Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 24
Текст из файла (страница 24)
б. Лияеаризаиия обраяиоа связью Решение. Синтез замкнутой системы, основанный на обычной линеаризации, не обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом. Действительно, на основе обычной линейной модели х = и получаем закон управления и = -йх (й > О), при котором линейная модель асимптотически устойчива в целом. Однако при таком законе управления исходная нелинейная система х = ах — Йх асимптотичез ски устойчива только на интервале 1Х~ < !/Й7а. Воспользуемся линеаризацией обратной связью о = — ах +о.
з Прн этом преобразовании уравнение объекта примет вид х = о. При таком уравнении единственным разумным линейным законом управления является о = — йх (й > О). Подставив это выражение для управления в уравнение преобразования, получим и = — ах — Йх.
з Уравнение замкнутой системы имеет вид х = — йх. Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. Рассмотрим еще один простой пример. П р и м е р 6.5. Задан объект, который описывается уравнениями Х! = Х2 + СХ,, Х2 = П. з Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система была асимптотически устойчива в целом. Р е ш е н и е.
Воспользуемся преобразованием обратной связью 3! = х!, 22 = х2 + сх!, ю = — Зсх!(хз+ сх!) + о. З 2 З В новых переменных уравнения объекта примут внд 2! = 22, 22 = о. Приняв закон управления о= — я!г! — й222, й!,52 >0; для замкнутой системы получим 2! = з2 22 = й!з! й222.
Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. В исходных переменных уравнения замкнутой системы принимают вид Х! = Х2+СХ,, з *'2 = — Зсх,хт — 3!Дх, — Й!х! — азха — Йзсх,. 2 Д З 3 В примере 6.5 преобразование обратной связью включает, помимо преобразования управления, преобразование фазовых координат. Прн этом, если в примере 6.4 более нли менее понятно, как выбрано преобразование, то в примере 6.5 выбор преобразования не очень понятен.
б.2. Линеаризация обратной связью но состоянию 143 Кроме того, в общем случае возникает вопрос, существует ли преобразование обратной связью, обеспечивающее линеаризацию той нли иной системы. Таким образом, в теоретическом плане при рассмотрении линеаризации обратной связью возникают два основных вопроса: 1) для каких систем лннеаризация обратной связью возможна; 2) как найти соответствующее преобразование.
Рассмотрим нелинейную систему х = 2(х) + 6(х)и, х Е 22", и Е 22, (6.2) где 2(х), 6(х) — гладкие векторные функции. Начало координат при нулевом управлении является положением равновесия: Г(0) = О. Определение 6.6. Система (6.2) называется линеаризуемой обратной связью по состоянию, если существует диффеоморфизм х = Х(х) и преобразование обратной связью и = а(х) + р(х)э такие, нто уравнение (6.2) принимает вид й = Аи+Ъо, где 0 1 0 " 0 0 0 1 000" 1 000 "0 Данная линеаризованная система имеет специальный вид — форму управления Бруновского (Вгипоозйу сопггоИег )огт) (29).
Однако зто не нарушает общности, так как любая вполне управляаиая линейная стационарная система может быть преобразована к такому виду. Составим для системы (6.2) матрицу У = [6 айу6 ". ай" 16]. (6.3) В случае линейной стационарной системы, когда 2(х) = Ах, к(х) = Ь где А и Ъ вЂ” постоянные (и х и)- и (и х 1)-матрицы, для скобок Ли имеем ай йг йАх 6=Ь, айг6= — à — — 6= — — Ь= — АЬ, ах ах йх й2 йАх вф~6 = ай1(айг6) = — — 6 = — — ай26 = А Ь, йх йх йн — 1 1 ( р-2 ) ( 1)н-2 йн-2 ( 1)л-1Ап-3Ь Гл.
6. Л я обратной связью 144 Матрица (6.3) принимает вид У = !Ь -АЪ АтЬ " (-1)" 'А" 'Ь]. Теорема 6.3. (Теорема о линеаризации обратной связью по состоянию). Нелинейная система (6.2) линеаризуема обратной связью по состоянию в некоторой окрестности П начала координат в таи и только в том случае, если в этой окрестности ее матрица управляемости имеет ранг н, т.е.
деФУ ф 0 всюду на П (в начале координат деФУ может обратиться в нуль) и мноясество (6, айги, ..., ад" тй), составленное из п — 1 столбцов матрицы управляемости У, инвалютивно. Правило линеаризации обратной связью (ЛОС) по состоянию можно сформулировать следуюшим образом:: 1) Для заданной системы определить матрицу управляемости У = = (6аИГ6 " ад" 6) и вычислить деФУ. 2) Если десУ ф О, то проверить инвалютивность множества векторов, составленного из первых и — 1 столбца матрицы управляемости, т.
е. множества ~й, айгй, ..., ад" тй). 3) Если множество (й, айгй, ..., ай~ зй) ннвалютивно, то определить функцию Т~(х) из соотношений ЧТ|аЮ~6=0, 4=0,1, ..., и — 2; ЧТ1аа" ~6140. (6.4) 4) Определить преобразование состояния и=Т(х) = !Т1(х) Тт(х) ". т Т„(х)), где Тз = йгТи Тз = й~~Тп -, Т„= й ~Ти и преобразование управления и= ( — й"Т~+о). 1 йй" 'Т е г ! (6.5) Пример 6.6. Задана система х~ = хю хт = хз + и, хз = х~ + схз. з Требуется произвести линеаризацию обратной связью по состоянию.
Решение. В данном случае и= 3 и функции 1(х) и н(х) имеют вид з зт т т(х) = (хт хзз х~ + схзз), 6(х) = (О 1 0) Если отбросить перед четными столбцами матрицы У знак минус, который не влияет на ее ранг, то получим матрицу управляемости для пары (А, Ь). Поэтому матрицу (6.3) называют матрицей управляемо- сти для системы (6.1), б.2. Линзаризация об отмой сзязью яо состоянию 145 1) Найдем матрицу управляемости У = (к Ыоц вф~). ~фи бУ ао(уд = — 2 — — к =— Ых Йс О 1 О О О Зхзз 1 О Зсзз (1) =-(о).
О 1 О ОО Зх 1 О Зссз (о) - (о) . а(аду к) ас ас(з~й = аду(Ыон) = йс йс © — — ао(оц = 2) Первые два столбца матрицы управляемости являются постоянными, и поэтому образуют инвалютивное множество. 3) Соотношения (6.4) принимают вид (дT! дT! дТ!'~ дТ! О зУТ!б=( — — — 1 1 = — =О, ~дх! дхз дхз/ 1 дхз (дт, дт, дтс1 дт, 1 'РТ! ~,ц= — ( — — — ! О =- — =О, ~дх! дхз дхз/ дх! (дТ! дТ! дT! ~~ дT! О ЧТ,.Я„=-( — — — 1 О = — ФО. 1,дх! дхз дхз/ дхз Отсюда следует, что Т! зависит только от хз, и в качестве решения этих соотношений примем Т! = хз. 3) Найдем остальные два компонента преобразования состояния Тз и Тз: Хз Тз = йуТ! = ЧТ!~ = (О О 1) хз — х! + схз х! + '-"'з з хг Тз = ЙуТ! = ЙуТ2 = (! О Зсхз) хз = х2+ Зс!хз(х! +с""3) х! + схз Итак, преобразование состояния имеет вид 22 = Т2 = х! +схз, гз = Тз = х2+Зсхз(х! + схз).
з 2 г! = Т!(х) =хз, Π— 1 О Матрица управляемости имеет вид У = 1 О О, и ее детерминант О О 1 отличен от нуля: с)аз У = 1. 1л. 6. Линаариааиия обратно!2 связью 146 Для определения преобразования управления нужно определить й ВТ! и йт~. О (Зсхзг 1 бсхзх, + 15,2х43) 1 = 1 О иТ33 = Х2 (Зсхз ! бсхзх! + 15сгхз) 4 х! +схз ЫгТ! = !3Тз =тУТ36 = 2 ЦТ = Уу(Ь'Т!) =Ь Тз = = Зсхзх2 + ХЗ + (бсхзх! + 15с хз)(х! + схЗ). Подставив зти выражения в (6.5), получим и = -1З~~зхг+ хзз+ (бе*за!+ 15 гхзИх! + ~зН+ о В новых переменных уравнения системы примут вид 3! =2М 22!;~э За=а. 3 ачи 6.6.
Определить ранг матрицы, управляемости следующих управляемых систем: х! = В) Хг= хз = х! =Хг, б) хг = хг — хз, хз = — хг+и 2 < Х! =Х2, а) х2=хз, хз = — х!+и 2 х! = х! +Хгз Х! = — Х!+Хз 2 '( х! = Е) Хг= Хз = хг = а, хз = -Хг+ хзз Х! =Хг, ж) Хг = Хгх3, хз = — х! — хг+и Хг = хз = < Х! =Хг, К) Хг = Х,Х3, 2 Хз = Х!Хг +Хзи 6.6. Заданы управляемые системы а) б) < х! = хг+хгз, /х! =хг+хз+и, х2 = х! хг+х! +а; ) хг х! хг+хзг! хг =и, 2, ХЗ = -Х!, Х! =Хг, Х2 = ХЗ ха=-х,+и хм — х!+и, "'з! хг+и, -х! -хг, з, — Хг, ха+ хг, ,3 3 — х! — хг+ и; б.2. Задачи < Х! = Х2 + Х1, В) . 2 хз = -хз+ хз+ и х! = Х1+х, +и, з г Хз = -Хз+Х1Х2; х! = х2+ х1, з Хз =Хз+Хз, 5 хз = — хз — х1+тб '( < Х! = Х1 + Х1Х2, д) .
з х2 = х2+х1+ и Х! =Хз+Хз, з Х2 = ХЗ+ Х1, з ХЗ = — Хз+и Х! = Х! + Х2 + Хз, 3 3) Х2 ХЗ+Х1+ и. ХЗ = -Хз — Х1! х! — — х1 +хз+х, 3 «) хз =хз+Х31+и, хз = хз + х! + хз; Х1 = х2 + е *' + х21 хз =хз+х1+хз, з ХЗ = -ХЗ вЂ” Х2 + и; Х! =Хз+Х,, 3 л) Хз = ХЗ+ Хзз хз = хз+х4+х!, х4 = — Х4 — хз+ и; Х! =Хз+Х,, 5 хз = ХЗ+ *52, хз = хз+ х4+ х1хз, х4 = х4 хз+ и. х! =х1+хз+ха+и, хз = -хз+ хз+хз, 3 з. < Х1 = Х1 + Хз + Х1, хз = 2х1+хз+хз, Фз = -хз — хз - х! Хз + и; 2 Е х! = х! + х! + хзхз + и, 3 2 Хз = Х2+Хз, 3 Хз + ХЗХЗ! х! =2х1+хз+х,, з хз = х! + Хзхз + х, + и, 3 5 хз = -2хз — х1+ х1хз; < х! =х1+хз+хз, 2 хз = Зхз+хз+ 2Х1хз+и, 5 хз = 4х! + 2хз + хз + х1хз! Х! =Х1+Хз, з хз = хз+ х, + и; б) Х! = Х1+Х1, з Х2 = Хз + Х! + Х1Х2, 2 хз = — хз — х! +и; 2 '( г) х! = х! + хз + х! хз, Д) х2=2Х1+хз+хз, хз = — хз — х1+ и' < Х1 =х2+х1+хзхз+и, 3 2 Ж) Х2 = Х2+Хз+ХЗ, 3 5 хз = хз+2хз+хз, 2.
е) 3) '( х! = 2х! + х1хз + хзхз + и, Х2 = ХЗ+Хз+ Хз, З 5 хз = — хз — Зхз+ хзхз, к) Показать, что они линеаризуемы обратной связью по состоянию. бЛ. Заданы управляемые системы Гл. 6. Лааеаразааая об атаоя саима 148 х! = 2х!+Зхр+хзз, хз = х! + х!хз + х!, з ХЗ = Х4+ ХЗХ4+ Х4 3 х4 = Зхз+4Х4+и. х! = Хз+хз+ 2х!хю з хз =х!+х!ха+ха, 3 хз = Х4 + хз + Зх! хз + о 3 Х4 = — Х4 ХЗ+ХЗХ4; л) Показать, что они не лннеаризуемы обратной связью по состоянию.
6.6. Исследовать линеаризуемость обратной связью по состоянию следующих управляемых систем: 6.6. Определить преобразование линеаризации обратной связью по состоянию для следующих управляемых систем: а) х! =хз+хзз, хз = -х! -а+ха+ай б) х! =Хр+и, ха= — х! — хз+хз, з. в) х! = 2хз+х!, хз =ха+хат+хи з г) х! =х!+х, +и, ха =-хз+х!Хр; з д) х! =2хз+хр, хр=Зхз+х!, ха=-ха+о; е) х! = 2хз+ха!, хз = Зхз+хзз, хз = — х! — хз+и; ж) х! =Зхз+хзз, ха=ЗХЗ+2Х!хз, хз= — хр+и; 3) х! = ха+ха, хз =2хз+и хз = -хз — х$! Н) Х! =ХЗ, ХЗ=ХЗ, ХЗ=Х4+Х!ХЗ, Х4=о; К) Х! = ХЗ ХЗ = Хз ХЗ = и Х4 Хз + Х! х ! = 2хз+х!, з хз = — 4Х! — Зхз + и; в) Е х! = х! + х, +х,, з з г) хр = х! + 2хр + х! хз + ьн < х! = Хр + х! хз + Зхз, д) хр =х!+хр+Зх!хз, е)! хз = -хз+2хз — хзхз+зн х! = 5х! + Зхз + х! хз, ж) хз =2х!+Зхз+х,хз, з) хз = — хз Зх! Хрхз + и, х! = 2х! + Зхр + и, и) хз =4хз+Зхз+хзхз, к) ХЗ = 5ХЗ + 2ХЗХЗ + ХЗ', ~ ~ !~ х! =х!+хм хз = Зх! + 2хгхз + и' < х! = 2Х! + Зхз + 4х! хз + и, хз = Зхз + хз + хз! з з.
< Х! = ХЗ + Х!Хз, з хз = хз+ хзхз, з хз = — 2Х! — ха+ х!ха + зк < х! = хр + 2хз + хзхз* з хз = хз +хз + хзхз хз = 2х! — хз + хз +и; з з ~ ~ ~ ~ ~! х! = х!+5хз+х,, 3 Хз = Х! + Х! ХЗ + ХЗ з хз = хз+хз+и. 149 б.З. Ли иза ной связью яо выходу 6.3. Линеаризация обратной связью по выходу Пусть система описывается уравнениями состояния я выхода: х=у(х,и), у=Ь(х), х6В", иЕВ, у 6 В. (6.6) Рассмотрим задачу слежения за траекторией у (3), которая состоит в определеннн такого закона управлення, прн котором ошибка слеження е(Ф) = у(1) — у (Ф) со временем стремится к нулю: е(Ф) — О прн Ф вЂ” оо, а остальные переменные ограничены. Трудность решення данной задачи заключается в том, что переменная у не связана с управленнем и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
