Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4 Меаод ф нк ий Лян нова х~ = -5хг — 1Ох,, з хг = х~ — 7хг — хз — хг, о) 3 хз = 8хг — 7хз., з, х~ = — бхг+Зх,, з *'г = х~ — из+ Зхг, з хз = хг+ из. з '( 4 13. Прямым методом Ляпунова показать, что положение равновесия ниже следующих систем не устойчиво. х~ = — 2х~+хг — 4хп з хг = х~ + Зхг + хз + хг з хз =хг-бхз-хз' з, х~ = — х~+Зхг — хы 3 в) хг = 2х~ +хг+бхз+8хгз хз = хг — 4хз — 2хз' з. х~ = -7х~ + хг — 2хы з хг = х~ + 9хг + хз + 8хг Б хз = 5хг — 4хз — хзз; '( Ответы 4.1.
а) положительно полуопределена; б) положительно полуопределена; в) положительно определена; г) положительно определена; д) отрицательно определена; е) отрицательно определена; ж) отрицательно полуопределена; з) отрицательно полуопределена; и) положительно полуопределена; к) положительно полуопределена;; л) отрицательно полуопределена; м) отрицательно полуоиределена. 4.2. а) допускает; б) не допускает; в) допускает; г) не допускает; д) допускает; е) не допускает; ж) не допускает; з) допускает; и) не допускает; к) допускает.
4.3. а) допускает; б) допускает; в) не допускает; г) не допускает; д) допускает; е) не допускает; ж) не допускает; з) не допускает; н) допускает; к) допускает. х~ = — х~ +5хг — 9х,, з хг = Зх~ + хг + 2хз + хг, 3 хз = 2хг — бхз — 7хз; з.
х~ — — -х~ + 2хг — бхп з хг = х~ + 2хг+4хз+ Зхгз хз = хг — 5х — 9хз,. з. х~ =х~+Зхг+х~ з хг = — х~ + 2хг + хз + 7хг, з хз = бхг — хз — 4хз, з. хг = 12х~ + хг + 4хзм хг = — Зх~ + хг + 4хз + 5хг, Ь хз = бхг — 4хз — хзз,. х~ = 2хг + Зхг + 5хзп хг = — х~+Зхг+хз+бхг, 3 хз = 2хг — хз — 4хз., з. х~ = х~ + 5хг + 10хз, хг = — 2хг + Зхг + хз + бхг, з хз = 2хг -4хз — хз,' з, х1 = бх| + бхг + 10хз, хг = — х~ + Зхг+ 5хз+ 9хз, хз = Зхг — 5хз — 2хз.
з 4.2. Омлеты 113 4.4. а) устойчиво; б) устойчиво; в) неустойчиво; г) устойчиво; д) неустойчиво; е) устойчиво; ж) неустойчиво; з) устойчиво; и) устойчиво; к) неустойчиво. 4.5. а) (хп ха) = (О, 0) асимптотически устойчиво; (хп ха) = (2, — 4) не устойчиво; (хна) = ( — 2,4) не устойчиво. 6) (хпха) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 4) асимптотически устойчиво; (хпха) = = ( — 2,4) асимптотически устойчиво.
в) (хна) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 2) не устойчиво; (хна) = ( — 2,2) не устойчиво. г) (хпха) = (0,0) не устойчиво; (хпха) = (2,— 2) не устойчиво; (хна) = (-2,2) не устойчиво. д) (хихон) = (0,0) асимптотически устойчиво; (хм ха) = (3, — 9) не устойчиво; (хм ха) = ( — 3, 9) не устойчиво. е) (хп хр) = (О, 0) не устойчиво; (хь хр) = (3, — 9) асимптотически устойчиво; (хп ха) = (-3,9) асимптотически устойчиво.
4.6. а) асимптотически устойчиво; б) не устойчиво; в) аснмптотически устойчиво; г) не устойчиво; д) асимптотически устойчиво; е) не устойчиво; ж) асимптотически устойчиво; з) не устойчиво; и) асимптотически устойчиво; к) аснмптотически устойчиво; л) не устойчив;и) асимптотически устойчиво.
4Л1. а) асимптотически устойчиво в целом; б) асимптотическн устойчиво в целом; в) не устойчиво; г) асимптотически устойчиво в целом; д) не устойчиво; е) не устойчиво; ж) асимптотически устойчиво в целом; а) асимптотически устойчиво в целом; и) не устойчиво; к) асимптотически устойчиво в целом; л) не устойчиво; м) асимптотически устойчиво в целом; н) асимптотически устойчиво в целом; о) не устойчиво. 4.12. а) асимптотически устойчиво в целом; б) не устойчиво; в) аснмптотически устойчиво в целом; г) асимптотическн устойчиво в целом; д) не устойчиво; е) асимптотическн устойчиво в целом; ж) асимптотически устойчиво в целом; з) не устойчиво; и) асимптотнчески устойчиво в целом; к) асимптотически устойчиво в целом; л) не устойчиво;и) асимптотически устойчиво в целом; н) асимптотическн устойчиво в целом; о) не устойчиво. Глава 5 АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Рассмотрим систему с одной нелинейностью (рис.
5.1, а). Такую систему всегда можно преобразовать к «стандартному» виду (рис. 5.1, 6). В нормальной форме такие системы описываются уравнениями вида х=Ах+Ьи, и=!'(О, С= — с х, (5.!) где х — и-вектор; и,С вЂ” скалярные переменные, нелинейная функция ,г'(С) удовлетворяет следующим условиям: ДО) =О, й « — йяг при г «~0. У(0 (5.2) Уравнения (5.1) представляют собой уравнения в отклонениях, и на структурной схеме (рис. 5.!) задающее воздействие равно нулю: у =0 (у =0).
Рис. 5.1. Определение 5.1. Система (5.1), или ее положение равновесия х = О, называется абсолютно устойчивой в угле (секторе) (й,„, кяг), если нулевое решение х(1) = 0 системы (5.1) асимнтотически устойчиво в целом яри любой нелинейной функции г(с), удовлетворяющей условию (5.2). Абсолютная устойчивость, как и робастная устойчивость, означает устойчивость не одной конкретной системы, а некоторого множества систем, определяемых заданным множеством Я нелинейных звеньев. В определении 5.1 в качестве множества Я принято множество (5.2), которое обычно рассматривается при изучении абсолютной устойчивости. Естественно множество Я может быть задано иначе. Поэтому в общем случае будем говорить об абсолютной устойчивости на ай Система сравнения.
Необходимое условие и критерий Основа 115 множестве (классе) Е, которое может отличаться от множества, зада- ваемого соотношением (5.2). 5.1. Система сравнения. Необходимое условие и критерий Попова абсолютной устойчивости Дальше будем рассматривать структурную схему нелинейной системы, представленную в стандартном виде (рис. 5й,б). Передаточную функцию 1т', в операторной форме, если система задана уравнениями (5.1), можно найти следующим образом. Запишем уравнения линейной части в операторной форме: (1р — А)х = Ьи, ( = — стх, или х = (1р — А) 'Ьи, ( = — стх. Отсюда, исключая х и учитывая и = †(, получим »У»(р) = ст(1р — А) 'Ь.
Используя эту передаточную функцию, уравнения (5.1) можно записать (см. также рис. 5.1, б) в виде у = 1т'.(р)и, и = Л0, 1 = — у (5.3) Наряду с нелинейной системой (5.!) или (5.3) рассмотрим линейную систему у = Иг,(р)и, и = Й~, 5 = -и. (5.4) Эту систему при любом Й е [Й,Йьг] называют системой сравнения системы (5.3), (5.2).
«Нелинейность» 1(~) = Йб принадлежит множеству (5.2) прн любом Й Е [Й,Йм]. Поэтому если система (5.3) абсолютно устойчива в угле [Й,Йы], то ее система сравнения, т.е. линейная система (5.4), устойчива (асимптотически устойчива в целом) при любом Й е [Й,Йьг]. И если система сравнения прн каком-либо Й е [Й, Йьг] неустойчива, то система (11.2) не может быть абсолютно устойчивой в угле [Й,Йьг]. Будем говорить, что система сравнения робастно устойчива в угле или на интервале [Йт,йьг], если она устойчива при любом Й е [Й,Йзг].
Из выше изложенного вытекает следующее необходимое условие абсолютной устойчивостк. Необходимое условие абсолютной устойчивости. Для того чтобы наложение равновесия системы (5.3) было абсолютно устойчиво в угле [Й,Йы], необходимо, чтобы ее система сравнения была робастно устойчива в угле [Й, Йьг]. При мер 5.1. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид И㻠— 11(р+1) . Исследовать, является ли система (рис. 5.1,6) абсолютно устойчивой в угле [0,10]. Гл. Б. Абсолютная устойчивость 116 Решение.
Проверим, выполняется ли необходимое условие абсолютной устойчивости. Для этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения (5А) при Ь = 10. Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид Аз+ ЗАт+ ЗА+ 11 = О. Определитель Гурвица 2-го порядка отрицателен: Ьт = 3 3 — ! 1 = — 2. Необходимое условие абсолютной устойчивости не выполняется. Следовательно, нелинейная система не является абсолютно устойчивой. Проблема абсолютной устойчивости сначала исследовалась прямым методом Ляпунова. Однако с начала шестидесятых годов прошлого века широко стал использоваться частотный метод. Линейная часть устойчива.
Рассмотрим сначала случай, когда линейная часть нелинейной системы (рис. 5.1,6) устойчива. Представим ее частотную передаточную функцию в виде %,(ты) = ГУ(ы) +уУ(о~). Критерий Попова. для того чтобы положение равновесия системы (5.3) с устойчивой линейной частью было абсолютно устойчиво в угле [О,Ь], достаточно, чтобы существовало такое вещественное число о, что при всех ы > О выполняется неравенство Ве(1+ уйти)ЬК,(уи) + — > О, 1 Ь (5.5а) или 1 У(ы) — уыил'(ы) > — —.
Ь' (5.56) Пример 5.2. Передаточная функция линейной части имеет вид р" (р) т Ьв (Ьв,ао,амат > О). аорт+ а~р+ ат Определить, при каких значениях Ь система (рис. 5.1,6) будет абсолютно устойчива в угле [О, Ь[. Решение. Частотная передаточная функция линейной части имеет вид ЬР„Цы) = — а ют+уаиг+ат' Отсюда для вещественной и мнимой частей получаем Ьо(ат — аоыт) — Ьоа ~ы (ат — аыез)т+ (а~ы)т' (ат — аоыт)т+ (а1ы)т' Условие (5.56) принимает вид Ьа(ат — аоыт) + дйоа,ьР 1 + — > О. (ат аоыз)з+ (а,ы)т б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
