Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пример 3.7. В нелинейной системе (рис. 3,11) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику с параметром с = 1г/2, передаточные функции линейных звеньев равны !4'1 = (0,01р+1)/(0,8р+!)р н !4гт = 1/(0,2р+ 1), внешние воздействия равны д = 0 и Ь = — Ва!п)И. Требуется найти пороговое значение амплитуды внешнего воздействия. Решение. В данном случае Щи) = -0,!буев"з — ю" з+уы", В(у~) = 0,0!ум*+ 1, Я(уи) = — ( — О,йм*з+уо'), коэффициенты гармонической лннеаризацин о(А) = 4с/пА = 2/А, д'(А) = О, и формула (3.14б) принимает вид 21 А — 0,!буй' — ы" + ты*+ (0,01!ю*+ 1) — =В( — 0,8ы* +/м')е У~'. А~ З.З. Вынуяеденные колебания и еибраяионная линеаризаяия 79 Подставив сюда ш' = 10 и е Уе = сову — т' вшу, затем выделив веще- ственную н мнимую части, получим — ! ООА + 2 — 80В соз у + 10В зш у = О, — 150А+ 0,2+ 10В сов у+ 80Взш у = О.
разрешив эту систему уравнений относительно синуса и косинуса, — А + 0,024 . 2А — 0,0055 сову =, вшу = Отсюда, возвысив в квадрат н сложив, получим квадратное уравнение А — 0,014А + 0,00012 — 0,2В~ = О. где ф(ео) ао(А(ео) ео) Затем исследовать полученное уравнение, зависящее только от неизвестной ошибки ео. Независимо от характеристики нелинейного звена функция Ф(ео) оказывается гладкой и ее можно линеаризовать в окрестности начала координат: Ф(е ) = Й„е, (3.1б) дф где к.„= — — коэффициент вибрационной линеаризацни. лео, ) Для всех однозначных и неоднозначных нелинейных характеристик, симметричных относительно начала координат [4), Вф(ео) ~ Вао ), =о Вел ее=о (3.17) Зто уравнение имеет положительный корень, если В > 0,0188.
Следовательно, пороговое значение амплитуды В„ = 0,0188, Внбрациоиная линеаризация. Если в системе (рис. 3.11) задающее воздействие отлично от нуля и изменяется медленно по сравнению с колебательным процессом, то в этом случае управляемый процесс и вынужденные колебания будут описываться уравнениями (3.14) Ф ) '+В( ) о=1е )У А~Щш*) + ВЦш*)(д(А,ео) +Зо(А ео)фе = — ВЯ(па') Здесь ао является функцией амплитуды А и ошибки управляемого процесса ео. о,о ао(А ео) Для исследования управляемого процесса можно поступить следующим образом: из второго уравнения найти амплитуду А как функцию от е и подставить в первое уравнение. При этом получим Я(р)е + В(р)Ф(е ) = Я(р)д, (3.15) 1е. 3.
Метод гармонической еинеоризоции во Из нее следует, что для вычисления коэффициента вибуационной ли. неаризации нет необходимости вычислять функцию Ф(е ). После подстановки выражения (3.16) в (3.!5), получим линейное [ь)(р) + Й„В(р)1е = (е(р)р. При возникновении колебательного процесса в системе разрывные нелинейные характеристики для медленных процессов становятся гладкими. Процесс, при котором за счет колебания разрывные характеристики нелинейных звеньев становятся гладкими, называют вибрационным сглаживанием, а процесс линеаризации, который происходит в результате вибрационного сглаживания, — вибрационной линеаризацией. Вибрационную линеаризацию можно осуществить как вынужден-. ными колебаниями, так н автоколебаниями. В обоих случаях коэффия циент вибрационной линеаризации, который определяется по формуле (3.17), зависит от амплитуды колебаний на входе нелинейного звена.
Поэтому чтобы вычислить коэффициент й„, нужно знать эту амплиту! ду. При вибрационной линеаризации вынужденными колебаниями оня равна амплитуде внешнего колебания, а при вибрационной линеаризас ции автоколебаниями — амплитуде симметричных автоколебаний. Вибрационная линеврмзация вынужденными колебаниями. Пусть на вход нелинейного звена системы (рнс. 3.13) подается гармонический сигнал )) = Ваши)*1. При этом частота колебания намного выше полосы пропускания линейного звена с передаточно)~ функцией И"з) ЯА).~д )А))К')) ))~1.
Рис. 3.13 На входе нелинейного звена имеем з =ее+с', е = 5=вз( '1, Таким образом, в системе на входе нелинейного звена возникают вынужденные колебания с амплитудой, равной амплитуде внешнего колебания (А = В), и сдвигом фазы )р = О. И в этом случае при вычислении коэффициента вибрационной линеаризации в качестве амплитуды вынужденного колебания подставляется амплитуда внешнего колебания В. Поэтому величину коэффициента вибрационной лине- З.Д Вынумсдвнныв колебания и вибраиионная яинваризация 81 аризации можно изменять за счет выбора втой амплитуды.
Однако амплитуду внешнего воздействия нельзя брать произвольной. С одной стороны, она не должна быть слишком большой, чтобы возмущение не оказывало заметного влияния на процесс управления. С другой стороны, амплитуда В должна быть, во всяком случае, не меньше максимального значения сигнала ео, до которого необходимо обеспечить линейность характеристики. Вибрациоииая линеаризация автоколебаниями. Вибрационную линеарнзацию можно реализовать, создав вокруг нелинейного звена внутренний автоколебательный контур (рис.
3.14). Передаточные функции И"з и И'з выбираются так, чтобы частота автоколебаний была достаточно высокой и автоколебания не пропускались остальными звеньями, находящимися за пределами внутреннего контура, и амплитуда автоколебаний была не меньше максимального значения медленно меняющегося составляющего сигнала е на входе нелинейного звена. На входе нелинейного звена имеем е = ео + е', е' = Аз!пил', где ез — медленно меняющая составляющая; А,ш — амплитуда и частота автоколебаний. Исследование такой системы производится следующим образом. Рассматривая внутренний контур, определяется амплитуда А симметричных автоколебаний.
Затем, используя найденное значение амплитуды, определяется коэффициент вибрационной линеаризации й„, и нелинейное звено заменяется линейным звеном с передаточной функцией, равной й„. Рнс. 3.!4 Пример 3.8. Пусть в нелинейной системе (рис. 3.!4) нелинейное звено имеет идеальную релейную характеристику (см. рис. 3.8, а) с параметром с = гг, а линейные звенья имеют передаточные функции вида И'~ = й~(! + 0,1р), И'з = 1/(0,1р+ 1)р, Из = йз((Тзр+ 1), % = 1/(р+1). Требуется определить параметры йз и Тз такие, при которых иа входе нелинейного звена амплитуда автоколебаний А = 4 и звено с передаточной функцией И4 ослабляет амплитуду автоколебаний в 100 раз, Решение.
Так как автоколебания через звено с передаточной функцией И'я практически не проходят — амплитуда на его выходе 82 Гл. 3. Метод гармонической линеаригапии в 100 раз меньше, чем на его входе, — при исследовании автоколебаний можно ограничиться рассмотрением только внутреннего контура. Передаточная функция линейной части этого контура и коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного звена соответственно имеют вид Иг = И'зИ"з = кз/(0,1рэ+ р)(Тзр+ 1) и д = 4с/яА = 4/А, д' = О. Условие возникновения периодического процесса принимает вид — 0,!Тэта — (0,1+ Тз)ог +,уго+ йз — = 0 .
з А или — (0,1+ Тз)ы + lсз — = О, — 0,1Тзог + ы = О. 4 з А Отсюда для амплитуды и частоты получаем: А = 4йзТз/(1+10Тз), ш* =,~10/Тз . Так как звено с передаточной функцией Иг» ослабляет амплитуду автоколебаний в 100 раз и его амплитудная частотная функция имеет вид Аг(ш) = 1/~/1 +из, то имеем А ~ '~= =ООЪ г =Оаю1Т .~ос01. 1 ~ ~оо~т,~ Отсюда находим Тз ье 0,001.
Подставив это значение для Тз в ранее полученное выражение для амплитуды и учитывая, что по условию амплитуда на входе нелинейного звена равна 4, получаем А = 4йзТз/(1 + 10Тз) = = 4. 4йз0,001 1+ 0,01 Из этого соотношения находим йз = !010, Таким образом, искомыми параметрами являются йз = 1010 и Тз м 0,001. Теперь убедимся, что в системе действительно возникнут автоколебания. Для этого проверим устойчивость найденного периодического процесса.
Так как д' = О, условие устойчивости имеет вид ай(А) 4 ~ ! — = — <о. аА д л А 1л=4 4 Условие устойчивости выполняется. Следовательно, колебания асимптотически орбнтально устойчивы, и в системе возникнут автоколебания. Пример 3.9. При каких положительных значениях параметра й~ система, рассмотренная в примере 3.8, будет устойчива.
Параметры йз и Тз принимают значения, найденные в указанном примере. Решение. Так как в системе происходит вибрационная линеаризация автоколебаниями, нелинейное звено заменим линейным З.З. Вынуяеденные колебания и вибрационнан винеаризация 83 (рис. 3.15) и найдем его передаточную функцию, равную й„.
Для реле с идеальной характеристикой имеем о 2с, еэ, ео а = — агсаш — = 2агсзш я А А' В соответствии с формулой (3.17) й„ находится следующим образом: Оао о ~ дФ ~" ' А/Г:(Ъ7АР ~. т' Учитывая, что амплитуда симметричных колебаний А = 4, получа- ем й„= 0,5. Рнс. 3.15 0 0001Ла + 0 101Лз + (1 10 + 0 00005й1)Л + + (505+ 0 0505/с~)Л+ 505+0 5й1 = О. При положительном й1 необходимое условие устойчивости выполняет- ся. Поэтому по критерию Льенара-Шипара система будет устойчива, если определитель Гурвица 3-го порядка будет положительным: а1 аз 0 ао аз ав 0 а1 аз = а~(азаз — а~ив) — аоаз > О.
3 Преобразуем структурную схему вибрационно линеаризованной системы (рис. 3.15) в одноконтурную, заменив внутренний контур звеном с передаточной функцией й„И'з 0,5(0,001р + 1) 1+ й„й~зИ'з 0.0001рз+ О 101рт 1 р+ 505' Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид й1 (0,00005рз + 0,0505р + 0,5) 0 000 1р4 + 0 101рз + 1 10рт + 506р+ 505. Складывая числитель и знаменатель и положив р = Л, получим характеристическое уравнение замкнутой системы Ги 3.
Мемед гармонической кинеаризаиии 84 Здесь ао = 0,0001, а~ = 0,101, аз = 1,10+ 0,00005йп аз = 506+ + 0,0505йп ач = 505+ 0,5йь Подставив зти выРажениЯ в веРхнее неравенство, получим 0,0025Ь~ — 3,08 > О. Отсюда следует, что система будет устойчива при Ь! > 5200. Задачи 3.54. В нелинейной системе (рис. 3.13) нелинейное звено имеет характеристику идеального реле (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
