Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.53. Симметричные автоколебания с частотой ш и 2,99 и амплитудой А си 1,47. 3.54. а) Да; б) А = 10. 3.55. а) Да; б) А = 10. 3.56. а) Да; б) А = 5. 3.57. а) Нет. 3.58. а) Нет. 3.59. а) Да; б) А = 9,9. 3.60. а) неустойчива; б) неустойчива; в) устойчива. 3.61. а) устойчива; б) устойчива; е) устойчива.
3.62. а) неустойчива; б) устойчива. 3.63. а) неустойчива; б) устойчива. 3.64. а) неустойчива; б) устойчива; е) устойчива. 3,65. а) устойчива; б) устойчива. Глава 4 МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Основы общей теории устойчивости были заложены А. М. Ляпуновым в его книге «Общая задача об устойчивости движения», которая вышла в свет в 1892 г. [16).
В этой книге им был предложен общий метод исследования устойчивости движения, который называется вторым или прямым методом Ляпунова. Этот метод основан на построении специальной функции, которая получила название функции Ляпунова. Прямой метод Ляпунова получил дальнейшее развитие з трудах российских и зарубежных авторов.
И метод исследований, основанный на построении функции Ляпунова, включая прямой метод Ляпунова, стали называть методом функций Ляпунова. 4.1. Знакопостоянные и знакоопределенные функции В большинстве случаев функции Ляпунова являются знакоопределенными, а их производные — знакоопределенными или знакопостоянными функциями. Рассмотрим функцию Ъ'(х), определенную в некоторой области Р С В", и функцию т'(х,1), определенную на прямом произведении Р х [О, со), т. е.
при х е Р и 0 < 1 < со. Область Р содержит начало координат: 0 е .Р. Функции Ъ'(х) и У(х,з) являются непрерывными и обладают непрерывными производными по всем своим аргументам. Функция Ъ'(х) называется знакоположительной или положительно полуопределенной в области Р, если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) > 0 всюду на Р, и знакоотрицательной или отрицательно полуопределенной в области Р. если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) < 0 всюду на Р.
Функция У(х,т) называется знакоппложительной или положительно полуопределенной в области Р, если при всех 1>со (то>0) Ъ'(О,г) = 0 н Ъ'(х,1) > 0 всюду на Р, и знакоотрицательной илн отрицательно полуопределенной в области Р, если при всех т > со (»з > 0) Ъ'(О, т) = 0 и Ъ'(х, т) < 0 всюду на Р. Знакоположительные и знакоотрицательные функции в области .Р называются знакопостоянными функциями области Р. Функция Ъ'(х) называется положительно определенной в области Р, если Ъ'(0) = 0 и Ъ'(х) > 0 всюду на Р, кроме точки х = О, 4"л. 4.
Метод функ ий Ллп нова и отрицательно определенной в области Р, если У(0) = 0 и У(х) < 0 всюду на Р, кроме точки х = О. Функция У(х,С) называется положительно определенной в области Р, если при всех С > Со (Со > 0) У(О,С) = 0 и найдется такая положительно определенная в области Р функция У+(х), что при всех С > Со (Са > 0) У(х,С) > У+(х) всюду на .Р, кроме точки х = О, и отрицательно определенной в области Р, если — У(х,С) является положительно определенной в области Р. Положительно определенные и отрицательно определенные функции в области Р называются знакоопределенными функциями в области Р.
Очевидно, знакоопределенные функции являются частным случаем знакопостоянных функций. Функции, которые не являются знакопостоянными функциями в области .Р, называются знакопеременными функциями в области Р. В качестве примера рассмотрим следующие функции: , +(хз+хз) ] 2 Х2 ХЗ 2 2 х| + — + „, „„1. У2(х) = — ~х 1'з(х) = х~ + ха+ха, У4(х) =— у~(х) =хз+х22 Среди этих функций в пространстве 112 функция Ъ~(х) является положительно полуопределенной, функция 12(х) — отрицательно полуопределенной, функция Уз(х) — положительно определенной н функция У4(х) — отрицательно определенной.
Функции У~(х) и У2(х) являются знакопостоянными, а функции Уз(х) и У4(х) — знакоопределенными. В пространстве В~ функция У1(х) является положительно определенной, а функция У2(х) — отрицательно определенной. Функция У(х, С) называется функцией, допускающей бесконечно малый верхний предел, если как бы мало ни было положительное число е', найдется такое положительное число б', что ~У(х, С)~ < е' при всех С > Со, если )х~ < 6'.
Функция У(х,С) называется функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, если как бы велико ни было положительное число Е, найдется такое положительное число 42, что Щх, С)~ > Е при всех С > Со, если ~х~ > Ь. Иначе говоря, функция У(х, С) называется функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, если при любых С > Са (У(х, С)( -+ оо при ~х~ — > оо. Например, функции У(х,С) = (х~ +хз+хз)яп С и У(х,С) = (хз+ +х22+ хзт)е ' являются функциями, допускающими бесконечно малый верхний предел, а функции У(х,С) = 10зщ [(х~1+ х22)С) и У(х,С) = = 10(х~~+ х )е' таковыми не являются.
В пространстве 44~ функция У(х, С) = (х, + х22+ х~)(яп С+ 1) является функцией, допускающей бесконечно большой нижний предел, а функции У(х,С) = (хт+хз)х 91 4.1. Знаколостоянные и знакоол оделенные функции х(юп 2+ 1) и У(х,2) = [х1/(1+ хз) + х~~/(1+ х22) + х~~/(1+ х~)]х х(гйп2 2+ 1) таковыми не являются. Если У(х) является знакоопределенной функцией, то существует такое положительное число 21, что все поверхности У(х) = с, где (с~ < 21, являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями; если У(х) является знакоопределенной функцией и !У(х)! — оо прн ~х~ — ~ оо, то все поверхности У(х) = с при любом с являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями [3). Покажем на примере, что не при всех знакоопределенных функциях У(х) все поверхности У(х) = с при любом с являются замкнутыми относительно точки х = О поверхностями.
В качестве примера рассмотрим в пространстве 222 положительно определенную функ- х21 х2 цню У(х) = + . В этом случае при с = г2 уравнение !+х', 1+х' поверхности У(х) = с принимает вид х21 Х2 2 — + = г нли (1 — г )х1+ х2 = г . 1+ х2 1+ х21 Это уравнение при г < 1 представляет уравнение эллипса хз х2 у г2 — '+ — 2 = 1 а2 = Ь2 = г2 о2 Ь2 1 1 г2' прн г = 1 — уравнение прямой х2 2—— 1 или х2 = Ы, и при г > !в уравнение гиперболы х2 х2 у г2 2 ! ! Ь2,2 12 ГМ- ~- —, 1) Таким образом, в данном случае поверхности (кривые) уровня У(к) = с являются замкнутыми только при г < 1 (рис. 4.1). Рис. 4.1 гл. 4.
Метод ф нкций Ляпунова Положительно определенные квадратичные формы. При построении функции Ляпунова широко используются квадратичные формы и У(х) = ~! дгьхгхь дгь = ды сь=! или в матричной форме У(х) = х~Ях. Любую квадратичную форму в матричной записи можно представить так, чтобы в ней матрица была симметрической. Поэтому, как правило, всегда предполагается, что матрица, используемая при записи квадратичной формы, является симметрической. Так как симметрические матрицы в методе функций Ляпунова играют важную роль, то кратко остановимся на их свойствах.
Симметрическая матрица Я называется положигпельно (отрицательно) определенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = = х~1~х является положительно (отрицательно) определенной функцией, и положительно (отрицательно) полуопределенной матрицей, если квадратичная форма У(х) = хт 9х является положительно (отрицательно) полуопределенной функцией. Симметрическая матрица ьг обладает следующими свойствами. 1) все ее собственные значения, т. е. корни Л;(! = 1,2, ..., и) ее характеристического уравнения йе٠— ТЛ) = 0 являются вещественными числами; 2) если она положительно (отрицательно) определена, то все ее собственные значения являются положительными (отрицательными): Л, > 0 (Л«0); если она положительно (отрицательно) полуопределена, то все ее собственные значения являются неотрицательными (неположительными): Л, > 0 (Л; < 0); 3) определитель от симметрической матрицы равен произведению ее собственных значений: аеСЯ = Л!Лз" Л„.
Дальше часто будет использоваться одно свойство квадратичной формы. Сформулируем это свойство в виде леммы. Ле м м а 4.1. Квадратичная форма У(х) = хт Ях удовлетворяет неравенству Л )х1з ~ хт!~х < Л )х(з, где Л вЂ” минимальное, а Лм — максимальное собственное значение матрицы О. Если квадратичная форма У(х) = кто положительно определена, то она неограниченно возрастает при стремлении точки х к бесконечности: У(х) = х~(;!х †« оо при ~х~ †> оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
