Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 21
Текст из файла (страница 21)
!Л„Ь 1 Расширение вещественном квадратичной формы до эрмнтовой. Всякая вещественная квадратичная форма н С(х) = ~ дсахьхь сь=! может быть расширена до эрмитовой следующим образом: н н С(в) = Вв ~ дььу!еь = Ве ~~! д!ьзгзь. сь=! сь=! По определению эрмитова форма С(а) должна принимать те же значения, что и вещественная квадратичная форма С(х), если з; (!' = = 1,2, ..., и) принимает вещественные значения: з; = х;.
Например, вещественным квадратичным формам С!(х) = х!хз, Сз(х) = х~! — х!ха+ х~~, Сз(х) = х!(хз — 2х!) соответствуют следующие расширенные до эрмитовых формы: О!(а) = Вяу!зт, Сз(в) = 1!з!~ — Ва(2!зз)'+ Ц, !лз(в) = Вя(з!(зз — 2е!)) Если заданы два вещественных вектора х01 и х1з), то вещественные квадратичные формы от этих двух векторов !л(х1!1, х1з)) определяются как вещественные квадратичные формы от векторного переменного х = ~х1'11 =~ „,1, . Если заданы два комплексных вектора ярд и г1з), то эрмитовы формы от этих векторных переменных !л(в10,в(т)) определяются как Гв(!1Ч эрмитовы формы от векторного переменного а = ~, ~.
Аналогично 1в з ~ определяются вещественные квадратичные формы ~ эрмитовы формы от трех и более векторных переменных. Локальная связь. Минимальная устойчивость. Рассмотрим многомерную систему, которая описывается уравнением х =Ах+Вы, и= 1(с), с=Си, хб Я", с ЕЯ"', ме. В", (5.9а) или у= ьУ,(р)н, и= г"(С), С = -у„ (5.9б) б.2.
Квадратичный критерий абсолютной устойчивости 123 где Иг,(р) = С(1р — А) г — (гн х г)-матричная передаточная функция. Система содержит т нелинейностей Щ) — г-мерная векторная функция). Переменные с и «являются векторными функциями времени: ~ = ~(Ф), « = Г(ф(8)) = «(1). Пусть задана вещественная квадратичная форма Г(С, «, й), и множество нелинейных звеньев задается условием Р®1), 4(1), «(1)) > 0 Чг > О. (5.10) В квадратичной форме Г(с, с, «) переменные с, с, «рассматриваются как независимые. В частном случае какие-либо переменные в квадратичную форму могут не входить. Тогда соответствующие переменные будем опускать. Соотношение (5.10) называют локальной связью.
Определение 5.2. Если выполняется условие (5.10), то говорят, что функции с(1) и «(1) удовлетворяет локальной связи с формой Р(с,с,«). Локальную связь (5.10) также будем записывать в виде .РЯ,с,«) > 0 или РЯ,с,Щ > О. Определение 5 3. Система (5 9а) или (59б) назььвается минимально устойчивой в заданном классе нелинейностей (нелинейных звеньев), если она асимлтотически устойчива в целом при какой- либо нелинейности Г(С)из указанного класса. Рассмотрим локальную связь Р(с, и) = ()ус — и)(и — ас) > 0 в случае одномерной системы, т.е. при 1 = т = 1. Как было показано, эта локальная связь определяет тот же класс нелинейных звеньев, что и соотношение (5.7а).
Этому классу нелинейных звеньев принадлежат линейные звенья и=% а<~<Р. Поэтому если система сравнения у = )б'.(Р)и и = Ж 4 = -у устойчива при каком-нибудь 7 Е [а,,д), то нелинейная система (5.9б) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, определяемых локальной связью (5.7а). Нелинейность, при которой будет устанавливаться минимальная устойчивость, будем называть нелинейностью сравнения, а саму систему при этой нелинейности — системой сравнения. Квадратичный критерий. Для формулировки квадратичного критерия потребуется следующее преобразование квадратичной формы, определяющей локальную связь: Тл. б.
Абсолютная стойчиеость 124 1) квадратичная форма Г(с,с, н) расширяется до эрмитовой формы заменой переменных (, ~, н их изображениями С(з)26(з), У; 2) производится постановка ~(з) = -Ю„(з)У и тй(з) = -зЩз)У: Г(з, У) = Г( — гг'(з)У, — зй'(з)У, У). Таким образом, преобразование квадратичной формы сводится к расширению ее до эрмитовой и последукнцей замене переменных их изображениями Лапласа, найденными при нулевых начальных условиях. При этом изображение выходной переменной нелинейного звена У(з) рассматривается как независимая комплексная переменная, н его записывают без аргумента, т. е. в виде У.
Рассмотрим и качестве примера локальную связь (5.76) в случае одномерной системы. Расширенная до эрмитовой, ее квадратичная форма принимает вид Г( У) = Гфз), У( )) = ВяЩ(з) — У]'[У вЂ” ос(з)]). Подставив сюда выражение для изображения 4(з), которое определяется исходя из заданных уравнений системы при нулевых начальных условиях, получим Г(з, У) = — Ве([ОЮ,(з)У+ У]'[У+ а)К,(з)У]) = = — Ве([)уЮ„(з) + 1]*[1 + айг„(з)ЩУ[ . Квадратичный критерий (В.А. Якубович [26]). Пусть нелинейная система (5.9а) и|и (5.96) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, заданных локальной связью с формой Щ,~,н), и матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси или, что то же, характеристическое уравнение ее линейной части ке имеет корней на мнимой оси.
Тогда ее положение равновесия абсолютно устойчиво в указанном классе нелинейных звеньев, если эрмитова форма Г(уы, У) отрицательно определена при — оо < ы < оо, т. е. выполнено условие Г(гы, У) < О при — оо < ы < со и при любом У ~ О. (5.11) При этом имеет место экспоненциальная сходимость (устойчивость), т. е. существуют постоянные С > О и е > О такие, что нри любом $ > Го выполняется неравенство [х(Ф) [ < С[я(го) [е-ь(с-и) Условие (5.11) называется частотным условием. Если эрмитову форму Г(уи, У) представить в виде Г(ты, У) = -У Н(У ) У, 5.2.
Квадратичный крите ий абсолютной ус»нойчивости 125 то частотное условие равносильно тому, что матрица Н(у«о) является положительно определенной при — оо < ю < оо. Эрмитова матрица Н(ты) положительно определена при -оо < м < < со в том и только в том случае, если она положительно определена при щ = со и детерминант от нее не обращается в нуль при — оо < и» < < оо: НЦоо) > О, бек Н(улв) ~ О при — оо < м < со. Квадратичнын критерий можно использовать для исследования глобальной асимптотической устойчивости отдельных нестационарных и нелинейных систем.
Для этого нужно задать локальную связь так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, включал данную нелинейность. При этом желательно локальную связь или, что то же, квадратичную форму выбирать так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, был бы как можно менее объемным. П р и м е р 5.4. Исследовать устойчивость системы р'+ 4р+ (2+ созз)р = О. Решен не.
Представим уравнение системы в виде р+4у+2у+п= О, и=усоаз или 1 у=-И.(.)п, ~~л(.) =,, р2+ 4р+ 2' и = усоаФ. Здесь входом «нелинейного» звена является р, выходом — и. В качестве локальной связи примем соотношение Р(у и) = рз — пз = уз — уз созз $ = рз впз 2 > О. Эрмитово расширение квадратичной формы этой локальной связи имеет вид Р(в, У) = Р(У(е), У) = У'(в)У(в) — У*У = ~У(в) / — ~Н~ .
Подставив сюда выражение для У(в) и положив в = уи, для частотного условия получим р , Г~ , ~2 ) ~ ~2 Так как это неравенство должно выполняться при У тй О, то обе части 2 неравенства можно разделить на ~У~ . Квадрат амплитудной частотной функции линейной части имеет вид 2 1 ~~л(«и»)~ = (2 и 2)2+ 1б 2 Подставив это выражение, частотное условие можно представить в ви- 1 — (2 — юз)2 — 1би 2 < О и — 3 — 12 2 — ю« < О. Гм. 5.
Абсолютная стойннвость Очевидно, последнее неравенство выполняется при -оо < ы < < оо. Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом. Методы построения квадратичной формы локальной связи, Чтобы воспользоваться квадратичным критерием при исследовании устойчивости каких-либо систем, нужно по заданным уравнениям системы уметь строить локальную связь, т.е. определять класс систем, куда можно было бы включить данную систему.
В зависимости от конкретного вида иелинейностей возможны различные способы задания локальной связи [26). 1) Как уже было показано, если нелинейность и = ДС) принадлежит к классу, определяемому неравенством а « — 11, то локальная УИ) связь может быть задана в виде Р(с,и) = (Я вЂ” и)(и — ас) > О. Если а = 0 и 0 <,д < со, то эта связь принимает вид Г(С,и) = и(Я вЂ” и) ~ 0 или Г((, и) = и(С вЂ” Д 'и) > О.
2) Если система содержит две нелинейности вида и! = Сг, иг = = (з или и! = Сз, иг = С', то локальную связь можно задать в виде равенства Р(с, и) = сиг — иг = О. 3) Система содержит две одинаковые нелинейности и; = ДС!, с) (1 = = 1,2), и У®,1) является неубывающей функцией переменной С! прн всех г > 0: у(с,',с) < ДЯ',с) при Я < Я'. В этом случае локальную связь можно задать следующим образом: Р(6и) = (с! — сг)(и! — иг) > О. 4) Система содержит две одинаковые нелинейности и! = у(~!, 1) (1 = = 1,2), и функция у(сз,с) удовлетворяет следующему условию: а < дг(сь,г) " «д при всех 1 > О.
В этом случае локальная связь может быть задана в виде с'(с, и) = [1т(с! — сг) — (и! — иг)][(и! — иг) — а(с! — сг)] > О. 5) Иногда локальная связь может быть задана несколькими соотношениями в виде равенств и неравенств: РЯ,С,и) =О, ! = 1,2, ..., г; РьД,С,и) > О, й=г+1,г+2, ..., р. Такую локальную связь можно преобразовать в локальную связь с одной формой, свернув все квадратичные формы в одну: Р(С,с,и) =т~ т Ря,с,и). у=! 5.2. Кзад атачныд нраве ая абсолютной стайчивости 127 Здесь тз Ц = 1,2, ..., т) — произвольные постоянные, ту (7 = т+ + 1, т + 2, ..., р) — произвольные положительные постоянные. Локальная связь Г(С, С, и) = ч~ гдову(г„, С, и) > 0 д=! с одной формой эквивалентна исходной локальной связи с р формами.
6) Если система содержит нелинейность, которая имеет вид и = (осоз2+ Ьз(пФ)4, то ее можно представить как систему, содержащую две нелинейности вида и1 = Ссозз, и2 = Сашс. При этом локальную связь можно определить равенством Г=с — и,— и =О. 2 2 2 Пример 5.5. Система описывается уравнениями Те1+ е1 = — й~и1 + йтиз, Тет+ ет = йэи1 — й1ит, ич =Деос), 1= 1, 2, где Т, й1, йэ — положительные постоянные, 7(е;,2) — неубывающая по переменной е; функция, удовлетворяющая при всех 2 > 0 условию 7(0,2) = О, 0 « ' 13 при е; ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
