Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Линейная стационарная система, если она устойчива, то она экспоненциально устойчива в целом. Теорема 7.1. (Н.Н. Красовский (13)). Если положение равновесия системы (7.3) экспоненциально устойчиво, то существует функция Ляпунова Ь'(х,г) и положительные постоянные сс (1 = 1,2,3,4) такие, что выполняются неравенства с~~х~ < У(х,Ф) < сз1х~, У(х,й) = зу(х,й) ~ ~сз~х( дУ(х, т)1 1 < слоях~. В случае экспоненциально устойчивой линейной стационарной или нестационарной системы существует квадратичная форма р"(х) = = к~ Вх или У(х,8) = к~В(г)х, удовлетворяющая условию теоремы Красовского. В случае экспоненциально устойчивой нелинейной системы соответствующая функция Ляпунова может быть не квадратичной. Теорема 7.2.
Если положительно определенная квадратичная форма Ъ'(х) = хт Вх является функцией Ляпунова системы (7.3), и производная от нее по времени в силу уравнения (7.3) принимает 7.г. Ввкто ныв функции Лллунова. Устойчивость системы 169 вид У(х) = чо(х) = — хтСх, то в качестве констант с; (1 = 1, 2, 3, 4) можно принять с! = Лч„, сз = Л$, сз = Л,„и сч = 2Лзг, с и гдв Лн и Лф — минимальное и максимальное собставенныв значения матрицы В и Лс — минимальное собственное аначвние матрицы С. Норма матрицы. Пусть А — произвольная прямоугольная (т х х и)-матрица и задано преобразование у=Ах, хеВ", уЕВт.
В пространствах В" и В определены нормы 1(х)! и !)у)! соответственно. Норма матрицы А определяется следующим образом [7): !!А!! = зпр !! А 1! в ьз Здесь !!Ах)! — норма вектора Ах в пространстве В Норма матрицы А определяется как самой матрицей А, так и теми векторными нормами, которые введены в пространствах В" и В При изменении норм в этих пространствах изменяется норма матрицы. Если в пространствах В" и В™ введены эвклидовы нормы: !!х)! = !х! = з/хтх =, 2,' х~, !!у(! = )У) = ~/уту =, 2 ут, то норму у' ь=! )! ь=! матрицы А будем назйвать эвклидовой и обозначать также 1А1 Из определения нормы следует неравенство (!Ах!! < )!А(! )!х!!.
Для (пз х и)-матриц А и В при одном и том же определении векторных норм справедливо неравенство )!А+В)! < !!А!(+ )!В!!. Пусть Л вЂ” число. Справедливо равенство !)ЛА!! = !Л~ (!А!!. Если определены нормы (гп х 1)-матрицы А, (1 х н)-матрицы В и их произведения АВ, то справедливо соотношение !!АВ!! < !)А(! )!В!1. Утверждение 7.1. Эвклидова норма матрицы А равна квадратному корню из максимального собственного значения Лзг произведения матриц .4тА. !А! = !7'Лм. 170 Тл. 7.
Системы большой розмв ности. Векторная ф нкция Ляп нова Устойчивость агрегированной системы. Рассмотрим систему, которая после декомпозиции описывается уравнениями Пусть каждая из этих подсистем обладает функцией Ляпунова 1»(х®, 1), которая удовлетворяет следующим соотношениям: сы ~х( 1~ < 1»(х( 1,1) < с»т ~х( 1/ $5»(х1~1,1) < — с»з ~х(~1~ ! д)7»(х®,С) ~ ! 1»1~ дх1»1 (7.6а) (7.66) (7.6в) В (7.66) К,(х®,1) являются производными по времени в силу уравнений (7.5). Так как эти производные отрицательно определены, подсистемы Я» (й = 1,2, ..., г) асимптотически устойчивы.
Кроме того, в силу условия (7.6а) функция в»(х!»1,1) имеет бесконечно большой нижний предел. Поэтому подсистемы Я» (й = 1, 2, ..., г) асимптотически устойчивы в целом. Теорема 7.3. (Ва1!еу Е. Х.). Пусть подсистемы (7.5) обладают функциями Ляпунова У»(х®,1), удовлетворяющими соотношениям (7.6), и элементы матрицы Р = (д»!) (й, ! = 1,2, ..., г), составленные из констант с»и входящих в соотношения (7.6), и звклидовых норм матриц взаимосвязи Ны из (7.4), имеют вид с»з 2с»з ' (сы)т ~ (Н»1( 1=! уф» (7.7) 2с»зсц Тогда, если положение равновесия в = 0 системы й=Рх, хбН" х® = Х»(х!»1, 1) + ~ ~' Н»вхО) 1= ! (7.4) уф» (Х"(0,1) = 0 У1 > то), Й = 1 2.
-" ° г, где Н» — числовая (и» х п,)-матрнца. Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем Я, (й = 1,2, ..., г), которые описываются уравнениями х(~! = Х~(х(~1,1) (Х~(0,1) = 0 И ) то), й = 1,2, ..., г. (7.5) 7.2. Векторные функции Ляп нова. гстойчивость системы 171 асимптотически устойчиво, то полоясение равновесия х = = ((х01)т(хбй) °" (х1"1) ) = 0 агрегированной системы (7.4) асимптотически устойчиво. Матрица 17 уравнения системы сравнения обладает специфическим свойством: все ее элементы, расположенные вне ее главной диагонали, являются неотрицательными. Такие матрицы называются М-матрицами. Критерий Севастьянова — Котелянского.
Если (и х и)- матрица С = (с; .) является М-матрицей, т. е. с; . > 0 (1,2 = 1,2, ... ..., п 1 ф 2), то для того чтобы вещественные части всех ее собственнык значений были отрицательны, необходимо и достпаточно, чтобы выполнялось условие с1~ сш " сиь ь сз1 стз " сзь > О, й = 1, 2, ..., и. ст сьз " сьь Если вещественнме части всех собственных значений квадратной матрицы отрицательны, то такая матрица называется устойчивой. Поэтому критерий Севастьянова-Котелянского является критерием устойчивости М-матриц. Последние неравенства называют условием Севастьянова-Котелянского [5) .
Необходимое условие устойчивости М-матрнц. Для того чтобы М-матрица С = (с; ) была устойчива, необходимо, чтобы все ее агементы главной диагонали были отрицательны: сн ( О, (1 = 1,2 ", п). П р и м е р 7.3. Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих двух подсистем: х~ = -Вх~' — 10яз' +0,2хз, 1 х) = — (4+ ип Й)х! — х2 йз 1 = — 2х1 1 — (2+ е ')хз1 1 + 0,2х1 1. Решение. В векторной форме приведенная система уравнений принимает следующий вид: .ц~ .
х01 = А~х01+ Нщх121, яз: х00 = Атх1з1 + Нм х01. !72 7я. 7. Систаиы большой рааие ности. Векторная функция Дяаунова Здесь *~о= ( !,). А ~ ~ ~о]. и =]о ь~]. ,ц ($") д <-(4+ю'в -в ] ]о о] Если пренебречь взаимосвязями, то получим У~: х~ц = А)хП>, Вз. х<т> = Азха>, Для подсистемы Я~ функцию Ляпунова будем искать в виде квадра- тичной формы К~ =(хц1)тВ~х~'>, В~ = ~ ~, а1 >О. Г1 б) (О а~~ Производная по времени функции $~~ в силу уравнения подсистемы 3~ имеет внд К = 2(х~б)тВ1х(В = 2(х®)*В1А1х~ц = -(ЫВ)гС~х~ц, где Преобразуем и выразим производную К1 с помощью симметричной матрицы: К = — (х~б)тС~хр> = — -(хП>)т(~"~+С, +Ср — ~э,)хб> = 2 = — -(х~ 1) (С1 + С~ )х~ ~ — — (х~ >) (С~ — С~ )х~ >. Второе слагаемое в полученном выражении равно нулю, так как (хц>)'(С,-С',)хр1=((хц>) (Г,-Г',)хб>] =-( В>)т(С, -Г',)хб>.
Поэтому имеем (хЫ ))тС,хб1 где 2(~1 ~~ ) бган 1бо1 1б 10о~ 1б+ бг ~ 2бц 7.7. Венею ные функции Ллл нова. естойчиеость системы !73 Для того чтобы производная К была отрицательно определенной, согласно критерию Сильвестра необходимо н достаточно, чтобы бес С! = ~ = 220а! — 100 — 25а! > О. 1б 10+ бсс! !О+ 5 20 Это неравенство будет выполнено, в частности, прн а~ = 1. При этом имеем О ! ' С !5 20 г(ет(С~ — 1Л) 15 — Л 15 1 15 20-Л ~ ~ = Л вЂ” ЗбЛ + 95 = О.
Корнями этого уравнения являются Л~ = 2,9 и Лт = 33,1. Следовательно, миннмальное н максимальное собственные значения матрицы С~ равны Л~' = Л~ = 2,9 н Лсм' — — Лт = 33,1. Таким образом имеем сы = 2Лм — — 2. в, сы =Лв, 1, сы=Лм =1, с!з=Л~' =29 в, Для подсистемы Ят функцию Ляпунова будем искать в виде квадра- тичной формы Ъз =(х! !) Втх! 1, Вт =, ат >О. тт т 1101 ~0 4' Производная по времени функции йт в силу уравнения подсистемы Зт имеет внд !с = 2(х!т!) Втх1~! = 2(х1~!) ВаАтх! ! = =2( !т!)т ~! 0~ ~-(4+тп т) 1 ~ !2) '(О ат! '1 — 2 — (2+с ')! = — 2[(4+з!пт!)(х!т!)т+(2ат — 1)х! хт +(2+с )ат(хт ) ] Если положить ат = 1/2, то производная тт принимает внд 'тт = — 2 (4+гйпт!)(х1~ !)т+ -(2+с ')(хт! !) 2 Так как матрица В~ является диагональной, то ее собственные значения совпадают с днагональными элементами.
И, следовательно, ее минимальное н максимальное собственные значения равны еднннце: Лв' = Л ' = 1. в м— Найдем собственные значения матрицы Сь Ее характеристическое уравнение имеет внд 174 2л. 7. Системы большой размерности.
Векторная нкция Ляяунова 2 (4+а1п22)(х1~2) + — (2+е ')(х2~1) >2 (х~11) +(х211) 1 то 2 2 02 < 2 ~ 121~ Поэтому имеем с21=ЛВ'=1/2, с22=Лф=1, с22=2, с24=2Лф=2. Чтобы определить элементы матрицы Р системы сравнения, необходимо найти нормы матриц взаимосвязи Н;,. Эвклидова норма матрицы Нь равна корню квадратному из максимального собственного значения произведения Й„. = (Н21)тН,зя Так как Й 2 (Н 2)тН12 Й21 (Н21)ТН21 О 021 0.2 01 0,2 01 0 0,21 Р.М 002 О~ Лй" = 0,04; М ~Н12~ =Лыа — — 0,04, (Н21) =Л~и =0,04.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
