Диссертация (1154386), страница 14
Текст из файла (страница 14)
F-экстраполяционное пространство X сепарабельно тогда и только тогда, когдаX = LF ,где F удовлетворяет условиюf ∈ F ⇒ lim f · χ[N,∞) F = 0.(A∞ )N →∞Доказательство. Сепарабельность пространства X равносильна условиюX = X 0,или, в силу теоремы 3.1.13, условиюX = LF0 ,где F0 — пространство из формулировки теоремы, которое, очевидно, условию (A∞ ) удовлетворяет.Замечание 3.1.16. Для сепарабельного пространства равенствоX = LF1может выполняться и с параметром F1 , для которого условие (A∞ ) не выполнено. В качестве примера рассмотрим пространство F = L∞ (2−p ) и дваего подпространства∞o[F1 = f ∈ F : lim f · χD∩[N,∞) F = 0 , где D =[2n, 2n + 1),nN →∞n=1и F0 , определенное как в теореме 3.1.13.
ТогдаLF1 = LF0 .104Чтобы это показать, введем для удобства обозначения:DN = D ∩ [N, ∞) и GN = [N, ∞)\D.Пустьξ = ξ(p) = kxkp ∈ F1 .Посколькуsup 2−p ξ(p) = maxp>Nsup 2−p ξ(p), sup 2−p ξ(p)p∈DN6 maxp∈GNsup 2−p ξ(p), 2 sup 2−p−1 ξ(p + 1)p∈DN6 2 sup 2−p ξ(p),p∈GNp∈DNто ξ ∈ F0 . Обратное очевидно.
По теореме 3.1.15 пространство LF1 сепарабельно. Однако F1 не удовлетворяет условию (A∞ ).Теорема 3.1.15 говорит о том, что параметр экстраполяции можно поменять на другой (не изменяя само экстраполяционное пространство E),который уже будет удовлетворять условию (A∞ ).3.1.3Критерий максимальности пространств F-методаПерейдем к вопросу о максимальности. Известно, что равенствоX = X 00для банахова идеального пространства X имеет место тогда и только тогда,когда в X выполнено условие монотонной полноты нормы [17, теорема1.4] (для симметричных пространств на отрезке [0, 1] нужное утверждениеполучается также из [197, Theorem 8.2.2] и [5, лемма 3.3]):0 6 xn ∈ X, xn ↑ x и sup kxn kX < ∞ ⇒ x ∈ X.n105(B)Мы будем рассматривать близкое условие на параметр экстраполяции F :f · χ[1,N ] ∈ F и sup f · χ[1,N ] F < ∞ ⇒ f ∈ F.(B∞ )NЗапись X ∈ (B) будет означать, что норма в X монотонно полна.
Аналогично, будем писать F ∈ (B∞ ), если F удовлетворяет условию (B∞ ).Лемма 3.1.17. Если F ∈ (B∞ ), то X = LF ∈ (B).Доказательство. Пусть0 6 xn ↑ и sup kxn kX < C < ∞.nТак какX ⊂ Lp ,то для каждого 1 6 p < ∞sup kxn kp < ∞.nВ силу порядковой непрерывности и монотонной полноты нормы в Lp , найдется функция x = x(t) такая, чтоxn ↑ x и kx − xn kp → 0 для всех p.Рассмотрим последовательность функцийϕn = ϕn (p) =kxn kp.kxkpПоследовательность ϕn сходится к тождественной единице на [1, ∞), причем на каждом отрезке [1, N ] равномерно (по признаку Дини). Следовательно, найдется n0 = n0 (N ), для которогоϕn0 (p) >1для всех p ∈ [1, N ].2106Поэтомуkxkp · χ[1,N ] < 2kxn0 kp · χ[1,N ] < 2C,FFоткуда, так как по условию F ∈ (B∞ ),ξ = ξ(p) = kxkp ∈ F,или, равносильно, x ∈ LF .Лемма 3.1.18.
Пусть X = LF ∈ (B). Если измеримая функция x = x(t)такова, чтоξN = ξN (p) = kxkp · χ[1,N ] ∈ Fдля всех N ∈ [1, ∞), иsup kξN kF < ∞,Nто x ∈ X.Доказательство. Разберем сначала случай X 6= L∞ . Рассмотрим срезкифункции x:xM = xM (t) = |x(t)| · χ{s:|x(s)|<M } (t).Тогда M kxk6kxk·χ+Mχ[1,N ] [N,∞) F .ppFFУстремляя N к бесконечности и пользуясь леммой 3.1.11, будем иметьkxM kLF 6 sup kξN kF < ∞.NОткуда, так как xM ↑ |x| и X ∈ (B), заключаем, что x ∈ X.Пусть теперь X = L∞ .
Будем рассуждать от противного. Допустим,x 6∈ X. Тогдаkxkp → ∞ при p → ∞.107Поэтому найдется возрастающая последовательность pi , для которой∞Xi=11< ∞.kxkpiНо тогда∞Xχ[p ,∞) 6kFi=k∞X11 · sup kξN kF → 0kxkp · χ[pi ,pi+1 ) 6Fkxkpikxkpi Ni=kпри k → ∞, что противоречит лемме 3.1.12.Лемма 3.1.19. Пусть F — банахово идеальное пространство на [1, ∞).Тогда множествоF1 =f = f (p) : sup f · χ[1,N ] F < ∞Nс нормойkf kF1 = sup f · χ[1,N ] FNтакже является банаховым идеальным пространством на [1, ∞). Крометого, F1 ∈ (B∞ ).Доказательство.
Линейность F1 и свойства нормы очевидны. Для доказательста полноты воспользуемся критерием Абрамовича [27, c. 151]: нормированное идеальное пространство X полно тогда и только тогда, когдаиз условийxn > 0, xn · xm = 0 при n 6= m и∞Xkxn kX < ∞n=1вытекает, что∞Xxn ∈ X,n=1где сумма понимается в смысле сходимости почти всюду.108Пусть fn > 0, носители fn попарно дизъюнктны и∞Xkfn kF1 < C < ∞.n=1Тогда для всех N∞Xfn · χ[1,N ] < C.Fn=1В силу полноты FfN=∞Xfn · χ[1,N ] ∈ F и kf N kF < C.n=1Тогда для функцииf=∞Xfnn=1будем иметь: f · χ[1,N ] = f N < C.FFСогласно определению F1 , функция f ∈ F1 .
Выполнение условия (B∞ )очевидно.Замечание 3.1.20. Для пространства F1 из леммы 3.1.19 будет выполняться также следующий аналог свойства порядковой полунепрерывностинормы:f ∈ F1 ⇒ f · χ[1,N ] F1 → kf kF1(C∞ )Теорема 3.1.21. Экстраполяционное пространство X максимально тогда и только тогда, когдаX = LFдля некоторого F ∈ (B∞ ).109Доказательство. В одну сторону утверждение немедленно следует из леммы 3.1.17. Пусть теперь X ∈ (B). Рассмотрим пространство F1 из леммы3.1.19 Очевидно, F ⊂ F1 . ПоэтомуX ⊂ LF1 .Покажем, что на самом делеX = LF1 .Если x ∈ LF1 , то для функцииξN = ξN (p) = kxkp · χ[1,N ]имеемsup kξN kF 6 kxkp < ∞.F1NПоэтому для x выполнены условия леммы 3.1.18, и, следовательно, x ∈ X.Теперь достаточно заменить параметр F на F1 , чтобы убедиться в справедливости теоремы.1103.2Сильно экстраполяционные пространстваВ этом разделе будет введен интересный класс симметричных пространств,который может получен с помощью F-метода при некотором специальномвыборе параметра экстраполяции F , явно и просто определяемом исходнымсимметричным пространством.
Этот класс, хотя и является некоторым специальным случаем случаем пространств F-метода, покрывает многие известные пространства с экстраполяционным описанием и уже нашел применения в различных вопросах анализа (см. разделы 5.1.2, 5.2 и 5.3 далее).Пространства рассматриваемого класса, которые мы называем сильно экстраполяционными, были введены автором в работе [39] и частично изученыв кандидатской диссертации [51]. Дальнейшее развитие теории сильно экстраполяционных пространств представлено в работах [42, 44, 170, 172]. Внастоящем разделе будет представлена характеризация таких пространствкак с помощью их внутренних свойств (ограниченность некоторого просто устроенного оператора в таких пространствах), так и в терминах соответствующих этим пространствам экстраполяционных и интерполяционных параметров. Часть результатов, представленных здесь, опубликованав упомянутых выше работах, написанных в соавторстве с АсташкинымСергеем Владимировичем.
Однако из этих статей мы взяли в основномтолько результаты, которые получены автором настоящей работы. Исключением являются результаты об эквивалентности для K-функционала ирезультаты раздела 5.1.2 о пространстве мультипликаторов, которые получены Асташкиным С.В. Для полноты изложения последний результаттакже приводится с доказательством с любезного разрешения АсташкинаС.В.1113.2.1Характеризация сильно экстраполяционных пространствВ статье [39] автором был введен один специальный подкласс введенного выше класса EF симметричных пространств.
Чтобы мотивировать соответствующее определение, приведем некоторые предварительные соображения. Для каждого симметричного пространства X на [0, 1] через X̃обозначим банахову решетку всех измеримых на (1, ∞) функций f таких,что f (log(e/t)) ∈ X иkf kX̃ := kf log(e/t) kX .Пусть теперь X — произвольное симметричное пространство на [0, 1], x∗— перестановка функции x ∈ X. Положим для произвольного p ∈ (1, +∞)η(p) = x∗ χ[e−p ,e−p+1 ) p .(3.5)x∗ (e−p+1 ) 6 eη(p) 6 ex∗ (e−p ).(3.6)ТогдаИмеет место эквивалентностьkxkX kηkX̃ ,(3.7)где функция η = η(p) определена в (3.5). Действительно,kηkX̃ = kη(log e/t)kX ,и, учитывая (3.6), имеемkx∗ (t)kX 6 e kηkX̃ 6 e kx∗ (t/e)kX .112(3.8)Так как оператор растяжения σe ограничен в любом симметричном пространстве, тоkx∗ (t/e)kX 6 kσe kX→X · kx∗ (t)kX .Из последнего неравенства и (3.8) получаем (3.7).Замечание 3.2.1.
Если положитьη(p) = x∗ χ[Ac−p ,Bc−p ] pс произвольными B > A > 0, c > 1, то и в этом случае (3.7) будет выполняться.Конструкция, участвующая в правой части соотношения (3.7), напоминает конструкцию пространств LF . Очевидно, что всегда имеет местовложениеLX̃ ⊂ X.Интересно, что во многих важных случаях имеет место равенство LX̃ = X.Так, соотношение (2.6) и равенство ExpLβ = M(log−1/β (e/t)) показываютчто для X = ExpLβ имеет равенство LX̃ = X выполняется:kxkX sup x∗ (t) log−1/β (e/t) = sup kxkp p−1/β kkxkp kX̃ .t∈(0,1)p∈(1,∞)Введем теперь основное понятие этого раздела, которое будет такжеактивно использоваться и в четвертой главе.Определение 3.2.2.
Будем говорить, что симметричное пространство Xсильно экстраполяционно по отношению к шкале пространств Lp (X ∈SE), если X = LX̃ (с эквивалентностью норм).113По определению LF = F({Lp }p>1 ); таким образом, для X ∈ SE соответствующий экстраполяционный параметр F ясным образом определяетсясамим пространством X. Точнее, норма каждой функции в любом сильноэкстраполяционном симметричном пространстве X эквивалентна норме вX функции t ∈ [0, 1] 7→ kxklog(e/t) , т.е. kxkX kxklog(e/t) X .Отметим, что класс SE достаточно широк.
В частности, как мы толькочто видели, все пространства Зигмунда Exp Lβ , β > 0, принадлежат классуSE. Кроме того, применяя следствие 2.2.4, можно установить такой жерезультат для экспоненциальных пространств Орлича Exp LN в случае,если N является функцией Орлича. Далее, пространство МарцинкевичаM(ϕ) ∈ SE (соответственно пространство Лоренца Λ(ϕ)) принадлежитклассу SE тогда и только тогда, когда ϕ(t) ϕ(t2 ) [44, теорема 2.10].В [170] (см. также [44]), с помощью оператора S2 x(t) = x(t2 ) и следующего обобщения идеи Яверса и Мильмана умеренного веса, найденахарактеризация сильно экстраполяционных пространств.Определение 3.2.3.
Идеальное пространство F на [1, ∞) называется умеренным, если оператор Df (p) := f (2p) ограничен в F .В контексте F-метода экстраполяции мы будем говорить об умеренном параметре экстраполяции. Свойство умеренности отвечает за устойчивость F-метода по отношению к смене интерполяционной шкалы, чтопоясняется следующей теоремой.Теорема 3.2.4. Для любого умеренного параметра экстраполяции F илюбых двух измеримых функций q1 = q1 (p) и q2 = q2 (p) таких, что qi (p) ∈[1, ∞] при всех i ∈ {0, 1} и p ∈ [1, ∞), справедливоkxkp, q1 (p) kxkp, q2 (p) .FF114В терминах F-метода это означает, чтоF ({Lp,q1 }) = F ({Lp,q2 }) .Доказательство. Из вложений Lp,1 ⊂ Lp,q ⊂ Lp,∞ с единичными константами следует, чтоkxkp, ∞ 6 kxkp, q1 (p) 6 kxkp, 1 .FFFЗначит, нам достаточно только доказать неравенствоkxkp, 1 6 kxkp, ∞ .FFGри q = 2p из неравенства kxkp, ∞ 6 1 следует, что1x∗ (t) 6 t− 1qsq· sup0<s61 sZs1x∗ (u) du 6 t− 2p ,0откудаZ1kxkp,1 611t− 2p dt p = 2.0Поэтому kxkp,1 6 2kxk2p,∞ , и, используя свойство умеренности, получаемkxkp, 1 6 2kxk2p, ∞ 6 C kxkp, ∞ .FFFСледует отметить, что в одном частном случае, отличном от случаяпeресечения ∆, подробно рассмотренного Яверсом и Мильманом в работах[151, 152, 181], а именно, когда решетка F является пространством L1 (ω),утверждение теоремы 3.2.4 появилось в работе [10] (без доказательства).Следующая теорема характеризует сильно экстраполяционные пространства с различных точек зрения.115Теорема 3.2.5.
Для любого симметричного пространства X на [0, 1] следующие условия эквивалентны:(1) X ∈ SE;(2) оператор Sx(t) = x(t2 ) ограничен в X;(3) X = LF с некоторым умеренным параметром экстраполяции F ;(4) с константами, не зависящими от x ∈ X и t > 0 выполняется соотношениеK(t, x; X, L∞ ) K(t, kxklog(e/·) ; X, L∞ ),где kxklog(e/s) обозначает Lp -норму функции x с p = log(e/s), s ∈ (0, 1];(5) существуют 1 6 p 6= q < ∞ и банахово идеальное пространство G на[0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такие, чтоKX = (Lp , L∞ )KG = (Lq , L∞ )G ;(6) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такое, что для каждого p > 1X = (Lp , L∞ )KG;(7) существует банахово идеальное пространство G на [0, ∞), промежуточное между L∞ и L∞ (1/t) такое, что оператор T f (t) := f (t2 )/t ограничен в G иX = (L1 , L∞ )KG;(8) с константами, не зависящими от x, имеет место следующая эквивалентность (дискретный вариант экстраполяционного соотношения)∞XkxkX kxkk χ(e−k ,e−k+1 ] ;Xk=1116(9) для некоторого C > 0 и всех x ∈ X∞X∗kx χ(e−2k ,e−2k+1 ) kk χ(e−k ,e−k+1 ) 6 CkxkX ;Xk=1(10) для любого q ∈ [1, ∞]kxkX kxklog e/t, q X ,где через kxklog e/t, q обозначена норма функции x в пространстве Lp,q приp = log e/t, и эта Lp,q -норма рассматривается как функция от t;(11) существует такое q ∈ [1, ∞], чтоkxkX kxklog e/t, q X .Для доказательства теоремы 3.2.5 и некоторых утверждений далее нампотребуется следующая лемма.Лемма 3.2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
