Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2 Йа 2 Й22 По формуле (7.7) для элементов матрицы Р находим: с1з 29 411 = — — = — — ' = — 1,45, 2с12 2 сзз 2 2122 = — — = — — = — 1, 2с22 2 2112 = )Н12! = — 0,04 ск 0,055, (сы)2 2 4 2с1зс21 2 9 й„= — )Н21! -0,04 а 0,04, (с24) 2 4 2сззс11 4 ' Матрица Р принимает следующий вид: — 1,45 0,055 Матрица Р является М-матрицей. Проверим выполнение критерия устойчивости.
Ь1 = ( — 1)( — 1,45) = 1,45 > О, Ь2 = ' ' ~ = 1,44 > О. -1,45 0,111 О,ОВ и она является отрицательно определенной. При этом матрица В2 Г! 01 принимает внд Вз = ~ ~, и ее минимальное и максимальное (о 1!г~' собственные значения равны Лф = 1/2 и Лщ — — 1. Так как 7.2. Векторные функции Дял нова. Устойчивость система 175 Критерий устойчивости выполняется. Следовательно, система сравне- ния н соответственно агрегированная система устойчивы. Устойчивость агрегированной системы с нелинейными взаимосвязями.
Рассмотрим агрегированную систему, которая описывается уравнениями хйй =А»х1"1+ЬОО(х0> х(" 0 х1"40 х1"1) (7.8) х("1 Е В"', Й = 1,2, ..., г. Здесь Ь(»1(0, О, ", 0) =О, т. е. начало координат х=((х01) (хрй) ". (х("1)т) = 0 является положением равновесия. В данном случае взаимосвязи между подсистемами описываются нелннейнымн функцнямн. Этн функции удовлетворяют соотношениям ~Ь(~1~ < ~~~ Ь»,~х1'1), й»1 > О, й = 1,2, ..., г. (79) 1=! еФ» дн»~х1»1~' < у (х00) < Лны»~х1»1)з, У»(х(~1) < — Л„," )х( 1), ! ~ ! ( ь" )*">) д/ х(»1 (7.11а) (7.116) (7.1 1 в) где л„,1, лф — минимальное н максимальное собственные значения матрицы Вы л,"„» — минимальное собственное значение матрицы С».
Теперь рассмотрим теорему, которая позволят определить, как строить систему сравнения для агрегированной системы (7.8) с нелннейнымн взаимосвязями, удовлетворяющими условию (7.9). Теорема 7А. Пусть квадратичная форма У»(хРО) = (хРО)тх хВ»х(»1 является функцией Лялунова для подсистемы (7.10) и эле- Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем Яю которые описываются уравнениями х(~1 = А»х®, х(~1 е В"", й = 1, 2, "., г. (7.10) Пусть положение равновесия хРО = 0 подсистем Я» устойчиво.
Тогда прн любой положительно определенной (л» х л»)-матрнце С» существует матрица Вю удовлетворяющая уравнению Ляпунова А»тВ» + В»А» = — С». Квадратичная форма ЪЦхрй) = (хрй) В»хРВ является функцией Ляпунова для подсистемы Я». Она в соответствии с теоремами 7.1 н 7.2 удовлетворяет соотношениям 176 Тл. 7. Системы бслыиой азм ности. Веет ная ф нк Лянуноеа менты матрицы Р = (й „) имеют вид Лс, — й=(, 2ЛНь ' (Лиь)2 Е !)З„.[2 1=! )фа (7.! 2) Лс» Тогда, если нулевое решение системы з=Рз, зеЯ" П р и м е р 7.4. Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих трех подсистем: | ~ ~ ~~ ~ 2 1[ | ~ | | ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | | 2 | 2 ! > 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ а > ~ ~ | 2 | 3 ~~ х(1" = -*',"+х("+0,05а1 х('), х( ) = — 2х( ) + 0,05(1 — соа 2х( ) ), - (2) (2) (2) (яа) ) хз = х) — 4х +0,1(е [Я~ — 1); хз( ) — — 5х( ) — бхз( ) + 0,05 тп 2х(').
Решение. Запишем приведенные уравнения в векторной форме: Я~: х(') = А1х(') + Ь1(х(2), х(з)), Яз. х(2) = Азх(2) + Ьз(х('), х(з)) Вз: х(з) Азх(з) + Ьз (х('), хйй) Здесь 1 () 005 ашх, (2) — 2 0,1(е [Я~ ! — 1) Ь(2) 1 0,05(1 — соа2х1 ) ~ ((,>), А, [ (ь). А-[ (и). А=[ х0) = х(2) = (3) устойчиво, то и положение равновесия х = 0 агрегированной систе- мы (7.8) асинптотически устойчиво в целом. 7.2. Векторные функции Лянуноеи. Устойчивость системы 177 Если не учитывать взаимосвязи, то получим трн независимых подси- стемы: Я!. х(') = А!х('), Ят.. х(з) = Азх(т), Яз. х(з) = Азх(з). Функции Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы !гь = = (х(ь))т'Вьх( ) (й = 1, 2, 3), где матрица Вь определяется нз уравнения Ляпунова АтВь + ВьАь Сь при условии, что Сь = ~ ~ (й = 1,2,3).
Определим матрицы Вь (!О О! — ~О 101 (й = 1,2,3). Прн й = 1 уравнение Ляпунова принимает внд 1 -2 6(') 6(') Ь(') 6(') 0 -2 0 РО нли, после перемножения матриц, — Ьц — Ьм 1 1-Ьц Ьц — 2Ь,з 3! 10 0 (!) (!) 1 г (!) (!) (!)т 6( ) — 2Ь( ) 6(!) — 26( )~ ~ — Ь(!) 6( ) 26(~)~ 0 1 0 ц т! !2 22 2! 2! 22 Учитывая равенство Ьц — — 6 (, это уравнение в скалярной форме мож- но записать в виде Отсюда находим Ьц — — 5, 6(з — — Ьз! — — 5/3, Ьзз = 10/3 н В! = !5/3 10/3~ Собственные значения матрицы В!, нли корни уравнения йес(В! — ХХ) ж ~ = йз — — )!+ — = О, 15 А 5/3 ! т 25 125 5/3 ! О/3 — Л! 3 9 равны Л! ж 2,3 н Лз с ч б.
Поэтому для минимального и максимального собственных значений матрицы В! имеем Лн! = 2,3 н Лф = б. При й = 2 уравнение Ляпунова принимает вид 0 — 4 6(т) 6(з) + 6(з) 6(з) 1 4 0 1О 178 Гя. 7. Сиетеиы большой раеме ности. Векто ная функция Ляпунова или, после перемножения матриц, В скалярной форме это уравнение принимает вид Отсюда получаем Ь22 =-иВ2= 09 5 4 Ь!21 125 Ь,' =Ь„=— 00 00 5 24 Составив характеристическое уравнение и решив его, для минимального и максимального собственных значений матрицы Вз получаем Лв' 1,23 и Лм! ш 2,61, При Ь = 3 уравнение Ляпунова принимает вид б Ь121 Ь1з1 + Ь12! Ь12! 5 6 0 10 или, после перемножения матриц, — 5Ь! ! — 5Ь! ! ~ ~ — 5Ь! ! Ь! ! — 6Ь! ! 21 22 ! !2 11 12 Ь12! 6512! Ь1з! 651з)~ ~ 5512> 5121 6Ь121~ 0 10 !1 21 !2 22 22 В скалярной форме это уравнение принимает внд Отсюда получаем Ь!! — — 11, Ь!2 — — Ьз! — — 1, Ь22 — — 1 и Вз = 12> 12> 1з1 Составив характеристическое уравнение и решив его, для минимального и максимального собственных значений матрицы Вз получаем Лнз аз 0,9 и Лф м 11 110 01 Так как матрица С! = ~ ~, (! = 1,2,3) является диагональной, ~0 10~' то ее собственные значен~я совпадают с ее диагональными элементами, Поэтому имеем Лс, 10 ! 1 2 3 Чтобы определить элементы матрицы Р, то согласно формуле (7.12) нужно определить постоянные (Ьь!)2 (/с,у = 1,2,3, Ь ф,~).
Эвклидовы 7.2. Веко«орные функции Ляпунова. Устойчивость составы 179 нормы векторных функции 12«(! = 1, 2, 3) удовлетворяют соотношениям !12!«1! = 0.0025(зшх1! 1)2+ О,Оце !~ ! — 1)2 < < <0,0025(х1! 1) + О,Оцх!! 1) < 0,013(х1! 1)2 < 0,013/х1~1!, !Ь121!' = 0,0025(1 — 2 1«21)2+ О,Оце-!ь"'1 — ц' = =0,0025 4з1п~х1! 1+О,ОЦе !~«! — 1)2 < < О.Оцх1«21)2+ О,Оцх!21)2 < 0,02(х,'")' < 0,02!хР1 !' !1Р!! =О,Оцх201)зе 2!*«!+0,0025(ейп2х11)2 ~ < О,Оцх21 1) + О,Оцх1 1) < 0,01 !х01! . В соответствии с неравенством Коши-Шварца имеем з з !121ь1! < ~ Ь «!х00! < ~~ Ьз« ~~«!х01! .
«= ! «««ь Поэтому из выше приведенных соотношений находим Ь22 — — 0,013, Ь«з — — О, Ьз! — — О, Ьзз — — 0,02, Ьз! — — 0,01, Ьзз — — О. Для удобства выпишем здесь полученные выше собственные значения матрицВьиСь(1=1 2 3).Лв, 23 Лм =6 Лфсв!23 Лм ~ьн261 Лв, 09 Л~~ьи11 Лс, 10 ! 123 Теперь определим элементы матрицы В по формуле (7.12): Лс, 1Π— — = — 0,84, 2 6 «1!! = 2ЛВ' м лс 10 2 ° 2,61 2л~м ЛСз 1Π— = — 0,45, 2-11 2лвз м 2(ЛВ«)2 2 62 (Ь«2+ Ь«з) = 0,013 = 0,076, 2-6 (Ьш+ Ь«з) 0,013 — 0 104 2 261«2 Лс«ЛВ« 2(ЛВ«) 2 «1«з = ЛС, ЛВ« 2(ЛВ!)2 «12! л„лв !80 бл.
7. Системы большой размерности. Векторная нк ия Лян нова — 0,84 0,076 0,104 Матрица Р имеет вид Р = 0,012 — 1,91 0,03 . Она является 0,01 0,20 — 0,45 М-матрицей, и необходимое условие ее устойчивости выполняется. Проверим условие устойчивости Севастьянова-Котеляиского Ь)=( — 1)( — 0,84)=0,84>0, Ь2= ~ ' ' ~ =1,6>0. ! — 0,84 0,0761 !0,0!2 — 1,91~ -0,84 0,076 0,104 0,012 — 1,91 0,03 0,01 0,20 — 0,45 сзз = (-1) =1,33 >О.
Условие устойчивости выполняется. Следовательно, система сравнения и агрегированная система устойчивы. Задачи 7,4. Определить евклидову норму следующих матриц в) ж) 1 2 0 532 2 4 3 7.6. Показать, что следующие системы, состоящие из двух взаимосвязанных подсистем, асимптотически устойчивы. Я)) х, = — 4х, — хз +0,2х) ° (1) (1) (1) (2) х(') = -2х(11) — бхз(1) + 0,1 2 1 2 52) х(2) = — (5+ тп 2)х(1~~ — хз() + 0,2хз(), х() = 2х(1 ) — (6+е ')хт() +О,!х(1 ). а) 2(Лм) 23 Лезу 2(Лм') Лс*лй 2(Лнм*)2 ) сзЛнз ! зз~ 2 1 4 123 200 2 26112 ()з~ +))2 ) = ' ' 0,02ЫО,ОЗ, 1О 0,9 2.
112 (!131 + ))32) 1 О 01 2 ° 11 (Ьз) + пзз) — „, 0,01 ~ 0,20. 182 !л. 7. Системы оолыиой размерности. Векторная функция Ляпунова — 10х(!) — Зх( ) + 0,3х( ), ! 2 ' 1 — 4х, — 5х + 0,2х О) (!) (2). -(3 + сов 22)х! — х2( + 0,1х2( ), х(2) — (4+2вп22)хз() +0,05х! ). — Зх( ) — 2х( ) + О,Ы ), — Х, — Х2 -х(!) — 4х(') + 0,4х( ); — (2+ва22)х! — х2 +0,2х2 (2) (2) (!) 0,5х( ) — (3+е ')х( ) +О,Зх( ). Я! х() !!х! х() Я2: х( ) х() и) д) 7.0. Показать, что следующие системы, состоящие из двух взаимосвязанных нелинейными связями подсистем, асимптотнческн устойчивы.
а) б) х( ) о . 2(2) г) Я!: х( ) .(2) х() 2 Я! х( ) !! х! х() Я! х() !! х, х( ) хР) — 4х( ) — х( ) + 0,2х( ), -2х, — бх2 +1 — сов0,2х2 ., (!) О) Р). (5+ в!аз 2)х(') х(') + 1 е-од)*!ч! 2х(! ) — (б+е ')хз() +2(соаО,!х( ) — !). -Зх, — хз +соа0,2х, — 1, Р) (!) (2) -(4 + 2е ')х, — 0,5хз + 0,1(1 — соах2 ), х( ) — (3 + вп 2)х( ) + та 0,1х( ). -2х! — х2( +5аш0,1х! -0,5х, — Зхз + 1 — сов0,5х (!) (!) (2) — (2+ ва22)х! ) — 2х( ) + З(соа0,1х2 ) — 1), х( ) — (3 + 2е ')х( ) + 1 — е ~4*'и! 0! ао)(1 -4х! — 5х2 + совО,Зх2 — 1; 0) (!) Р) — (3 + е ')х(! ) — х( ) + О,! х( ), х( ) — (4 + 2 иаз С)х2( ) + ва О,! х(! ) . 184 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
