Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поэтому и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. П р и м е р 4.9. Исследовать устойчивость положения равновесия системы у + Ьр'+ 4р + Зе" = 3. Р е ш е н и е. Разложение в ряд Тейлора функции еэ имеет внд еэ = = 1+ у+ уз/21+.... Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у + Зу + 4у + Зр = О. Характеристическое уравнение имеет вид Лз+ЗЛ44Л+3 О Ги 4.
Метод ф нкиий Лял нова 104 Определитель Гурвица 2-го порядка положителен: дз =5 4 — 1.3 = 17. Так как выполняется необходимое условие устойчивости и единственный определитель Гурвнца с четным индексом положителен, то по критерию Льенара-Шипара линеаризованная система устойчива. Следовательно, и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. П р и м е р 4.10.
Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = ха — 2хп з хт -4х~ — Зхт.. з Решение. Уравнения первого приближения имеют вид х! =хм хз = — 4хы Характеристическое уравнение — ТЛ =Ля+4 =0 имеет два чисто мнимых корня. Поэтому имеет место критический случай, и по линеаризованной модели нельзя исследовать устойчивость исходной нелинейной системы. Исследуем устойчивость нелинейной системы методом функций Ляпунова.
В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадратичную форму У(х) = ха+ ахз Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х~х~ + 2ахтхз = 2х~(2хт — 2хз) + 2ахз( — 4х~ — Зхз~). Если принять а = 1/2, то получим У(х) = -(4х~ + Зх~з). Таким образом, выбранная квадратичная форма является положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданных уравнений системы отрицательно определенной. Следовательно, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости положение равновесия рассматриваемой системы является асимптотическн устойчивым. Теорема 4.10 (Первая теорема Ляпунова о неустойч и в о с т и). Положение равновесия х = 0 автономной системы (4.2) неустойчиво, если существует функиия т(х) такая, что ее производная У(х) в силу уравнения этой системы являетсл лоложительно определенной функцией и е любой малой окрестности 105 в.2.
Теоремы об стойчивости начала координат найдется точка х = хо, е которой функция У(х) принимает положительное значение. П р и м е р 4.11. Исследовать устойчивость положения равновесия х = 0 следующей системы: х1 = -2хз+Зх1, з хз = х1 — 5хз + Зхз, з хз = ха+ха.
з Решение. Рассмотрим сначала линейную модель: х1 = -'2хз, хз = х1 — 5хз, хз = хз. Ее характеристическое уравнение имеет вид Л(Лз + 5) + 2Л = О. Корнями этого уравнения являются Л1 = О, Лз,з = ~рГ7. Таким обра- зом, имеет место критический случай, и по линейной модели нельзя судить об устойчивости исходной системы. Поэтому воспользуемся прямым методом Ляпунова.
Будем искать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы з У(х) = -(хз1+ахзз+1Ьзз). 2 Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = х1( — 2хз+ Зхз) + ахз(х1 — 5хз+ Зхзз) +)1хз(хз+ хзз). Положив а = 2 и 11 = 1О, получим У(х) = -ха+ хзз+ 5хзз, У(х) = Зхв1+ бхзз+10хз. 2 Согласно теореме 4.10 положение равновесия системы не устойчиво. Методы построения функций Ляпунова. Общего метода по- строения функции Ляпунова нет.
Разработаны различные методы, ко- торые позволяют находить функции Ляпунова для определенного типа систем. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. 1. Энергетический подход. При таком подходе в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимают полную энергию, пред- ставляющую сумму потенциальной и кинетической энергий.
2. Метод разделения переменных. Этот метод предложен Е.А. Барбашиным и состоит в следующем. Кандидат на функцию Ляпунова ищут среди функций, которые сами и их производные по времени в силу заданных уравнений системы представляют сумму Гл. 4. Метод ляяий Лялунова функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой пере- менной: У(х) = ~~~ Р;(х;), У(х) = ~ фг(х;). 3. Метод Лурье-Постникова. А.И. Лурье н В.Н.
Постников, рассматривая задачу об устойчивости нелинейной системы, содержащей одну нелинейность а = Де), испольэовали в качестве кандидата на функцию Ляпунова сумму из квадратичной формы и интеграла от нелинейной функции, т.е. функцию вида с У(х) =х Вх+ Де)бе, о где в общем случае е = стх.
Более детально этот метод был разработан А. И. Лурье [15]. Он широко используется при рассмотрении задачи об абсолютной устойчивости, о которой речь пойдет в следующей главе. 4. Метод Красовского. Этот метод состоит в том, что при рассмотрении устойчивости автономной системы х=Х(х), Х(0) =О, хе В" в качестве кандидата на функцию Ляпунова рассматривают квадратичную форму Ь(х)=Х ВХ. Симметрическую матрицу В нужно выбрать так, чтобы сама квадратичная форма была положительно определенной, а ее производная по времени в силу заданного уравнения системы — отрицательно определенной. В качестве примера рассмотрим систему х1 = ха, хэ = — Ьх~ — ~р(хэ), Ь ) О, у(0) = О.
Матрицу В выберем диагональной: В =. ~ ~. Тогда кандидат (бп О] на функцию Ляпунова примет вид У(х) = быхэ+ бээ(-бх1 — ~р(хэ))'. Производная по времени в силу заданных уравнений имеет внд ду . У(х) = 26пхэйз + 2бщ(-Ьх~ — у(хэ)( — Ьх~ — — хэ) = дхэ ду = 2[бх~ + р(хэ)](бээб — Ьп)хэ — 26ээ — р[бх~ + <р(хэ)]э. дхэ 4.2. Теоремы об устойчивости Положив Ьы = Ь и Ьтт = 1, получим 'г'(х) = Ьхт ~+ (Ьх1 + 1о(хт)~, У(х) = -2 — ~Ьх~+<р(хт)~ . д1о 2 дхт Как нетрудно убедится„У(х) является положительно определенной функцией и У(х) - оо при 1х! — оо.
если др/дхт > О при хз тз О, то производная У(х) является отрицательно полуопределенной и обращается в нуль на многообразии о(х) = Ьх~ + <р(хз) = О, т.е. на множестве, определяемом указанным уравнением. Зго множество не содержит целых траекторий, так как йтвба(х)х(х)) 1 1 „— — ьхт т~ О вне начала координат на указанном многообразии. Поэтому по теореме Варбашина-Красовского положение равновесия рассматриваемой системы будет асимптотическн устойчиво в целом. 5. Метод Вокера — Кларка (Юокег-К!агк).
Пусть система описывается уравнением или в нормальной форме х~ =ха, хт = хз, х„= -Дхы хт, ..., х„). В качестве кандидата на функцию Ляпунова прн этом методе рассмат- ривается функция е хт У(к) = Дхихл, ..., х )бх ~ + — + Р(хихт, ..., х ), о где неизвестная функция Р(хи хт, ...
„х„) выбирается так, чтобы производная У(х) в силу заданных уравнений системы была отрицательно полуопределенной. Исследуем этим методом систему О + У(у, у) = О, У(О, О) = О нли х1 =хт, хт = -У(хи хе). Га 4 Мваод 4О ммилй Лям мова В соответствии с методом Венера-Кларка в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем хя р'(х) = ахи хт)Их1 + — т + Р(хп хт). 2 о Производная от втой функции по времени в силу заданных уравнений имеет вид (1 дУ ) ..
дР. дГ. У(х) = Дхпхт)х~ + ~ — <Ь~ хо+ хтхт+ — х1 + — хт = ~~ д*, дх~ дхт о ( дУ дР дР = -,у(хм ът) ~ — 4х~ + — хт — — ~(хп хз). ~ дхт дх~ дхз о Если положить Р(хм хо) = О, то получим У(х) = Дхпхт)(Ь~ + — ~, У(х) = — Дхп хт) — аахм 2* ' ~дхт о о Отсюда следует, что положение равновесия х = О асимптотически устойчиво в целом, если выполняется условие х~Дхпхз) > О, ~(хпхт) — Их~ > О прн х тОО. Г д7' 1 д*, о Задачи 4.4. Исследуйте устойчивость нулевого решения следующих уравнений: а) у+Зр+2р+жпу=О; б) у'+Зу+5р+З(е" — 1) =О; в) 'у+Зр+р+5р+созу — 1 = О; г) у+Зу+2р+4у+е" — совр = О; д) 'у+2у+2у+4у+ят у-2 саву+2 = О; е) У+Зр+2р+впу — уз = О; ж) 'Р" +Зу+2р+7впу+Рз = О; з) У+ЗУ+2У+Фй У вЂ” Ут = О; и) 'у+Зу+2у+вшу = О; к) р+2у+2у+б агсашу+уз = О.
4.5. Определить и исследовать устойчивость положений равновесия следующих систем: а) = ' ' б) 1 Е х~ = — х~(2+х() — Зхю ~ х1 =2х1+хт, хт = 2х1 +хо хт — — х~(2+х',) — Зхт; < х~ = — х~(1+ха) — 5хз, ~х~ =2х~+2хз, в) . ' ' г)(. хз = 2х~ + 2хз, (хз = — х~(1+ х,) — 5хз, х~ = — х~(3+хе~) — 4хз, ~х~ =Зх~+хз, д) . ' ' е) 4 . хз = Зх~ + 2хз, '(хз = — х~(3 + х~~) — 4хз.
4.6. Исследовать устойчивость положения равновесия (хыхз) = = (О, 0) следующих систем: х~ =ха-х,, з з а) ' б) У ' в) ~ . 3 (хю =хз+Зх,, )'х~ = 2хз — хы хз=-х~ — 2хз; (ха = -х~+хз', 1хз= -х! — Зхз', з з г) ' д) . ' е) х~=Зхз+2х,, Ях~=4хз-хзы ~х~=4хз+2хь, ха=-х~+2х~~, (ха= Зх~ — 2хз, )(хе=--,з~+2х~з, х~ =2хз-хо ~х~ =хз+2хзм з )'х~ =хз-5хм з ~ з ха= .г~ — 5хзз, (ха=~~+ха, )(хз = — 2х~ — Зхзг, з з (. з' к) ..' л) .
' и) Е х~ =5хз-Зх,, (х~ =хз-хзм (х~ =ха-х,, ха =-х~ — 2 аш хз', (ха = -х~+2 Фй хз, (хз =-х~ +2 1п(!-хз). 4Л. Показать, что положение равновесия (хпхз) = (0,0) следую- щих систем асимптотнчески устойчиво в целом: < х~ ~х~ =2хю ~х~ =хз, а) б) 4 в) 4 , хз = — х~ — 2хзз; (хз = — 2х~ — бхзз; (хз = -Зх~ — 2х,'; Е х~ = хз — 2хзм ( х~ = хз — Зхзм ( х~ = Зхз — 5хты ха=-хб ~ха=-2хб ),ха=-4хь 4.8. Показать, что положение равновесна системы (рис.
4.2) с пе- редаточной функцией линейной части 14'„(р) = й/(рз+ ар+ 6) (й > О, а > О, 6 > 0) асимптотически устойчиво в целом при следующих харак- теристиках нелинейного звена (НЗ): а) кусочно-линейная карактери- стнка с насыщением (рис. 4.3, а); б) кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (рис.
4.3, б); в) кусочно-линейная характе- ристика с зоной нечувствительности и насыщением (рис. 4.3, в). Рнс. 4.2 4.9. Показать, что положение равновесия системы (рис. 4.2) с передаточной функцией линейной части Щр) = й/(рз+ар) (й > О, а > 0) асимптотически устойчиво в целом при НЗ с кусочно линейной характеристикой с насыщением (рис. 4.3,а). Гл. 4. Мееюд )50 нк й Лян нова в) а) Рнс. 4.3 4.10. Показать, что положение равновееия (х!,хз) = (0,0) приводимых ниже систем асимптотически устойчиво в целом. б ) Х! =Хз, хз = -2х!-Х2-337хз,. ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~~ ~! Х! =Х2 !) . 3 хз = — х! — хз(! +хз); е) з ! Х! =Хз, хз = -х! — фхз — агсзйхз, з) й! =Хз, хз = — 4х! — Щ-2 агсзйхз, < Х! =Хз, к) 3 з хз = -х! — хз- хз(! +хз) . Х! =Хз, а). з Хз = — Х! — 3/Х22, Е Х! =Хз, з з хз = -х!-2хз — фхзз, с Х! =Хз, д) . з х2 = х! — 2хз — х2(1+Х22) ж) < Х! =Хз, хз = — 4Х! — Хз — 2 агсзйхз! ! Х! =Хз, н) 3 хз — — — 42:! -хз-2 агсзйхз, 4.11.
Исследовать устойчивость положения равновесия (х! хз хз) = = (О 0 О) следующих систем: с ( '( х! = Хз = ХЗ= х! = Зх! + хз + 5х!, 5 д) хз = -х! + 2хз — хз + 4хз, з хз = 7хз+хз+хз' з. х! = Хз = хз = х! = Хз = ХЗ = — Х!+Хз — Х,, 3 Х! Хз+х3 Хз 5 -Хз — ХЗ вЂ” ХЗ' з. Х! +Хз+ Х!, з — х! + Хз — хз + хз, 5 хз + хз + хз', з, х! = г) хз= хз = х! = Е) хз = Хз = -х! + 2хз — Зх!, з -Х!'- 4хз+ Зхз — 2хз, Ь вЂ” Зхз — 5хз — хз; з. -2х! + хз — Зх,, 3 -5х! — хз + 7хз — хз, 5 -хз — 4хз — 2хз' з, х ! + 5хз + хз!, — х! + хз — х3 + хз, Ь хз + 2хз + хзз,' Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
