Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При этом основным методом исследования систем большой размерности является мегяод декомпозиции — метод, при котором исходная система разбивается на более простые естественные или искусственные подсистемы. Эти подсистемы получаются зависимыми. Далее, путем пренебрежения взаимосвязей получают независимые подсистемы. После этого каждая из подсистем анализируется отдельно и для каждой нз них строится регулятор. Затем производится агрегирование — объединение подсистем в одну систему с учетом отброшенных связей— и последующее исследование. Преобразование Луенбергера. При рассмотрении децентрализации по управлению используется преобразование Луенбергера ((.иепйегдег).
Это преобразование позволяет представить уравнения системы в таком виде, при котором каждое уравнение включает не более одной управляющей координаты. Пусть система описывается уравнением х = Ах+ Вц, х е г1", н е г1'. (7.1) Заданы 1 (1 — размерность вектора управления) целых чисел сн (1 = = 1,2, ..., 1), сумма которых равна и: ~',г, сн = и. Преобразование 1б2 Гл. 7. Системы большой размерноспш.
Векторная ф нкння Ляпунова х = Тя называется преобразованием Луенбергера, если матрица пре- образования Т имеет вид т = [В(') АВ(') ". А"'-'ВРО В(') АВ(2) " А" -'В(') " В(2) АВ(() ". А" -'В(')1, (7.2) где В(0 (1 = 1,2, ., 1) — 1-й столбец матрицы В. При таком преобразовании в преобразованном уравнении й = Ах+ Ви, А=Т 'АТ, В=Т 'В, матрица В имеет вид ь(1)— О~ 0( -" Ь(О где 0; (1 = 1,2, ..., 1) — столбец из нулей размерности и,.
Пример 7.1. Дана система уравнений Произвести преобразование, при котором каждое ураянение содержит не более одной управляюшей координаты. Реп2е н ие. Воспользуемся преобразованием Луенбергера. В данном случае матрицы А и В имеют вид В(') = 2, В(2) = 1 Примем и~ = 2 и п2 = 1. Тогда имеем 2 АВ(') = 3, Т= [В(~) АВ(~) В(~)) = 5 А= [ (2) о " о 02 Ь(2) ... О, В= х~ =х2+и1+2и2, х2 =хз+2и(+и2, хз = х1 + хз + Зи~ + и2.
-2 8 — 4 Т'= ! — 5 3 ! 1 — 1 7.1. Декомпозиция и децентрализация Для матриц преобразованного уравнения получаем 1БЗ 4 7 — 3 А=Т 'АТ= — 2 — 3,5 2,5 1 15 -05 В=Т !В= Уравнения в новых переменных в скалярной форме принимают вид з! =4з!+7зз — Ззз+и!, зз = — 2з! — 3,5ез+ 2,5зз, зз =з!+1,5аз — 0 5зз+вз. Пример 7.2. Система описывается уравнением х = Ах+ Вц, х е Л~, ц е Л~, Децентрализация по входу. Для того чтобы можно было синтезировать локальные регуляторы для каждой подсистемы отдельно, нужно произвести децентрализацию по управлению (входу).
Если декомпозиция не произведена и система описывается уравнением (7.!), то к нему нужно применить преобразование Луенбергера (7.2), представив п в виде суммы 1 целых чисел пь(т! = 2 пь). ь=! Затем произвести декомпозицию, включая в подсистему Я! только те уравнения, которые содержат компоненты локального управления этой подсистемы и, быть может, уравнения, ие содержащие управление. Последние с точки зрения децентрализации могут быть включены в любую подсистему. Если система состоит из г подсистем и задается уравнениями хгь! = Аьхйб+ ~~ Аь1х(!3+Вин, х(ь)ЕЛ"', нЕЛ!, Й = 1,2, ..., г, у=! уфь где Аь — (пь х пь)-матрица, Аьу — (пь х пз)-матрица, Вь — (пь х 1)- матрица, то преобразование Луенбергера можно применить каждой подсистеме в отдельности.
В этом случае, представив размерность пь к-й подсистемы в виде суммы 1 целых чисел пь! (! = 1,2, ...,1), для матрицы Ть преобразования Луенбергера х(ь! = Тьхйб получаем (см. (7.2)) Ть =(Вь()АьВ!'1" (Аь)нм Вь(~' " В~~!АьВ!',) ". (Аь)!"ы ~)В!',)1, где „— 1-й столбец матрицы Вь. После преобразования Луенбергера 0! каждой подсистемы, нужно произвести перегруппировку уравнений так, чтобы в каждую подсистему были включены только те уравнения, которые содержат компоненты локального управления соответствующей подсистемы. !64 вл. 7.
Системы большой азмерности. Векторная функиия .)7яа нова состоящая нз двух подсистем х(') = А ~ х(') + А1ах(~) + В1 м, х(~) = Аз| х(~) + Атх(т) + Вам, где х(') = (х1 хт)т, х(т) = (хз хе хз) н А|т = 102'О Ат = 2 -2 1 Требуется произвести децентрализацию. Ре ш е н н е. Произведем преобразование Луенбергера каждой подсистемы. Так как размерность первой подсистемы совпадает с размерностью вектора управления, то иы = пд = 1 н матрица Т~ преобразования Луенбергера хСО = Т(з(О для нее совпадает с матрицей Вы Т вЂ”  —, Т, Размерность второй подсистемы равна пт = 3. Положим ит| = 2 и отт = 1. Тогда матрица Тт преобразования Луенбергера х(т) = Ттз(т) имеет внд Тт = '1Вт~ ) АтВт~ ) Вт( )], где Вт н Вт — первый н второй столбцы матрицы Вт.
Так как О) (2) АтВт() = то Т '= —— Матрицы преобразованных уравнений зО) вв А~з(') + Амз(~) + В~п, з(т) = Аз~ з(1) + Азз(т) + Втм А, А, [ 1 О] о] в,= [ 12 -17 — 8 — 3 2 2 — б 10 1 7.1. Декомпозиция и де!4еие! изация имеют вид А =Т-!А Т = ! ! 1!1, А = Т 'А Т 112,5 32,25 131 ! ! ~ 4~' !2 ! !2 2 ~15 2,75 0 1 ' ] Аз = Тз А2Т2 = 0 5,78 — 3,44 1 0,56 0,89 6 — 0,22 — 2,5 в,=т в,= о 0 Аз! — — Тз АюТ2 -! В скалярной форме уравнения в новых переменных принимают вид й! =-22+1122+12522+32,3524+!Зев+и!, 22 = — 422 + 1,5зз+ 2,75а4+ 222+ мз. 2з = 2 ! — 0,7822 + 5,7824 — 3,4422 + и!, 24 = 0,4422 + аз + 0,5624+ 0,892ю зь = 0 2222 + бзз — 0,2224 — 2 бзь+ из.
Разобьем полученную систему на две подсистемы Я! и Яз. В подсисте- му о! включим уравнения, содержащие управление и!, а в подсистему Яз — все остальные уравнения. Тогда получим Я! . 'й! = — з! +! 122+ 12,5зз+ 32,3524+ 1322+ и!, зз = з! — 0,7822+ 5,7824 — 3,44зь + и!, Яз: 82 = — 422+ 1,522+ 2,7524+ 2зь+из, 24 =04422+22+05624+0,89зь' зь = 0,22зт + бзз — 0,2224 — 2,56зь + из. Для упорядочения переменных произведем еще одно преобразование: з! з! 22 23 зз з2 24 24 зь = зь.
Я! . 2! = — У! + 12 522 + 1! 22 + 32 3524 + !Зать + 44!, 22 = з! — 0,78ЗЗ + 5,7824 — 3,4422 + и!, Яз: Уз = 1,522 — 422+2,75з4+ 2зь+из, з4 = 72+ 0,4422 + О,ббзь+ 0 89зь' зь = 672 + 0,22зз — 0,2274 — 2,562ь + из. 1 — 0,78 0 0,44 0 0,22 Тогда уравнения подсистем примут внд '1 !бб Га. 7. Системы большой размерности. Векторная функция Ляпунова Задачи Х1 = Х2+ и! + ИЗ. а) хг =хз+ию ХЗ = Х1 + Хг + и1! < х! = хг + хз + им В) Х2 = ХЗ+и1, ХЗ = Х2+ ХЗ+ иг~ < х! =хз+ию д) хг =хг+хз+и! хз = х1+ хз+ и!+ ИЗ Х1 = Х2 + И1 + И2, Ж) Х2 = Х2+ХЗ+И2, хз = хз + и1; Х! =Х2+ХЗ+и!, и) хг =хз+и1, хз =хз+иг; 7.2.
Произвести преобразование, содержит по одной управляющей коо х! = хг + и! + Иг, а) х2 =хз+иг+из, хз = х1+ х2+ И!1 ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~! х! = хг + хз + и! в) хг = ха+и!+из, хз = х2+ хз + И2+ ИЗ; Х1 = ХЗ+И2, д) хг =хг+хз+и1+из, хз = х! +х3+ и! +Из; х! = хг + и1, ж) хг = хг + хз + иг + из, хз =хз+из; х1 = х2 + хз + и1, и) х2=х2+и1+из, хз хз+ из+из х! = хг+из, б) х2 = х2+хз+и1+ И2. ХЗ = Хз+И21 < Х1 = Х2+хз+ и! ° г) х2 =хз+И2, хз = хз + и! + И2!' ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ !~ Х! = Х2+иг, е) Х2 = ХЗ+и! хз = х! + хг + и! + Иг!' ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ !~ Х! =2Х2+ХЗ+ И1. з) хг = Зхз+И1, хз = х2+ хз + И21 х! =Хз+И1+из, к) х2=х2+хз+И2, хз = х! + Хз + И1. при котором каждое уравнение рдинате.
Х1 = Х2 + И2 + ИЗ, б) хг=хг+хз+И!+из, ХЗ = хз+И2 х! = хг+хз+иы г) хг =хг+иг+из, ХЗ = хз+из Х! = Х2+И2, е) хг =хз+и1+из, хз = х1+х2+И1+ И21 х1 = х2+хз+ и2+из, 3) Х2 = ХЗ+И1 +И2, хз = х2+хз + И2; Х1 = хз + и!+ и2, к) х2=х2+хз+И2+из, хз = х! + хз + и1. 7.1. Определить матрицу Т преобразования Луенбергера, при котором 1-е и 3-е уравнения преобразованной системы содержат управляющие координаты, для следующих систем. 7.2. Веке!о ные функции Лялуноеа. 'естояннеость системы 167 7.3.
Произвести декомпозицию на две децентрализованные подсистемы 2-го порядка следующих систем. х! = х2+ и2, а) Х2 = Хз+и! ХЗ = Х4, х4 = и!+ и21 х! = хз + иь хз =ха+и!, б) ХЗ =Х4 х4 = — хз — хе+ и!+ из; Х! = Хз, в) хз = хз + и! + иь хз = х4+им х! = хз+из, г) хз = хз + и! + из, хз = хе+и!, х4 = -х1-хе+и!+из; х4 = х2 хз+и2 х! = Х2+ и!+ из, х! =ха+из, х2 = хз+и1, х2 = хз+и2, хз = хе+ и! + и2, е) д) х4 = — х2 — хз — х4 + и1; ж) к) и) 7.2. Векторные функции Липунова.
Устойчивость агрегированной системы После анализа и синтеза подсистем ил объединяют в одну систему с учетом отброшенных взаимосвязей. При этом возникает задача исследования устойчивости объединенной системы. Прн решении этой задачи используется метод векторной функции Ляпунова. Согласно этому методу на основе векторной функции Ляпунова, которая формируется из функций Ляпунова подсистем, строится система сравнения, с помощью которой исследуется устойчивость агрегированной (объединенной) системы.
Эксионенциальная устойчивость. Теорема Красовского. Пусть система описывается уравнением х=Х(х,т), Х(0,2) =О И ~) Зо, хЕ Л". (7.3) Х1 = Х2+ ХЗ + 142 х2 = хз+ и1, Хз = Ха +Х4 х4 = — хе+и!+из, х! = 2хз+из, Х2 Хз + Х4 + и! + и2 хз = х4 + и1, 21 = — 2хз — хз + и! + из, ХЗ =Хе, Х4 = — 2х! — х4+ и! + и21 х! = 2хь Х2 = хз + и! + 142, хз =хе+и!, Х4 = — Зх! — хз+из, х! = 2хз + хе+ и! + из, хз =хз+иь хз = Зхз+х4+и! +им х4 = — хз+ хе+ и!.
163 Гл. 7. Системы большой размерноспш. Векторная функция Ляпунова Правая часть является гладкой функцией: она непрерывно дифферен- цируема в области !х! < р, 0 < 1 < оо (р = сопаг или р = оо). дХ; Частные производные — * удовлетворяют условию дх,. ! дХ;1 — '1 < Х, 1,.1 = 1, 2, ..., и (Ь = сопзс). дк,1 Решение уравнения (7.3) при начальном условии х(го) = хо, как обычно, будем обозначать х(хо,г): х(хо, гв) = х ). Определение 7.1. Положение равновесия, или невозмущенное движение х(Ф) = О системы (7.3) называется экспоненциально устойчивым, если существуют положительные постоянные а и М такие, что при 1хо~ < р)М возмущенное движение х(хв,т) удовяетворяет условию ~х(хо,г)~ ~ М~хо/е "1' "1 уг > 4о. Если это условие выполняется при любых начальных условиях, то положение равновесия системы называется глобально экспоненциально устойчивым или экспоненциально устойчивым в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
