Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Рассмотрим условие, при выполнении которого квадратичная форма является положительно определенной функцией, или симметрическая матрица является положительно определенной. е.1. Задачи 93 ~! = я!!, ~2 = , ..., доз Я !чз! 422 были положительны. Пример 4.1.
Дана квадратичная форма У(х) = хз + 5хз~ + Зхз з+ 4х!хз — 2хзхз, х Е Вз. Исследовать, является эта форма положительной определенной функцией. Решен не. Если записать данную квадратичную форму в матричной форме, то элементами соответствующей матрицы Я будут ды = 1, ди = уз! = 2 9!з = дз! =О, дзз = 5 узз = дзз = — 1 узз = 3. Определи- телии )92! 922~ )2 5 1 2 О 2 5 — 1 Π— 1 3 Ян Чи ч!з Чы йзз Чзз Чз! узз йзз все положительны. Следовательно, по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной функци- ей. Задачи 4.1. Определить, являются ли положительно определенными, положительно полуопределенными, отрицательно опэоеделенными илн отрицательно полуопределенными в пространстве В следующие квадратичные формы: а) У(х) = х!+хз~+Зхз~+2х!хз, б) У(х) = хз+хзз+Зхз з— 2х!хз, в) У(х) = 5х!+2хз~+хз ~— 4хзхз, г) У(х) = 5хз+2хзз+хзз+2х!хз; д) У(х) = — 4хз — 2хзз-хзз+х!хз; е) У(х) = — 4хз! — 2хз з— хзз+4хзхз, ж) У(х) = — хз-4хз+4х!хз-хз., з) У(х) = — хз — 4хз+4хзхз — х,; 2 3.
з 3 2. и) У(х) = 2хз!+9хзз+хз — бх!хз — 2х!хз', к) У(х) = х!+хзз; л) У(х) = — 2хз — 9хз — хз+бх!хз+2х!хз; м) У(х) = — хз з— хзз, Критерий Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма У(х) = х! Ях была положительно оиределенной функцией, необходимо и достаточно, чтобы все оиределители Гл. 4. Менад нкций Ляпунова 4.2. Определить, допускают ли бесконечно малый верхний предел следующие функции: а) и(х,1) = 1Я+ха зшс; б) и(х,1) = з1п(1~/хт+хтт); в) и(х,1) = е )/х~ + хт, г) и(х, 1) = е (х~ + хз); д) и(х,с) = (х~+х~~)(яп 1+е '); о(х,1) = х~~+хз+яп 1+е ~; ж) и(х,1) =(х~+хз)яп Й+е; з) и(х,1) =(хз1+х~)япз1+хзе ', и) и(х,с) = (х~~+х~)+яп~1+хт1е т"; к) о(х,с) = (хз~+х~) +хташтс+х~е т~.
4.3. Определить, допускают ли в пространстве Вз бесконечно большой нижний предел следующие функции: а) и(х,с) = (хз1+ хат+ хзз)ев+(ха~+хат) зшз1; б) и(х, Ф) = хт~ + хат + хз тяпа 1+ (хз~ + х~)е'; в) и(х,1) = (х~ +ха+ха)е '+(х1+х~~)з1п 1; г) и(х,1) = (х1 + х~)е1+х~а1пзс; д) и(х,1) =х~+хз+ххзе'+хзз1п 1; е) и(х,1) = х~+х~+хз~е '+х~аш~1; ж) и(х, 1) = (хз + хт) е' + хае ' + хз вш 1; з) о(х,1) = (х~ +х~)е +х~зе'+х1яп 1; и) и(х,с) = (хз1+ х~~)е'+ х~+ хзза1птс; к) и(х,1) = (х~~+ха~)е ~+(х~ +ха~)е'+хат. 4.2. Теоремы об устойчивости Теоремы об устойчивости неавтономных систем.
Пусть система описывается уравнениями х; = Х,(хпхя ..., х„,с), 1= 1,2, ..., и (4.1) нли в векторной форме х = Х(х, 1). (4.2) Начало координат, т.е. точка х = О, является положением равновесия: Х(О, т) = О при всех 1 > 1е. Правая часть приведенных уравнений зависит явно от времени. Система, которая описывается такими уравнениями, и сами зти уравнения называются неавтономными сисявмами. 95 4.2. Теоремы об стоачивости Решение уравнения (4.1) при начальном условии х(1е) = хе будем обозначать х(хе,1). Следовательно, справедливо равенство х(хе,то) = хэ Рассмотрим функцию У(х, $). Производная этой функции по времени, вычисленная на траекториях системы (4.1), имеет вид йУ(х,1) сп дУ(х, 1) дУ(х, 1) дУ(х, 1) дУ(х,1) Про эту производную говорят, что она является (полной) производной по времени функции У(х, 1) в силу уравнения (4.1) или производной по времени функции У(х), вычисленной в силу уравнения (4.1).
Теорема 4.1 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Полажение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) устойчиво по Ляпунову, если существует положительно определенная функция У(х,1) такая, что ее производная по времени в силу уравнения этой системы (4.1) является отрицательно полуопределенной функцией.
Функции, которые удовлетворяют теоремам устойчивости или неустойчивости, т.е. по которым можно судить об устойчивости или неустойчивости системы, называются функциями Ляпунова. Теорема 42 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) асимптотически устойчиво, если существует такая положительно определенная функция У(х,1), допускающая бесконечно малый верхний предел, что ее производная по времени в силу уравнения (4.1) является отрицательно определенной функцией.
Пример 4.2. Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = — е 'х~+е хю хз = -2е х~ — х2. — 2с 3 Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде У(х) = ха, + + сгх~~ (сг > О). Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х~х~ +2ахтхз = — 2хт~е '+2х~хте и — 4сгхзх~е м — 2ахз~. Если положить а = 112, то производная принимает вид У(х) =-2хте '-х~з н становится отрицательно определенной функцией. Следовательно, положение равновесия заданной системы асимптотически устойчиво.
Ги 4. Метод функций Ляпунова Теорема 4.3 (Теорема об асимптотической устойчивости в целом). Положение равновесия х = 0 неавтономной системы (4.1) асимптотически устойчиво в целом (глобально асимптотически устойчиво), если существует такая положительно определенная функция У(х,з), допускающая бесконечно малый верхний предел и бесконечно большой нижний предел, что ее производная по времени в салу уравнения этой системы является отрицательно определенной функцией. Здесь, естественно, предполагается, что функция $'(х,1) является положительно определенной функцией, ее производная отрицательно определенной функцией на всем фазовом пространстве В". Пример 4.3. Исследовать устойчивость положения равновесия системы х~ = -(1 + ейп т)х~ + хз — хы 3 з хз = — х1 — хз — е хз.
-й 5 Решение. Функцию Ляпунова будем искать в виде 1'(х) = ха~+ + ох~ ~(сг > 0). Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид 'г'(х) = 2х~х~ + 2ахзхз = 2х~( — (1+ з1п 1)х~ + хз — х~]+ + 2ахз( — х1 — хз — е 'х~з). Если положить а = 1, то кандидат на функцию Ляпунова становится положительно определенной функцией, а производная принимает вид у(х) = — 2[(1+ ипз1)хз, +хя, +хзз+ е 'хаз] и становится отрицательно определенной функцией. Кроме того, эта функция допускает бесконечно большой нижний предел.
Следовательно, положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом. Теоремы об устойчивости автономных систем. Пусть система описывается уравнениями х, = Хч(хи ха, ..., х„), 1 = 1,2, ..., и (4.2а) или в векторной форме х = Х(х). (4.26) Начало координат, т.е. точка х = О, является положением равнове- сия: Х(0) = О. Правая часть приведенных уравнений не зависит явно от времени.
Система, которая описывается такими уравнениями, и сами эти уравнения называются автономными системами. 93 4.2. Тео емы об устойчивости При исследовании устойчивости автономных систем в качестве функций Ляпунова используются функции У(х), не зависящие явно от времени.
Производная по времени функции У(х) в силу уравнений (4.2) определяется следующим образом: — — Х~(х) = — Х(х). йр (х) " абак) и (х) дс 2;д, д Теорема 44 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Лоложение равновесия х = О автономной системы (4.2) устойчиво по Ляпунову, если существует положительно определенная функция $~(х) такая, что ее производная по времени в силу уравнения втой системы является отрицательно полуопределенной функцией. Пример 4.4. Исследовать устойчивость системы, которая описывается уравнениями х~ = хю хз = -хп Решение.
Функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы 1/(х) = хз~ + 2ах~ха + 13хзз, где а н,д — неизвестные параметры. Согласно критерию Сильвестра зта форма будет положительно определенной функцией, если выполняется неравенство Ьт = 13 — ат > О. Производная по времени квадратичной формы в силу заданных уравнений имеет вид $'(х) = 2х~х1+2ах~хз+2х1хз+2Яхзхз =.
= 2х~хз + 2ахз з— 2ах~~ — 213хзхь Если принять а = О и 13 = 1, то квадратичная форма будет положительно опзоеделенной, а ее производная будет равна нулю, т.е. функция У(х) = х, + хз зУдовлетвоРЯет УсловиЯм теоРемы ЛЯпУнова. Следовательно, положение равновесия х = О устойчиво по Ляпунову. Пример 4.5.
На тело с массой та действует сила е', обладакнцая следующими свойствами: Г = — у(у), Т(0) = О, у(у)у > О при у 31 О. Движение тела описывается уравнением щу = е или в нормальной форме уравнениями 1 х~ = хз, хт = — — Дх,). гп Исследовать устойчивость положения равновесия х = О. Гл. 4. Метод нкций Ляпунова 98 Ре ш е н и е. В качестве кандидата на функцию Ляпунова рассмотрим полную энергию. Кинетическая и потенциальная энергии соответственно имеют вид э т 2 2 Иг = =, П = Р(у)йу = У(х,)й*,. 2 2 э" е1 Кандидат на функцию Ляпунова принимает вид т НЗХ2 1г(х) = 14г+ у = — 2+ ~(х~)йх,. 2 еь 3 Эта функция является положительно определенной. Ее производную по времени в силу уравнения движения 1 У(х) = шхзхз + Дх )х1 = -пзхз — Дх ~ ) + У(х1) хз = О можно рассматривать как отрицательно полуопределенную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
