Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как 23 = х1 = -х1 — — -23, уравнение в новых переменных в нор- 2 2 мальной форме принимает вид (см. (6.10)) 21=22 22 м ЯЗЗ2+и 23= 23 дм Х1 ° 2 Используя преобразование обратной связью о = — гааз+ о, получим 21 = 22, 22 = о, 23 = — 33. 2 Задачи 6.10. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы х1 =хз, х2 =хзхз, хз =хз+хз+и, д х1 имеет анд 1 21 =х1, 22 =хз, гз =хзхз, и= — [ — хзхз — хз(хз+хз)+о|. Х2 б.З. Эадача 6.11. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! ХЗ* ХЗ ХЗ+ХЗ ХЗ = Х!Х2+и Щ = Х! 2 имеет вид 3! = х!, 22 = хт, ЗЗ = хз + хт, м = х!х2 — 2хз(хз + х2) + ю.
6.12. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! = ХЗ, ХЗ = Х!ХЗ, ХЗ = Х! + Х2 + И, Р = Х! 2 имеет вид 1 Е! = Х!, 22 = ХЗ, ЗЗ = Х!ХЗ, Ю = — ] — Х2ХЗ вЂ” Х!(Х! +ХЗ) +Э]. х! 6.13. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы Х! = ХЗ, Хз = Х!ХЗ, ХЗ = Х!Х2 + ХЗВ, Р = Х! имеет вид 2 1 з! = Хм 22 = хм зз = х!хз. и= — ( — 2х,хтхз — х!х2+о). з Х,ХЗ 6.14.
Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы ХЗ = хз(х! + х2), хз = -х! — Хз+ о, Х! =ХЗ, имеет вид 2! = Х!, 22 = Х2, 23 = ХЗ(Х! +Х2), 1 и = — ](х! + ХЗ) — хтхз — хзз(х! + хз) + о]. Х! +ХЗ 6.16. Показать, что преобразование линеаризации обратной связью по выходу управляемой системы *'2 =хт(ха+1), 23 =ХЗ+н, ф=х! 2 Х! =ХЗ, имеет вид 23 = ХЗ(хз+ 1), и = [ злз ХЗ(х! 1 2 ХЗ 3! =Х!, 32 =Х2, Гл. б. Пинеаризация обратной связью 6.16. Показать, что преобразование лннеаризацин обратной связью по выходу управляемой системы х! = х2, х2 = х!(хз + 1), хз = х! + и, р = х! 2 2 имеет вид гз = х,(хз + 1), и = — 2[-2х!хз(хз + 1) — х! + о~.
2 л хз г! =хи ге=хм 6,17. Показать, что преобразование линеаризацин обратной связью по выходу управляемой системы х! = хь хз = (х! + хз)хз, хз = -х! +и, р = х! 2 имеет вид г! ж Х!, 22 = Х2 гз = (х! +х2)хз 1 и= [ — хзхз — (х! + хз)хз + (х! + х2) х! + Х!+Хз 6.16. Показать, что преобразование линеаризацнн обратной связью по выходу управляемой системы х! = хм хз = (х, +хг)хз, хз = — хз+и, р = х! 2 2 имеет вид г! — х! гз = Хз, гг = (Х! +Х2)ХЗ, 2 и = [ — 2х!хззз (х! + хз)хз+ (х! +хз)хз+ о1 Х! +Х2 6.19. Показать, что преобразование линеаризацнн обратной связью по выходу управляемой системы х! = хз, хз = (х! + хз)хз, хз = -х! — хз + и, р = х! 2 имеет вид г! = х!, 22 = хь гз = (х! +хз)хз 2 ,1 — [ — хзхз — 2х2(х! + х22)х + (х! + хз)(х! + Х2) + 91.
6.4. Нуль-динамика и синтез алгоритмов управлении Линеаризация обратной связью по выходу разбивает уравнения нелинейной системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика описывается дифференциальными уравнениями, содержащими управление о, линейно связанное с выходом. Поэтому легко синтезировать управление е так, чтобы р изменялся нужным образом. Однако синтезированный таким образом закон 6.4. И ль-динамика и синтез а иоритнов управления 157 управления представляет интерес, если внутренняя динамика будет устойчива и соответственно ее координаты ограничены. Внутренняя динамика описывается последними п — г уравнениями в нормальной форме (6.106): в<з) = т(зО),я1з)). В общем случае эти уравнения зависят от внешнего состояния яО). Однако, когда управление таково, что выход тождественно равен нулю; у ш О, внутренняя динамика не зависит от переменных внешнего состояния.
Определение 6.9. Нульдинамикой нелинейной системы называют ее динамику нри условии, что заход тождественно равен нулю (у = 0). Так как при у ив е 0 все производные по времени выхода равны нулю, уравнение нуль-динамики в нормальной форме (6.10) имеет внд в()) 0 я1т) те(0 в1з)) Управление, требуемое для поддержания я0) = О, получается из соотношения й, = а(яО), в(а)) + Ь(и('), х('))и = 0 а(0, вбй) и имеет внд и =— з(0, в(з) Рассмотрение нуль-динамики связано с тем, что в общем случае нуль-динамика описывается более простыми уравнениями, чем внутренняя динамика, и в то же время исследование нуль-динамики позволяет судить об устойчивости внутренней динамики.
В случае стабилизации локальная асимптотическая устойчивость нуль-динамики гарантирует асимптотическую устойчивость внутренней динамики. Для задачи слежения локальная (неглобальная) экспоненциальная устойчивость нуль-динамики гарантирует устойчивость внутренней динамики, если желаемая траектория и ее производная до (г — 1)-го порядка принимает малые значения. Нуль-динамика является внутренним свойством нелинейной системы, и ее устойчивость не зависит от выбора закона управления о = о(в0),у„) и желаемой траектории.
Если относительная степень нелинейной системы равна ее порядку, то линеаризация обратной связью по выходу полностью линеарнзует систему, и нелинейная задача синтеза сводится к линейной. Если же относительная степень меньше порядка системы, то лннеаризация обратной связью по выходу только частично линеаризует систему, и пригодность синтезированного на основе линейной модели закона управления зависит от устойчивости внутренней динамики.
Изучение внутренней динамики может быть упрощена, если его заменить изучением нуль-динамики. Гя, б. Ланваразация обратной связью Задачи 6.20. Определить устойчивость нуль-динамики следующих управляемых систем: Х2 + Хз, з хз, -х~ — хг+ и; Хг+ Хз, з ХЗ. -х~+ и; х~ = а) хг= аз = х1 = б) хг= хз = х~ = г) х,= ХЗ = Хг+*з з, — хг+и х~ = в) хг= хз = х~ = хз = Хг =Хг, хг = хз+ и, 2 хз = — хг — хг+ хз + и х1 = Х2 = х3 х~ = Х2 = хз = 6.21. Определить устойчивость нуль-динамики следующих управляемых систем: А=хг, Х2 = ХЗ+Х4 з ХЗ Х4 Х4 = — х1 — хз+и; хг =хг, Хг = Ха+ Х4, з 2 ХЗ =Х4 б) а) х4 = — хг — х4+и; х~ = хдг+хз, Х2 = Хлг+Х4 хз Х4+ и 2 Х4 = — х~ — 2хг — хз — 2х4 х1 Х2 хз Х4 в) е) д) '( -( х| =хг, з Х2 = ХЗ+ и 2 хз = — х~ — ха+и х! Х2+ и з хг = — 2хг+ха, з хз = — 2Х1+2хз+и Х~ =Хг+ХЗ, 2 Х2 = Хг+ Х4, з хз = х4+и, г Х4 = -2хг — Х4; '( хз, 2 хз+и, — х! — хг — хз + и; Хг, з ха+и„ -Хг — ХЗ + и' хг3+ и 2х2 + хзз — 2х1 — хг — 2хз + и; хгз+ и, — 2хг + хзз — хг — 4хз+ и.
= 2+ХЗ, з =Хг+Х4, = Х4 + и, = -2хг — хз+ 2х4, = Хг+ХЗ 2 = Хат+ Хи =Х24+и, = хг — хз — 2х4; 6.4. Омвемм 159 Х! =Х2+Хз, з Х2 = ХЗ + ХЗ + В, з Х! = Х2 + Хзз, Х2 =ХЗ+ХЗ+Ю, з ХЗ =Х4, х4 = -х! — 2хз + х4, Х! = Х2 + ХЗ, з Х2 =Хз+ХЗ+и, з ХЗ =Х4, х4 = -х! +Хз — 2Х4 ж) з) ХЗ = Х4, х4 = -хз — 2хз — х4; Х! =ХЗ+ХЗ, 3 хз = ХЗЗ+хз+и, и) ХЗ =Х4, х4 = -хз — 2Х4; Ответы 6.1. а) Ц42(х) = х! + 2; б) Ца(х) = 4х22, в) Х,ЗГгг(х) = х! + 4алз, г) Хза(х) = 2хз + 2 д) Хза(х) = бх42; е) Хза(х) = х!хз + 4хзз., ж) Хуа(х) = х! + 2х!х22+ 4Х~!х~~; з) Хзуа(х) = 2Х! +4ХЗ~, и) Хг~а(х) = = х! + бх4.
к) Х,за(х) = 2хз+бх4. 6.2. а) айу6= ~ Х!; б) аду6= ~ ); в) аду8= ~ ~; г) а4)у6= ; д) а4)у6 =; е) адГ6 =; ж) аИГ6 = з) аг)!8 =; и) айуц =; к) айуц = 6.3. а) а4ф~8 =; б) а4ф8 =; в) аЯ~8 =; г) а4ф6 = —; д) агХЗ 8 =; е) ад2~6 =; ж) агф6 =; з) агг' ц = 6.6. а) гапбУ = 3; б) гап8У = 3; в) гап8У = 2; г) гап8У = 3 при хз ~ О и гапбУ = 2 при хз = О; д) гап8У = 1; е) гап8У = 3 при хз ф О и гап8У = 2 при хз = О; ж) гапкУ = 3 прн хз ф О и гап8У = 1 при хг = О; з) гап8У = 3 при хз ф О и гап8У = 1 при хз = О; н) гап8У = 3 при хз 24 О и гап8У = 1 при хз = О; к) гап8 У = 3 при х!Хз ф О, гап8 У = О при хз = О, гап8 У = 1 при х! = О и хз уЗО.
6.8. а) линеаризуема; б) линеаризуема; в) не лннеаризуема; е) лннеаризуема; ж) не линеаризуема; з) линеаризуема; и) не линеаризуема; к) линеаризуема. 6.9. а) г! = х!, 22 = х! + хз, з з з н = — [ — х! — хзз+ Зхзз(х! + ХЗ вЂ” х!) + о]. Зхз Гл. 6. Лииеаризалил аб аа1иод салзью б) 2! = Х2, 22 = — Х1 — Х2+Хз, 3 и = — (хз — (1 — Зхзз)(х1+ хз — хзз) + е]; в) 2! = х1, гз = 2хз+ хз, 1 и = -[-Зхз!(2хз+ х31) — 2(хз+ Х22) + о]; 2 Г) 2! = Хз, 22 = — ХЗ+Х1Х2, 1 и = — ] — хз(х! + х31) — (х! — 1)(х1хз — хз) + о]; х! — 1 д) 2! = х1, 22 = 2хз+ Хз 23 = бхз+ 9хззхз+ 2хз+ Зхзхп 1 и = ] — (бх21 + 9хззх21)(2хз + хзз) — (18хзхз + бхзх31) х 6+ 9х22 х (Зхз + Х31) + (б + 9х22)хз + е]; е) с! =х1, 22=2хз+Х1.
23=За](2хз+х!)+2(ЗХЗ+4), 1 и = — -](12х1хз+15х4)(2хз+х1)+(бх1+10хз~)(Зхз+хзз)— б -6(х! + хз) — е]; ж) г! =х1, 22=3хз+хзз, гз=ЗХЗ+Зхззхз+бх!Хз+бх!хз, 1 и = ( — 6(хз+хз)(ЗХ2+хз~) — б(хзхз+х1+Зх1х22)х + 2 х (хз + 2х1х2) + З(1 + х22) хз + э]; 3) 21 = х1 + хз, 22 = хз — х1, зз = — х2 — хлз — бхз(х1 + х2), 1 и = ( — 5х43(хт+ хзз) — 2хз(1 + 5х34) + 5хзз(х1+ хз) х 1+ бхз4 х (хз + 4х! + 4хз) — и]; И) 3! =Х1, 22=Х2, ЗЗ=ХЗ, 24=Х4+Х!Х2, и = — (Х2 2+ х! хз) + е; к) г! = из-х4, 22 = х,, зз =За'-,хз, 24 = бх1хз+Зхзхз, 3 и = — — (бх + 18х1хзхз — е).
з Зхз 1 6.20 а) асимптотически устойчива в целом; б) асимптотически устойчива в целом; в) асимптотически устойчива в целом; г) асимп- тотически устойчива в целом; д) асимптотическн устойчива в целом; е) асимптотически устойчива в целом; ж) не устойчива; з) не устойчи- ва; и) не устойчива; к) асимптотически устойчива. 6.21. а) не устойчива; б) не устойчива; в) аснмптотически устой- чива; г) не устойчива; д) асимптотически устойчива; е) не устойчива; ж) асимптотически устойчива; з) не устойчива; и) асимптотически устойчива; к) ие устойчива.
Глава 7 СИСТЕМЫ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА При рассмотрении систем управления большой размерности широко используется методы, сводящие исследование исходной системы к исследованию более простых моделей. Одними из таких методов являются мелгод сравнения и мееюд декомпозиции. Метод сравнения состоит в построении и исследовании системы сравнения, которая проще исходной системы. Метод декомпозиции состоит в разбиении исходной системы на несколько подсистем и рассмотрении последних. 7.1. Декомпозиция и децентрализация Обычно системы большой размерности состоят из нескольких подсистем, или их условно можно разбить на искусственные подсистемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
