Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следова- тельно, невозмущенное движение устойчиво. Теорема 4.5 (Т е о р е м а Ляпунова о б а с и м п т о т и ч ес к о й у с т о й ч и в о с т и). Положение равновесия х = О автономной системы (4.2) асимнтотически устойчиво, если существует такая положительно определенная функция г'(х), что ее лроизводная ло времени в силу уравнения этой система является отрицательно определенной функцией. Так как функция Ъ'(х) непрерывна и равна нулю в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний предел. Поэтому эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 4.2.
Пример 4.6. Исследовать устойчивость положения равновесия х = О системы х1 = -х~ +2хз, з Х2 — Х! . ЗХ2 з Решение. Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения неременнак, предложенным Е.А. Варбашиным (3]. Метод состоит в том, что функция Ляпунова ищется в виде функций, которая сама и ее производная представляют собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной фазовой переменной: Ъ'(х) = ~ Р<(хг), У(х) = ~ ~Ф;(х,). 4.2. Тес об устойчивости 99 В соответствии с этим методом в качестве кандидата на функцию Ляпунова принимаем функцию Ъ'(х) = Р!(х!) + Рз(хз). Производная по времени от функции в силу уравнений заданной системы имеет вид йР!, йРт . "Р! з йР! "Рт "Рт з р'(х) = — х! + — хт = — — х! + — 2хз — — х! — — Зх~т.
йх! йхт дх! !Ь! йхз <Ьт И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, разность средних членов справа в последнем соотношении должна быть равна нулю: йР! йРз йР! / йРз / — 2хт — — х! =0 нлн — х! = — 2хз. дх! <Ьт йх! йхз Так как левая часть зависит от х!, а правая часть от ха, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице. Тогда имеем иР! йР2 — = х!, — = 2хз. !Ь! ' йхз Отсюда, после интегрирования, получаем 1 Р! = -х!, Рз = хз, 'ч'(х) = Р!(х!) + Рз(хз) = -х! + хт. 2 2 Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет вид ! 3 2 У(х) = — — хз — — Зхз = — (х4+бхч). Нх! (Ьт Итак, полученная методом разделения переменных функция является положительно определенной, а ее производная в силу уравнений рассматриваемой системы — отрицательно определенной.
Следовательно, положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво. Теорема 4 б. (Обобщенная теорема об асимптотической устойчивости). Положение равновесия х = 0 автономнои системы (4.2) асимитотически устойчиво, если существует такая иоложительно определенная функция Ъ'(х), что ее производная ио времени в силу уравнения этой системы является отрицательно полуоиределенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М С Р, не содержащем целых траекторий [3[.
Целой траекторией (или полутраекторией) системы называется фазовая траектория в пространстве Я", соответствующая решению уравнения этой системы х(хо, Ф) (хо = х(!о)) на всем интервале времени бо < Ф < со. Так как при хо = 0 решение х(О, С) = 0 при всех б > йо, !я. 4. Мев!од фунняай дян нова то начало координат х = 0 соответствует целой траектории. Если множество М задается уравнением !р(х) = 0: М = (х:!р(х) = 0), ср(х)— гладкая (т.е. с непрерывными частными производными по всем своим аргументам) функция, то условие отсутствия в М целых траекторий можно записать следующим образом: — х! = — Х(х) = йгаг(!р(х)Х(х) ,-а О. снр .
Фр (4.3) Это неравенство должно выполнятся на множестве М, т.е. при условии !р(х) = О. Множество М = (х: !р(х) = 0) представляет собой поверхность, н последнее условие означает, что вектор скорости изображающей точки не лежит на ее касательной плоскости. И, следовательно, если изображающая точка попадает на поверхность (множество М), где производная функции Ляпунова У(х) = О, то она сразу же ее покидает и оказывается в области, где У(х) < О.
П р н мер 4.7. Исследовать устойчивость положения равновесия х = 0 системы х! =хз, ха=-х!-хз. з Р е ш е н и е. Воспользуемся методом разделения переменных. Согласно этому методу имеем У(х) = Р!(х!) + Рз(хз). Производная по времени от функции в силу уравнений заданной системы имеет вид <Ж "й'! <Ж "Рз з У(х) = — х! + — хз = — хз — — х! — — хз. !гх! 6(хз г(х! ахз г(хз И чтобы она представляла сумму функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, необходимо, чтобы выполнялось равен- ~'! ( ~Рз ! — хз — — х! = 0 илн — х! = / хз.
ах! г!хз ах! охз Так как левая часть зависит от х!, а правая часть от хз, то последнее равенство возможно, если обе части являются константами и равны, например, единице. Тогда имеем Ы'~ Ы'~ — =х!, — =ха. г(х! ' Йхз Отсюда, после интегрирования, получаем 1 з 1 Р! = -хз!, Рз = -хзз, У(х) = е!(х!) + Гз(хз) = -хз!+ -хе~.
2 ' 2 2 2 Е.2. 7ео об стойчивости Производная по времени от функции кандидата на функцию Ляпунова имеет внд ас У(х) = — — хз — — -хз. 2 З Ч 2 2' Она отрицательно полуопределена н обращается в нуль вне начала коордннат на множестве, определяемом уравнением <р(х) = х2 = О. Условие (11.6) прнннмает внд — Х(х) ~ = (О 1)Х(х) ~ = ( — х1 — хз) = — хп фр ! з ах .,=о т=о т=о В этом соотношении правая часть обращается в нуль на прямой хз = О только в начале координат.
Следовательно, по обобщенной теореме об асимптотической устойчивости положенне равновесия рассматриваемой системы аснмптотнческн устойчиво. Теорема 47 (Теорема об асимптотической устойчивостин в целом). Положение равновесия х = О автоновиюй системы (4.2) асимлтотически устойчиво в целом (глобально асимлтотически устойчиво), если существует такая лояоясительно определенная функция У(х), допускающая бесконечно большой нижний предел, что ее производная ло времени в силу уравмения этой системы является отрицательно определенной функцией. Так как функция У(х) непрерывна н обращается в нуль в начале координат, то она допускает бесконечно малый верхний придел.
Поэтому теорема 4.7 вытекает нз теоремы 4.3. Теорема 48 (Теорема Барабашнна-Красовского об асимптотической устойчивости в целом). Пояожениеравновесия х = О автономной системы (4.2) асимляютически устойчиво в целом (глобально асимлтотически устойчиво), если существует такая положительно определенная функция У(х), допускающая бесконечно большой мижний предел, что ее производная ло времени в силу уравнения этой системы является отрицательно пазуолредеяенной функцией, и она обращается в нуль вне начала координат на множестве М, не содержащих целых траекторий. В качестве примера рассмотрим систему нз примера 4.7. Было показано, что функцией Ляпунова для этой системы является у(х) = хя~(2+ х22/2, которая стремится к бесконечности прн ~х~ — оо. Т. е.
эта функция н, как было показано, ее производная удовлетворяют условию теоремы Барбашнна-Красовского. Следовательно, положение равновесия рассмотренной в примере 4.7 системы является аснмптотнческн устойчивым в целом. Исследование устойчнвостм нелинейных систем по линейному прнблиншнню. Проблему исследования нелинейных систем по нх линейному приближению впервые поставил н разрешил А. М. Ляпунов. !02 Гл. 4.Метод функций Ляпуноео Не всегда по линейному приближению можно судить об устойчивости исходной нелинейной системы.
В качестве примера рассмотрим систему й! =ха+ах!, з хз = -х! + ахт. 3 Функцию Ляпунова будем искать в виде положительно определенной квадратичной формы У(х) = хз!+ хз. Производная по времени от этой функции в силу заданных уравнений имеет вид У(х) = 2х!х! + 2хзхз = 2а(хе!+ хез), н она является положительно определенной функцией прн гх > 0 н отрицательно определенной функцией прн гг < О. Следовательно, положение равновесия х = 0 рассматриваемой системы неустойчиво прн а > 0 н аснмптотнческн устойчиво прн сг < О. Лннеаризованная система описывается уравнениями х! =хя, ха=-х! н х! =~~! агуху+Щх!,хз, ..., х„), Вг(0,0, ..., 0) =О, !'= 1,2, ..., и д=! нлн в векторной форме х = Ах + В(х), В(0) = О, (4.4) где н х н ° !+а ~В(х)! = ~ В~(х!,хз, ..., х„) < с~~х1) .
(4.5) г=! г=! Здесь с! — малое положительное число, с — положительная константа. Условне (4.5) означает, что разложение нелинейною члена В(х) в (4.4) в ряд Тейлора в начале координат начинается с членов, содержащих квадраты нли более высокие степени фазовых координат н нх произведения. Ее характеристическое уравнение Лт + 1 = 0 имеет два чисто мнимых корня. Поэтому, как было показано во второй главе, начало коордннат является особой точкой типа центр, н оно соответствует устойчивому по Ляпунову положению равновесия. Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивость лннеарнзованной системы не имеет ничего общего с устойчивостью исходной нелинейной системы: по линейному прнблнженню нельзя делать какие-либо выводы об устойчнвостн исходной нелинейной системы как прн а > О, так и прн п < О.
Критерий устойчивости Ляпунова по линейному приближению. Пусть уравнения нелинейной системы представлены в виде 103 4.2. Тю и об устойчивости Теорема 49 (Критерий устойчивости Ляпунова по линей ному приближению). Пол озсвни е равновесия х = О нелинейной системы (4.4) асимнтотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы х = Ах имеют отрицательную вещественную часть, и неустойчиво, если среди указанных корней имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. Крюиический случай. Итак, если линеаризованная система устойчива, т.е.
все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то и исходная нелинейная система асимптотически устойчива. Если линеаризованная система неустойчива н хотя бы один корень ее характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то и исходная нелинейная система неустойчива. И, наконец, если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет корни на мнимой оси и не имеет корней в правой полуплоскости, т.е. она маргинально устойчива, то говорят, что имеет место критический случай. В критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости исходной нелинейной системы.
В примере, который был рассмотрен в начале параграфа, был критический случай. Исследовать устойчивость положения равновесия П р и м е р 4.8. системы у+ 2р+ Ззшр = О. Решение. Разложение в ряд Тейлора синуса имеет вид тпу = = р — рз/3! +" . Поэтому для линеаризованного уравнения имеем у + 2р + Зу = О. Линеаризованная модель (аснмптотически) устойчива, так как все коэффициенты уравнения положительны, т.е. выполняется необходимое условие устойчивости, а для систем 2-го порядка необходимое условие устойчивости является и достаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
