Ecли в определении 5.3.4 свойство 2) заменить на следующее, формально более сильное условие2∗ ) для любого γ < α существует k ∈ N такое, что для всех m > k найдутсямножества A1 , A2 , . . . , Ad ⊂ N, |A1 | = |A2 | = . . . = |Ad | = m, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > mγ ,то каждое множество A, обладающее комбинаторной размерностью α вэтом новом, более сильном смысле, будет также и (α−ε, α+ε)-множествомсогласно определению 5.3.16. Результат теоремы 5.3.19 показывает, однако,что в случае α = d выполнение одного только свойства 2) из определения5.3.4 достаточно, чтобы A было (α, α)-множеством (и тем более (α − ε, α +ε)-множеством для любого ε > 0).Замечание 5.3.27.
В работе [114] используется несколько иное, болеестрогое, определение комбинаторной размерности. А именно, множествоA ⊂ Nd имеет комбинаторную размерность α, если существуют N0 , C > 0и c > 0 такие, что10 ) из условий Ai ⊂ N, |Ai | = m, i = 1, 2, . . . , d, следует, что|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| 6 Cmα ;20 ) для всех N > N0|A ∩ {1, 2, . . . , N }d | > cN α .В контексте определения 5.3.4 свойство 20 ) естественно модифицировать,заменив его следующим:200 ) для любого k ∈ N найдутся множества Ai ⊂ N, |Ai | = m > k, i =1, 2, .
. . , d, для которых|A ∩ (A1 × A2 × . . . × Ad )| > cmα .368Если α — комбинаторная размерность множества A ⊂ Nd в этом смысле(т.е. когда выполнены свойства 10 ) и 200 )), то, как нетрудно видеть, такуюже размерность A имеет и согласно определению 5.3.4. В то же время прилюбом α ∈ [1, d) существует множество размерности α в смысле определения 5.3.4, которое не обладает свойством 10 ) (см. [113, стр. 486, формула(6.22)] или [115, теорема 2.3]).
В работе [116] (см. также ( [117, пункт 6.1])рассматриваются множества, имеющие размерность α ∈ (1, d] в смыслеопределения 5.3.4, но без свойства 200 ) (правда, без доказательства их существования). Заметим однако, что при α = d, как следует из теоремы5.3.19, эти определения эквивалентны. Стоит отметить также, что в работах [115, теорема 5.4] и [116, теорема 4.4] для множеств A произвольнойразмерности α доказан результат, близкий равносильности 3) ⇔ 4) теоремы 5.3.28 настоящей работы, но только в случае, когда симметричноепространство X принадлежит некоторому классу пространств Орлича.В следующем параграфе будут рассматриваться подсистемы хаоса Радемахера порядка d, индексированные множеством A размерности d. Размерность при этом будет пониматься в cмысле определения 5.3.4.
В нашихрассуждениях, однако, ключевым является результат теоремы 5.3.19, т.е.возможность выбрать для каждого n такой набор множеств B1 , B2 , . . . , Bd ,что |B1 | = |B2 | = · · · = |Bd | = n и B1 × B2 × . . . × Bd ⊂ A.5.3.6Критерий безусловности плотного хаоса РадемахераНапомним, что ri1 i2 ...id (t) := ri1 (t)ri2 (t) . . . rid (t), 0 6 t 6 1, где ri (t) —функции Радемахера.369Функции Радемахера образуют 1-безусловную последовательность в любом симметричном пространстве X.
Что касается эквивалентности последовательности {ri }∞i=1 в X каноническому базису в `2 , то, как уже говорилось в разделе 5.3.1, необходимое и достаточное условие для этого — вложение X ⊃ G2 , где G2 — сепарабельная часть пространства Орлича ExpL2 ,построенного по функции M (u) ∼ exp(u2 ). Следующая теорема дает критерий безусловности хаоса Радемахера, размерность которого равна егопорядку d > 2. С одной стороны, она показывает, что в случае хаоса соотношение между рассматриваемыми свойствами совершенно иное: хаос Радемахера безусловен в симметричном пространстве X тогда и только тогда,когда он эквивалентен в X каноническому базису в `2 .
С другой стороны,необходимое и достаточное условие для этого выражается опять в терминахвложений относительно пространств семейства Gα (к которому принадлежит G2 ). По этой причине эквивалентность 3) ⇔ 4) в следующей теоремеможно рассматривать как распространение теоремы Родина-Семенова (см.Введение, а также [196]) на случай разреженных хаосов Радемахера.Теорема 5.3.28. Пусть X — симметричное пространство, d ∈ N, d > 2,и множество A ⊂ 4d имеет размерность d. Следующие условия эквивалентны1) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — безусловная базисная последовательность в X;2) {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A — RUD последовательность в X;3) последовательность {ri1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A эквивалентна в X стандартному базису `2 , т.е. для некоторой константы CXX−1 arCX{ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 (A) 6 i1 i2 ...id i1 i2 ...id (i1 ,i2 ,...,id )∈A X6 CX {ai1 i2 ...id }(i1 ,i2 ,...,id )∈A `2 (A) ;3704) X ⊃ G2/d , где G2/d — сепарабельная часть пространства ОрличаExpL2/d , построенного по функции Орлича M (u) ∼ exp(u2/d ).Для доказательства теоремы нам понадобится несколько вспомогательных утверждений.Лемма 5.3.29.
Для любого m ∈ N существует n ∈ N такое, что!∗nnoX111/2√rk (t) > min log (e/t), m2nk=1для всех t ∈ (0, 1/10).Доказательство. Используя интегральную предельную теорему МуавраЛапласа получим, что равномерно по всем x > 0()Z∞n 1 X22n→∞µ t ∈ [0, 1] : √rk (t) > x −→ √e−u /2 du. n2πk=1Так какZ∞2e−u/2xZ2xdu >x2e−u/22du > xe−2x ,xто при x > 1)n 1 X2rk (t) > x > e−2x − εn ,µ t ∈ [0, 1] : √ n(k=12где εn → 0 при n → ∞ и не зависит от x. Поэтому при t = e−2x − εn 6e−2 − εnn1 X√rknk=1!∗1(t) > x = √ log1/221t + εn.Так как εn → 0, то при достаточно больших n (таких, что εn < 1/100)справедливость этого неравенства устанавливается для всех t ∈ (0, 1/10) ⊂371(0, e−2 − 1/100). Кроме того, на любом интервале (t0 , 1/10), t0 > 0, придостаточно больших n будет выполняться неравенство√ 11131/21/2 11/2 e√ log> √ log> log,t + εnt2t22 2так как log(1/t) > 2/3 log(e/t) при t ∈ (0, e−2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
