Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С Система сравнения. Иеобходимое условие и критерий Полова Нт Если положить д = ао/аы то получим У( )= 6ва2 + — > О. 1 (а2 — а ыз)2+ (а!м)2 Последнее неравенство выполняется при любом ы > О и любом й > О. Поэтому рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [О,й] прн любом конечном й > О, В приведенной выше формулировке теоремы Попова не просматривается частотная сущность. Рассмотрим другую, частотную формулировку теоремы Попова. Для этого введем в рассмотрение следующие частотные функции: У,(ы) = У(м), У,(ы) = ыУ(ы), (э;(уи) = У„(ы)+уК,(ы). Последняя функция называется модифицированной частотой передаточной функцией (линейной части), а ее годограф — модифицированной амплитудно-фазовой частотной характеристикои.
Частотная (геометрическая) формулировка критерия Попова. Для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [О,й], достаточно, чтобы можно было провести прямую, находящую через точку ( — 1/й,уО) и называемую прямой Попова, такую, что модифицированная амплитудно-фазовая частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой. Модифицированная амплитудно-фазовая частотная характеристика отличается от обычной (не модифицированной) только ординатами.
Линейная часть неустойчива. Пусть линейная часть нелинейной системы (рис. 5.2,а) неустойчива. Преобразуем ее следующим образом. Охватим линейную часть отрицательной обратной связью звеном с передаточной функцией г, а к нелинейному звену подключим параллельно звено также с передаточной функцией г, выход которого подключен к сумматору по отрицательному входу (рис. 5.2,6). Преобразованная схема эквивалентна исходной схеме. Действительно, учитывая д = О, на входе линейного звена преобразованной схемы имеем: и = Я) + су — гу = /(С), т.е. тот же сигнал, что и на входе линейного звена исходной схемы.
В преобразованной схеме передаточная функция линейной части имеет вид И~, = Ю,/(1 + г%,), а нелинейность — /„(С) = /(г) — гС (см. рнс. 5.2, б). Так как при ~ ф О имеем /„(~)Я = /(с)/с — г, то неравенство т < /(С)/С < й равносильно неравенству О < /,(Ц/с < й — г. Поэтому положение равновесия исходной системы (рис. 5.2, а) абсолютно устойчиво в угле [г,к], если положение равновесия преобразованной системы (рис. 5.2, б) абсолютно устойчиво в угле [О, й — г]. Пусть преобразованная линейная часть устойчива, т.е.
все полюса передаточной функции И~„имеют отрицательные вещественные части. Га б. Абсолютная устойчивость 11В /(6 Рнс. 5.2. Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [О,й — г], если выполняется неравенство Ие(1+ (фи)Иг„(у~) + — > О, нлн 1 Уь(ш) чи'~й(ш) > й — г' (5.6) где У„(ы) = ВеИИЮ) и У,(ы) = 1шж(,ты). Пример 5.3. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид 1т', = 1О/(р — 1). Исследовать, является ли система (рис.
5.2,а) абсолютно устойчивой в угле [0,2, 200]. Р е ш е н и е. Преобразованная передаточная функция имеет вид И'„= Игь/(1+ гИь) = 1О/(р+ 1). Отсюда для частотной передаточной функции, а также вещественной и мнимой частотных функций имеем 10 10(1 — уы) 1О 10м И'„Цы) = —, =, У„(м) = —, У„(ы) = —. гш+1 ыт+1 ыз+1 (ф+ Условие (5.6) принимает внд 10 10ш 10+ у10иР 1 из+1 ыз+1 иР+1 200 — 0,2' и оно выполняется при любых ы > 0 и о > О. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2,200].
Критерий Попова (линейная часть неустойчива). Положение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [г, к], если все полюса преобразованной передаточной функции Иг Ю„/(1+г)Р'„) имеют отрицательные вещественные части и существует аакое вещественное число д, чао при всек ы ~ ~0 выполйяется неравен- саво (5.6).
119 Б.Д Задачи Частотная формулировка критерия Попова (линейная часть неустойчива), Полоясение равновесия нелинейной системы (5.3) с неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле «г, й], если можно провести такую прямую Попова, что модифицированная преобразованная частотная характеристика полностью располагается правее этой прямой.
Задачи 6.1. Определить, будет ли положение (рис. 5.1,б) абсолютно устойчиво в угле «О, передаточных функциях линейной части: а) !т',(р) =; б) $Рп(р) = 10 10(о 1Р + 1). „ (р) рз+4р+ 1 ' д) !р„(р) = ; е) йтп(р) = !о(р+ !) рт+4р ' 2р+ 1 рз+ Зрз+ Зр+ 1' равновесия системы 100] прн следующих рт+4р+3' !о рз+4р' 3 +2 р р + Зрт + Зр + ! ' 4 р +зр +зр+ ! 2р+ 1 р'+ Зр'+ Зр -! 6.2. Определить, будет ли положение равновесия системы (рис. 5.1,б) абсолютно устойчиво в угле «2,!00] при передаточных функциях линейной части, приведенных в задаче 5.1. Как и в случае с устойчивой линейной частью, можно сформули- ровать частотный вариант критерия устойчивости.
Для этого введем следующие частотные функции: Ппм(п~) = Пп(и~), Упм(ь~) =и~оп(ь~), 1Рпм(З<>) = Упм(и~)+УЬпм(ь~). Последнюю функцию $Р„„(уш) будем называть модифицированной преобразованной частотной передаточной функцией, а ее годограф при изменении 0 < ю < оо — модифицированной преобразованной ам- плитудно-фиговой частотной характеристикой. Используя веще- ственную и мнимую части функции !т'„„(ун), условие (5.6) можно записать в виде 1 Ппм(ь) — Ф'пм(ь) > -1, В случае неустойчивой линейной части прямая Попова — зта прямая, которая пересекает вещественную ось в точке — 1/(к — г) и имеет наклон -1/у- Гл. 5.
Абсолвмнал усмойчивосмь $.3. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) ! с передаточной функцией линейной части Иг (р) = рз+Зрз+Зр+1 абсолютно устойчиво в угле [О, 4] и не является абсолютно устойчивым в угле [0,10]. 5.4. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) с передаточной функцией линейной части $К,(р) = рз+ Зрз+ Зр- З абсолютно устойчиво в угле [4, 100] и не является абсолютйо устойчи. вым в угле [2, 100]. 5.5.
Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) 1 с передаточной функцией линейной части И',(р) = р" +Зрз+ Зр-1 абсолютно устойчиво в угле [2,6] и не является абсолютно устойчивым в угле [1,6]. 6.6. Покажите, что положение равновесия системы (рис. 5.1,6) р+З с передаточной функцией линейкой части И~„(р) = рз + 2рз + Зр + 1 абсолютно устойчиво в угле [0,5] и не является абсолютно устойчивым в угле ]О, 10].
5.2. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости При рассмотрении абсолютной устойчивости класс нелинейных звеньев можно задавать с помощью квадратичной формы. Например, класс нелинейных звеньев, определяемых соотношением 7'(О) = О, а < — <,6 (а.< ~3), И) (5.7а) с помощью квадратичной формы можно определить следующим образом: Р(и,с) = ()ус — и)(и — ас) > О, и = 7(с). (5.76) Задавая класс нелинейных и нестационарных звеньев с помощью квадратичных форм, В. А. Якубович разработал так называемый квадратичный критерий абсолютной устойчивости [26].
Эрмитова матрица и врммтова форма. Дальше при рассмотрении квадратичного критерия используются эрмитовы формы. Поэтому здесь вкратце излагаются основные понятия, связанные с этой формой. Пусть гя (! = 1,2...п) — комплексные числа и тй (1 = 1,22...м)— комплексно-сопряженные с ними числа. Вектор й = (з~ зз ... з„) является комплексно-сопряженным вектором с вектором и = (а~ аз ... ... г„)т. Если элементы Н = [Ьм] являются комплексными числами, то матрица Н' = [йы], которая получается из матрицы Н = [Ьа] путем 5.2. Квадратичный крите ий абсоиотной устойчивости 121 транспонирования и замены элементов на комплексно-сопряженные с ними числа, называется эрмитово сопряженной с Н = [Ь,ь) матри- цей.
Операция эрмитова сопряжения обладает теми же свойствами, что и операция транспонировання: (А+ В)' = А*+ В', (аА)' = аА', (АВ)* = В'А*, (А')' = А, (А ')' = (А') Если к вектору-столбцу в = (г~ гз ... г„)~ применить операцию эрмитова сопряжения, то получим вектор-строку в' = (г~ гз ... г„). В частности, если г — скалярное комплексное число, то в результате применения операции эрмитова сопряжения получим комплексно-сопряженное число: г' = г.
Матрица Н =~Ьчь] называется эрмитовой матрицеи, если Н = = Н*, т.е. Ьт = Ьт. Так как Ьи = Ьи, то диагональные элементы эрмитовой матрицы являются вещественными числами. В частном случае, когда все элементы матрицы являются вещественными, эрмитова матрица является симметрической матрицей. Квадратичная форма Н(в) = я'Нв = ~ Ьгьй;гь (5.8) сь ! Эрмитову форму, заданную в таком виде, всегда можно преобразовать и представить с помощью эрмитовой матрицы: Н1(в) = Вев'Ня = в'Н~в (Н~ = — (Н+ Н*)).
2 Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы. В частности, эрмитова матрица Н и эрмитова форма в'Нв называются положительно определенными, если в"Нв > О при всех в ф О. где Н вЂ” эрмитова матрица (Ьи, = Ььг), называется эрмитовой формой. Переменные г, (1 = 1, 2, ..., п) и элементы матрицы Н могут быть вещественными числами.
В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными, то эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает веи(ественное значение. Если квадратичная форма (5.8) не является эрмитовой (Ьи, ~ Ьь;), то она может принять комплексные значения. В этом случае на ее основе можно определить эрмитову форму следующим образом: Гл. Б. Абсолютная устойчивость 122 Критерий положительной определенности эрмитов о й м а т р и ц ы. Для тово чтобы арми тово матра!!а Н была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: Ь|=Ь!!>О, Ьз=~ ! 4>0, ..., Ь„=деФН>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
