Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Старшие производные Ли рекурсивно определяются следующим об- разом: й~~а = йу(й~~ 'а) = Сг(У» ~а)с, 1= 1,2, ..., и. Гл. 6. Линеаризация обратной связью 1Зб Нулевая производная Ли функции а = а(х) по Г = г(х) есть сама функция а = а(х): Ь~уа(х) = а(х). Высшие производные по другой векторной функции и(х) определяются аналогично: уеду уа = уг(у уа) = ~7(Ьуа)В. Пусть задана система уравнениями состояния и выхода х = г(х), у = а(х). Первая и высшие производные по времени выходной переменной у равны соответственно первой и высшим производным Ли функции а(х) по функции у(х): да.
да у = — х = — Г(х) = Ьуа(х), дх дх у = — 1(х) — — [Ьуа(х)[1(х) = Ьуа(х), ду д дх дх Точно так же, если задана скалярная функция 1У(х), то ее производная в силу уравнения системы будет равна производной Ли этой функции по т(х): У(х) = — х = — Г(х) = ЬуК дх дх Пусть Г(х) и я(х) — две гладкие векторные функции: Г: В" — Я", и: В" — Я".
Производная Ли от векторной функции и(х) по векторной функции г(х) является векторной функцией и оп~делается аналогично производной Лн от скалярной функции: Еуй = — Г. ах Скобки Ли функций Г(х) и и(х), к определению которых сейчас переходим, обозначают [Г,я[ или айуй. Второе обозначение особенно удобно при записи скобок Ли второго и более высокого порядка. О и ре де лен не 6.2. Векторная функция, определяемая соотно- шением айуй т [Г, я) = ~уй г — %Т я = Ьуя — ЬеЕ, называется скобками Ли функций Г(х) и и(х). Скобки Ли высокого порядка рекурсивно определяюгпся следующим образом: айьуй=аау(аду 'й) = [г,аау 'й], й= 1,2,...
Скобки Ли нулевого порядка функций Г(х) и и(х) равны н(х): ааоуи(х) = и(х). Пример б.!. Пусть функции Цх) и и(х) имеют вид б. 1. Иекоторые сведения из д ренциальной геометрии 137 Определить скобки Ли первого и второго порядков этих функций. Решен не. Производные функций г(х) и и(х) по х равны дЛ д71 дй д~ дх1 дхт ~ 0 11 дб д.6 дат Зх~ 0 дх дх( дхт !'О 01 дут ддт 1О О! дх) дхт дх) дхэ Поэтому скобки Ли первого порядка имеют вид 0 0 хт 0 ! 0 — 1 Производные скобок Ли по х равны дх ~ 00 и соответственно для скобок Ли второго порядка имеем ад~~у = аду(адуу) = У(адуд)7' — ~7Уаг(уу = 0 0 хз Зхт 0 0 Зхэ1 Диффеоморфизмы и преобразование нелинейных систем. Определен ие 6 3.
Гладкая векторное функция в = Ф(х)(х, з Е б Я"), определеннал в области П, называется диффеаиорфизмом в области П, если существует однозначная обратная функция х = Ф ((з), и эта функция является гладкой. Если функции Ф(х) и Ф '(в) определены и являются гладкими на всем простран- стве В", то Ф(х) называют глобальным диффеоморфизмом. Диффеоморфизм может использоваться для преобразования нели- нейных систем. Пусть система описывается уравнением х = г(х) + и(х)и, и з = Ф(х) — диффеоморфизм.
Так как з = — х = — !1(х) + б(х)и1 дФ(х), дФ(х) дх дх то, учитывая, что существует обратное преобразование Ф '(г), полу- чим в = Г(з) + й(в)и, где г(з) = т(х) ~ , й(з) = — к(х) дФ(х) ! дФ(х) в=о '(*) е о '(*) Гл. б. Лине изация обратной связью Теорема 6.1. Пусть в = Ф(х) = (ус(х) 1ьт(х) ." 1сь(х)) гладкая функсуся, определенная в области П с В". Если якоби- йФ(х) (д<рс1 ан — = ~ — '~ является неособым, т.е. не обращается в нуль йх (дхь~ в точке хо е П, то фуюсция Ф(х) является диффеоморфизмом в некоторой окрестности 0(х ) этой точки (0(хо) С Й).
Пример 6.2. Определить, является ли векторная функция в= = Ф(х) = ! ' т диффеоморфизмом. хт Решение. Якобиан имеет вид = ~ ~, и он отличен йФ(х) 11 2хт1 йх !О 1~' от нуля при всех х 6 лст. Следовательно, данная функция является глобальным диффеоморфизмом. Определение 6.4. Множество линейно независимых векторных функций (7с(х),7т(х), ..., Ях)) называется инвалютивны.н, если скобки Ли любых двух функций Л(х) и Дх) из этого множества (не обязательно разных) равны линейной комбинации функций из этого множества, т.е. существуют функции а; ь(х) (й =!,2, ..., г)такие, что (Ях), Ях)) = ~ ~сц ь(х)уь(х). ь=! Множество линейно независимых постоянных векторов всегда инвалютивно.
Действительно, скобки Ли двух постоянных векторов являются нулевыми и они тривиально представляются комбинациями исходных векторов. Множество. состоящее из одного вектора, является инвалютивным, так как скобки Ли двух одинаковых функций равны нулю: (т(х), с(х)] = (%Т)т — (~7Е)Т = О. Определение 6.6. Множество г (г ( п) линейно независимых и-мерных векторных функций (7с (х), 7т(х)... 7„(х)) называется интегрируемым, если существует и — г независимых скалярных функций ас(х), ат(х), ..., а„„(х), удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений Час(х)71(х) = О, с = 1, 2, ..., и — г; !' = 1, 2, ..., г.
Скалярные функции а1(х),ат(х), ..., а„„(х) независимы в некоторой области Р (т. е, при х е Р), если векторы Час(х), (! = 1,2, ... ..., и — г) линейно независимы в этой области. Заметим, при г = и — 1 незввнсимость одного единственного вектора Час(х)означает неравенство этого вектора нулю: ~7ас(х) Ф О. 6.1. Задачи гзэ Теорема 6.2. (ГгоЬеп!цз [29]). Множество г (г < и) линейно независимых и-мерных векторных функйий (гз(х), гг(х)...
У (х)) интегрируемо в том и только в том случае, если оно инвалютивно. При мер 6.3. Задана система дифференциальных уравнений да да 2хз — — — = О, д дх да да да — х1 — — 2хг — + хз — = О, дх~ дхг дхз где а = а(хи хю хз) — неизвестная функция. Требуется определить раз- решимость этой системы уравнений. Решение. Эту систему уравнений можно записать в виде йа йа — Т~ =О, — уз=О, ах ' ах где Г! = т1(х) = (2хз — ! О), !г = !г(х) = (-х1 -2хг хз) Чтобы ответить на вопрос, имеет ли данная система уравнений решение, согласно теоремы Фробениуса достаточно проверить инвалютивность множества (Еы Гг). Скобки Ли двух функций этого множества имеют вид йуг ~Ж [Т,уг]= — Т,— — 1г= ах ах — 1 0 0 0 — 2 0 0 0 1 Как легко проверить, скобки Ли каждой пары функций из множе- ства (Тыйг) могут представлены как линейные комбинации функций этого множества следующим образом: [Гм Тг] = — 2Г~ + О!г, [1г, Е~] = -«Гы гг] = 2Г~ — Оуг, % Т1] = ВУг] =ОГ~+ОГг.
Таким образом, множество (11,уг) ннвалютивно, и следовательно по теореме Фробеннуса рассматриваемая система интегрируема. Задачи 6.1. Определить производные Ли 2-го порядка функции а(х) = х~ + + хгг по следующим векторным функциям: а) Г(х) = '; б) Г(х) =; в) Т(х) = Гл. 6. Ли из о6 яоя связью г) Г(х) = '; д) Е(х) =; е) Г(х) = ж) Цх) = '; з) Е(х) = '; и) Е(х) = к) Цх) = 6.2. Определить скобки Ли следующих векторных функций: 6.3. Определить скобки Ли 2-го порядка векторных функций, приведенных в задании 6.2.
6.4. Показать, что множество из двух векторов (6(х), аИГ6(х)) ннвалютивно при следующих функцняк 6(х) и т(х): а) Г(х) = язв и 6(х) = О -4+ з яз О б) Г(х) = аз~-алз и 6(х) = О *3 1 хт О в) г(х) = -х~ + хт и 6(х) = ! з О г) Г(х) = хт и 6(х) = 1 а) Е(х) = ' и 6(х) = в) Е(х) = ' и 6(х) = д) Е(х) = и 6(х) = ж) т"(х) = ' и к(х) = и) Г(х) = ' и 6(х) = б) Г(х) = и н(х) = г) Г(х) = ' и 6(х) = е) Г(х) = *' и 6(х) = з) Е(х) = 1 ~ и 6(х) = к) Г(х) = ' и 6(х) = б.2.
Линеариэация й связью ло состоянию 141 -х~ +*зт о д) Е(х) = хт н и(х) = 1 х1 + хз 0 хт 1 е) Е(х) = — хз — хт и я(х) = 0 — х 2 0 хт 0 ж) Е(х) = хзхз и я(х) = 0 -Х1 -ХЗ ! хт 1 з) Е(х) = хз н я(х) = 0 1 хт+ хт 0 и)Е(х)= 4 и я(х)= О -х~ — хз 1 хз 0 к) Е(х) = хз+х~ н я(х) = 1 ха+ха 0 6.2.
Линеаризация обратной связью по состоянию Функция и = Ф(х,о), где и, и — входы (управления), х — вектор состояния, называется преобразованием обри~иной связью, если она разрешима относительно о. Переход от нелянейной системы к линейной путем преобразования, включающего преобразование обратной связью, называется линеаризацией обратной связью.
Лннеаризация обратной связью (ЛОС) является не приближенным, а эквивалентным преобразованием: в результате ЛОС получается система, эквивалентная исходной системе. При ЛОС управление н заменяется новым управлением в. Функция преобразования, кроме нового управления, включает вектор состояния (в частном случае только выходную переменную). Поэтому при этом преобразовании объект охватывается обратной связью. Отсюда и название, которое получило это преобразование, — преобразование обратной связью. Пример 6.4. Задан объект, который описывается уравнением х=ах~+и, х,пЕВ, а>О. Требуется определить закон управления, прн котором замкнутая снсте- ма была бы асимптотнчески устойчива в целом. 142 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
