Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определить значения (е;, 2) е; постоянных Т,й1,й2, при которых положение равновесия системы аснмптотически устойчиво в целом. Ре ш е н и е. Найдем матричную передаточную функцию линейной части Ит = [ИЯ, где ттгь — — Ег(з)/Уь(з) (1, й = 1, 2). Для этого произведем преобразование Лапласа исходных уравнений, описывающих линейную часть, при нулевых начальных условиях: ТзЕ1(з) +.Е1(з) = -й1У1(з) + йэУ2(з), ТзЕ2(з) + Е2(з) = 1с2У1 (з) — й!У2(з). Отсюда, положив У2(з) = 0 при определении Итп и У1(з) = 0 при определении Итм, находим Е1(з) й1 У1(з) Тз+ 1' Е1(з) й2 Итщ = — = —, Ут(з) Тз+ !' Е2(з) й2 РР21 = — = —, У,(з) Та+1' Итчч = Е2(з) й1 У2(з) Тз + 1' Гд 6.
Абсолютная стойчивосо)э 128 йз Если использовать обозначение И~з = —, то матричную передаточТэ+ 1 ную функцию можно записать в виде И~)) Ю)2 Ис) Юг С помощью передаточных функций уравнение системы в изображениях Лапласа можно записать в виде Е2(з) И2(з) 1И!(з) У2(з) или Е)(з) = - тт)(з)У)(з) + И'2(з)У2(з), Ег(з) = И~г(з)У)(з) — %(з)У2(э). Нелинейности удовлетворяют локальной связи (5.12а) (5.12б) 1 Г) = е) — — и) и) > О, р Гг = ег — -иг иг > О, -Р/ Гз = (е) — ег) (и) — иг) > О, или 1 Г(е,ц) =т)Г) +тгГ2+тзГз =т) е) — — и)~и)+ -Р( 1 +в( — -щ)н~-т) — а)) — щ) >2, ьс >О, ~ 1,2 3.
Р Г(Е(з),У) =Ке т Е)(э) — -У) У)'+т Е2(э) — -У2 У2+ ~ ) + тз (Е) (з) Ег(з)] (У) Уг) Здесь е = (е) ег)2 и и = (и) иг)2 . вНелинейность» и = О удовлетворяет локальной связи: Г(е,О) = О. Примем эту нелинейность в качестве нелинейности сравнения. В этом случае система сравнения принимает вид Те)+е) =О, Тег+ег=О и представляет собой две несвязанные между собой линейные системы. Эти системы устойчивы (асимптотически устойчивы в целом). Поэтому рассматриваемая система минимально устойчива. Так как квадратичные формы Г) и Гг похожи, дальше примем т) = = тг = т. Эрмитово расширение квадратичной формы Г(е, и) имеет внд о.2.
Кпадрапшнпый и ай абсолютной устойчивости 129 1 Е(!'ш,У) = иМ'т~'-Х1(й )У1+Мг( )Уг--У1 Р 1 + т 1Рг(зо1)У1 — И~йш)У2 — -Уг Р У;+ Уг+ и[-п01и,;-пн 1г,-пи)г,+пи 1г11г, гс ) или, после перемножения и приведения подобных членов, Г(уы, У) = — Ве (т+ тз)тт1(гш) + тзтиг(уш) + — У1У, + Ф', (т+т)ьр1у.)+ м,у )+-'!!У2У;— Р, тЗЮ1(га1) + (тг + т)ни 2(гЫ) У1У2 - 1гнн 1:1и")п,Ц )]и,и). Подставив выражения для передаточных функций, найдем Ве (т+тз)зу1(1о1)+тгррг(У4+,!! — (Т г ! + — — А т) (т+ тз)й1 + тзйг т (Тш)2+ 1 )р ( ) ( )1нн ( ) [тЗй1 + (тЗ+ т)а21(1 Туг')" В Тгг 2+ 1 Используя эти обозначения, частотное условие можно записать в виде Ранг, У) = -(АУ1У; + АУ2У2 — Ве(ВУ~У~ + ВРУТ < О или Р,(.,У) =-В ~У'Н1У )У) =-У НУ )У, где ни 1=~" .и].
нь 1=-,'1н~М~н1О 11. г=1ии1'. Элементы Ь,ь (1, й = 1, 2) матрицы Н определяются следующим обра- зом: (т + тЗ)Й1 + тгйг т (Тш)2+ 1 13' 1 . !2Н.~1и~ 1Ь й12=йг1 = — (В+В') =— Ь вЂ” Ь -2(В В ) — — (Т )2+! Подставив сюда выражения для Е1(з) и Ег(з) из (5.12) и положив з = уы, получим Га 5. Абсолютная устойчивость Частотное условие будет выполнено, если эрмнтова матрица Н(3ы) будет положительно определенной. Согласно критерию положнтельной определенности эрмнтова матрнца.Н(3ы) будет положительно определенной, если ее главные угловые миноры будут положительны: (т+ тз)Й1 + тзйз т 1= 11= (Т )2+! +Р>Ю ((т+ тз)Й1 + тзйз т) ~2 =Йийю — Й12Й21 = ~ (Ты)2+ 1 )3~ +- ] зй1+( 3+т)й2] (Тю)2+ 1 Так как все параметры положнтельны, первое неравенство выполняется прн -оо < ы < оо. Чтобы определить, прн каких значениях параметров будет выполняться второе неравенство, представим его в виде с (т+ т3)й! + тзйз т1 ~]ТЗЙ! + (тз+ т)йз] (Тш)2+ 1 3) ~ (Т1с)2+ 1 Так как в левой части выражение под квадратом положительно, то последнее неравенство можем записать в виде (г+ тЗ)Й1 + тзйз т (тзй1 + (тз+ т)йз] (Тю)2+1 + Р (Ты)2+1 Если обе части приведенного неравенства умножить на (Ть1)2+ 1 н положнть т = 1/Йз н тз = 1/й1, то получим й1 + 1(Ты)2+1] > 1 Йз Р Это неравенство будет выполнено прн -оо < ы < оо, если оно будет выполнено прн ы = О.
А прн ы = О последнее неравенство будет выполнено, н соответственно рассматриваемая система будет аснмптотнческн й1 ! устойчива в целом, если — + — > 1. йз )Уйз Задачи 5.7. Показать, что положение равновесия у(2) = О следующих снстем а) у+Зу+2у+и=О; б) у+Зу+Зу+2и=О абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = /(у, 2), определяемых локальной связью Р(у, и) = у — из > О.
5.2. Задачи !З! 6.8. Показать, что положение равновесия у(2) ьч О следующих снстем а) у+ 4у+ Зу+ 2и = О; б) у+ 5у+ 4у+ Зи = О абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = у(у,г), определяемых локальной связью Г(р,и) =уз — иг > О. 6.9. Показать, что положенне равновесия у(2) = О следующих снстем а) у+ 2у+ и! + Зиг, б) у+ Зу+ 2и! + 4иг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду,г), определяемых локальной связью Г(р,и!,и ) = р г — г! =О. 6.10. Показать, что положение равновесия у(2) = О следующих систем а) у+ 2у+и2+Заг„б) у+Зр+2и!+4иг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду, 2), определяемых локальной связью Г(у,и!, и2) = уиг — и! = О. 6,11.
Показать, что положенне равновесия у(2) ьч О следующей системы 2х! + х! = — Зи! + ию 2хг + хг — — и! — Зиг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Др, 2), определяемых локальной связью Г!(х!,и!) = (х! - и!)и! > О, Гг(хщ иг) = (хг — иг)иг > О, Гз(х,а) = (х! — хг)(и! — иг) > О 6.12. Показать, что положенне равновесия у(2) = О системы Зх! + х! = -Зи! + 2ии Зхг+ хг = 2и! — Зиг абсолютно устойчиво в классе нелннейностей и = Ду, 2), определяемых локальной связью Г!(х!,и!) = (х! - и!)и! > О, Гг(хг,иг) = (хг — иг)иг > О, Гз(х, и) = (х! — хг)(и! — иг) > О.
6.13. Показать, что положение равновесия р(2) зв О системы щ х! + 2х! = -Зи! + иг, х2 + 2х2 = и! !З2 Гл. 6 Абсаеюмнея яюйчяеосюь абсолютно устойчиво а классе нелинейностей и = ~(у. Ф), определяемых локальной связью Р~(хи и~) = (х~ — и>)и~ > О, Рз(хз,из) = (хз — аз)аз > О, Рз(х,и) = (хь — хз)(и~ — из) > О. 6.14. Показать, что положение равновесия р(Ф) ш 0 следующих систем а) у + Зр + 2у + и! + из, 6) у + 4р + Зу + и~ + 2из,. в) у + 2,5у + у+ 0,5и~ + 0,5из абсолютно устойчиво в классе нелинейностей и =,г(р, Ф).
определяемых локальной связью Г(у, ип аз) уз — и~~ — из = О. 6.16. Показать, что нулевое рещение у(Ф) 0 следующих уравнений: а) р' + Зу + 2у + зш ! = 0; б) у + 4у + Зу + 2 аш ! = 0; в) р'+ Зу + 2у + 0,5 соа ! = 0; г) у + Зу + Зу + 2 сов ! = 0; д) у+2р+рз+Зрз; е) у+4у+2уз+Зуз; ж) р+2у+уз+Зуз; з) у+2у+4уз+2уз и) у+ Зу+ Зр+ 2рсое!+ уз!п! = О; к) у+Зу+Зу+усоес+ 2увшФ = 0; л) у+Зу+2у+у(сов!+О,бз!пФ) =0 асимптотически устойчиво в целом.
6Л6. Показать, что положение равновесия (хм хе) = (О, 0) следующих систем х~+х~ = -2х!з!пзФ+хзз!пз!. а) хз + хз = х~ зш ! — 2хз аш 6) Ех~+х~ =-2х~ соез!+хзсоз 1, хз + хз = х ~ соез ! — 2хз соез Ф; в) … х~+х~ = — 2х~(1 — е ')+ха(! — е '), аз+ хз = х~(! — е ) — 2хз(! — е ); -В . Е 2х ~ + х~ = -Зх ! зшз ! + хз АР 1, г) 2хз+хз =х!юп ! — Зхзаш Е 2х~ +х~ = -Зх~ созе!+ 2хзсоез1, д) 2хз+ха = 2х~ соез! — Зхзсоетт; 5.2. Оавеам 2 х~ + х~ = — Зх~ (1 — е ') + хт(1 — с '), е) 2хт+хе = х!(1 — е ) — Зхз(1 — е ); -Ф .
~ х! + х~ = — 2х| (1 — е м) + хз(1 — е а), хт+хз =х~(! — е ) — 2хт(1-. е ); 2х! + х! = -Зх! зшз ЗФ+ хтап~ЗФ, з) 2хт+ хт = х! зш 3$ — Зхззш 31; Е Зх1+х = — 2х~ап й+хззЬР21, и) Зхт + хт = х| зш й — 2хт вш й; Зх~ + х1 = — 4х! сове 5$+ 2хтсаР 51, к) Зхт + хз 2х~ сове 51 — 4хз соР 5! всимптотически устойчиво в целом. Ответы Ответ: БЛ. в) будет; б) будет; в) будет; г) не будет; д) не будет; е) будет; ж) не будет; з) не будет; и) будет; к) не будет. 6.2. в) будет; б) будет; в) будет; г) будет; д) будет; е) будет,ж) не,будет; з) ие будет; и) будет; к) будет.
Глава 6 ЛИИЕАРИЗАЦИЯ ОБРАТКОИ СВЯЗЬЮ Пусть система описывается уравнением (6.1) х=1(х,и), хЕВ", иЕВ, где г(х,и) — гладкая функция в некоторой окрестности П(0) начала координат. Начало координат является положением равновесия: г(0,0) = О. Здесь х — вектор состояния,и — управление. Напомним, что функция называется гладкой в некоторой области, если она сама и ее производная по всем своим аргументам являются непрерывнымн в этой области. Самым распространенным методом анализа и синтеза систем в рассматриваемом случае является «обычная» линеаризацня — линеаризация, основанная на разложении нелинейной функции в окрестности точки (функции), определяющей заданный режим, в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных членов.
Обычная линеаризация заменяет исходную нелинейную модель приближенной линейной моделью, и она обладает рядом недостатков. Эти недостатки состоят в следующем. 1) Устойчивость и требуемое качество системы управления, синтезированной на основе обычной линейной модели, гарантируется лишь в малой окрестности заданного режима. При этом размеры этой окрестности не известны.
При больших отклонениях требования к качеству системы могут не выполнены. Более того, система может быть неустойчива. 2) Если заданный режим является функцией времени, то линеаризованная модель становится нестационарной, и анализ и синтез систем не намного упрощается. 3) Способы синтеза линейных систем управления, основанные на обычной линеаризации, позволяют получать только линейные законы управления. В то же время известно, что нелинейные законы управления во многих случаях обеспечивают лучшее качество управления. бд.
Некоторые сведения из дифференциальной геометрыи 135 6.1. Некоторые сведения иа дифференциальной геометрии Прн последующем рассмотрении вопросов лннеарнзацнн обратной связью потребуются следующие понятия: производные н скобки Лн, днффеоморфнзмы, ннвалютнвность, ннтегрнруемость системы линейно независимых векторов. В этом параграфе будут рассмотрены необходимые сведения, связанные с этими н некоторыми другими понятиями. Производные и скобки Ли. Пусть а(х) — гладкая скалярная функция векторного переменного (а: В" — В) н с(х) — гладкая векторная функция (Г: В" — В"). /д д д~ Ниже используется оператор Ч = ~ — — " — ).
Он равдх1 дхз дх» й носнлен дифференциальному оператору — — оператору днфференцндх ровання по векторному аргументу. Прн применении этого оператора к скалярной функции а = а(х) получим вектор-строку йа /да да да1 йх (,дх~ дхз дх») А прн применении этого оператора к векторной функции с = с(х) получим матрицу дЛ дЛ дЛ дх~ дхз дх„ дЬ дЬ дЬ дх~ дхз дх„ дУ дУ дД дх~ дхз дх„ Определение 6.1. Производной Ли скалярной функции а = = а(х) по векторной функции 1 = с(х) называется скалярная функция (обозначается ЬГа), определяемая соотношением йа ~ да Ага = — с = Час = 7 — Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
