Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Однако может оказаться, что она будет легко разрешимой, если путем преобразования исходной системы удастся получнть прямую н простую зависимость между выходом у н входом (управленнем) и. Определение 67. Линеаризацией обратной связью по выходу называется такое преобразование нелинейной системы (6.6), включающее преобразование обратной связью, нри котором в преобразованной системе связь между выходом у и входом и получается линейной. П р н м ер 6.7.
Система описывается уравнениями х1 = хт, хт = хз(х$ + 1), хз = хатха + и, у = хн Требуется определить алгоритм управлення, обеспечивающий слеже- нне за траекторией у ($), а остальные переменные ограничены. Р е ш е н н е. Проднфференцнруем у столько раз, сколько потребуется для получення прямой зависимости между выходом н входом: у = х! = хт, у = хт = хз(х1 + 1), 'у" = хз(х~ + 1) +хзх| = х1хз(х~ + 1) + (х~ + 1)и + хтхз.
Из последнего соотношения на основе преобразования 1 Я= (х~ + 1) ~-хатха(х~ + 1) - хтхз + о1 получим у = о. Точна х1 = -1 для этого преобразования является особой: оно в этой точке не определено. Для определення требуемого закона управления воспользуемся методом обратной задачи динамики. Если потребовать, чтобы ошнбка слежения е = у — у„ изменялась в соответствии с уравнением 'е' + й~е + осте + йзе = О, то, найдя отсюда 'у" = у — й~е — йте — йзе н подставив в преобразованное уравнение для выхода, получаем !"я. б.
Лине азалия обратной связью 150 о = у„— Й1е — Йзе — Йзе. Подставив зто выражение в преобразование для управления, находим искомый закон управления 1 и = [ — х1хз(х! + 1) — хзхз+ Уе†= (х!+1) Й1(У У ) Й2(р У ) Йз(р У ')] или, после подстановки выражений для выходной переменной и ее производных, 1 и =— (х1 + !) [(х! + 1)(х1х2 + Й1хз) + х2хз + Й2х2 + Йзх!— — У вЂ” Йср' — Йзр' — Йзр )]. ,В данном примере число дифференцирований для получения явной зависимости между выходом и входом равно порядку системы. Возникают дополнительные проблемы, когда зто число меньше порядка системы.
Рассмотрим пример. Пример 6.8. Пусть система описывается уравнениями х1 = хз + (хз + 2)хз, х2 = х, + хз, хз = х1 + и, у = х1. 3 4 Требуется определить алгоритм управления, обеспечивающий слеже- ние за траекторией у (2), а остальные переменные ограничены. Решен не. Продифференцируем у столько раз, сколько потребуется для получения прямой зависимости между выходом и входом: у=х1=хз+ (хз+2)хз, у'=(1+ хз)ха+ (хз+ 2)хз=(1+ хз)(ха+ хз) + (ха+ 2)х41+ (хз+ 2)и, или у = (! +хз)(ха+ хз) + (хз+2)х41+ (хз+ 2)и. Из последнего соотношения на основе преобразования и = — [ — (1+ хз)(х1 + ха) — (хз+ 2)х, + о] хз+2 получим Как в предыдущем примере, воспользуемся методом обратной задачи динамики.
Задав желаемый закон изменения ошибки е = у — у„ в виде е+ Й1е+ Йзе = О, (8.7) находим о = уи — Й1е — Йзе = у„ — Й1[хз + (хз + 2)хз] — Йзх1 + Й1у + Йзу . б.З. Линеаризациа обратной связью па выходу 151 Подставив это выражение в преобразование для управления, получим 1 — — (1 + * )(хз + х ) + (х + 2)х4+ ха+2 + й~[хз + (хз + 2)хз~ + йтх~ — у — й~у — йту ~. При таком управлении ошибка слежения описывается уравнением (6.7). В силу устойчивости этого уравнения ошибка е(г) — + 0 при Ф вЂ” со. Однако пока нельзя делать вывод о том, что полученный алгоритм управления решает поставленную задачу.
Это связано со следующим обстоятельством. Порядок синтезированной системы совпадает с порядком исходной системы и равен трем, так как найденный алгоритм управления не вносит дополнительный порядок. В то же время уравнение ошибки (6.7) имеет второй порядок, и оно описывает часть динамики. Для получения полного описания синтезированной системы необходимо к уравнению (6.7) добавить еще одно уравнение первого порядка, которое описывает так называемую внутреннюю (скрытую) динамику. Полученный алгоритм управления применим, если внутренняя динамика устойчива.
В противном случае координата, характеризующая внутреннюю динамику, и управление могут принимать недопустимо большие значения, что может сопровождаться перегревом двигателей или возникновением сильных вибраций механической части (30]. Относительный порядок. Основным методом получения прямой зависимости между выходом и входом (управлением) является повторное дифференцирование выхода, пока не получится явная зависимость выхода от входа, и последующее преобразование обратной связью.
Число дифференцирования выхода, необходимое для получения явной зависимости между выходом и входом, называется относительной степенью или относительным порядком. Для вполне управляемой системы относительная степень г не превышает порядка системы п: г < и. Пусть система описывается уравнениями х =1(х)+6(х)и, у = Ь(х), хб Н", и 6 В, у 6 г1, (6.8) где г"(х), к(х) и Й(х) — гладкие функции в некоторой области Й с Л". Проднфференцируем выход у по т: У = — х = — [т"(х) + 6(х)и] = Ь7й+ (Йзй)п.
дй. дй Их с(х Если Ьзй = 0 для всех х 6 П, то дифференцируем выход еще раз: Гл. б. Линеаризаиия об атиса связью Если ЬеЬ/й = О, дифференцирование продолжаем, пока ЬеЬг/ 'а эа О. Затем, применяя преобразование обратной связью 1 и = ( — Ь/~6+о), Г Уг-1~ У / (г) получим линейное уравнение у = о. Как отмечалось, число г дифференцирования выхода, необходимое для появления управления и, называется относительной степенью (или относительным порядком) системы.
Поэтому для системы (6.8) это понятие можно определить следующим образом. Определение 6.8. Одномерная система (6.8) имеет относительную степень г в области й, если для любых х е й ЬеЦЬ(х) = О, ! = О, 1, ..., г — 2, (6.9а) ЬеЬ" 'Ь(х) та О. (6.96) ~ Приведенное определение согласуется с интуитивным определением, связанным с числом дифференцирования, и с определением относительной степени (или относительного порядка) линейной системы как разности между степенями знаменателя и числителя ее передаточной функции. Внешняя и внутренняя динамика. Если относительная степень г меньше порядка системы п (г < п), линеаризация обратной связью разбивает уравнение системы на уравнения внешней и внутренней динамики. При этом внешняя динамика имеет порядок г и характеризуется г независимыми переменными, а внутренняя динамика имеет порядок и — г и характеризуется п — г независимымй переменными.
Обозначим вектор переменных внешней динамики в(~1 = (гм гз, ..., г,)г, а вектор переменных внутренней динамики в(т) = (г,.+и г„ьт, ..., г„)~. Рассмотрим, как можно выбрать эти векторы. Согласно теореме 6.! для того чтобы переменные з; (! = 1,2, ... ...,и), связанные с исходным вектором состояния х соотношениями г; = ~р;(х) (( = 1, 2, ..., и), могли служить новыми переменными состояния нужно, чтобы градиенты Ч~р;(х) (1 = 1,2, ..., п) были линейно независимы, или якобиан был отличен от нуля: д<р~ д др1 ду~ дх~ дхт дх„ й1- дат ду>и д~р| дх~ дхт дх„ д~~в д~Оя дФя дх~ д*т дх б.д. Линеариэ я обратной связью яо выход 153 Если система (6.8) имеет относительную степень г < п, то она может быть преобразована к нормальной форме вида 21=аз, йтг вз, ..., э„1=э,., з„=а(хр),з(~))+Ь(хд),х(т))и, (6.10а) й(з) =то(з(~), х(~)), уе к1.
(6.!Об) Как легко убедиться, уравнения внешней динамики примут вид (6.10а), если в качестве переменных ее состояния принять выход и его произ(в-1) водные у,у, ..., у э1 = у = Ь(х) = Тг~Ь(х), эт = у = Ьгй(х), (в-1) э, = у = Ь| 'Ь(х). Градиенты этих преобразований линейно независимы. Так как система из одного вектора д инвалютивна, то по теореме Фробениуса существуют и — 1 независимых функций Ль (Ь = 1,2, ...
..., п — 1), удовлетворяющих системе уравнений ТэЛь(х) =О, й = 1,2, ..., и — 1, Ух 6 й. (6.11) Напомним, что скалярные функции Ль (Ь = 1,2, ..., п — 1) независимы, если их градиенты линейно независимы. Так как функции х; = Т,у 1Ь(х) (1 = 1, 2, . „, г — 1) удовлетворяют этому уравнению (см. (6.9а)), и их градиенты линейно независимы, то они могут быть использованы как функции Лэ (1 = 1,2, ..., г — 1). Другие и — г функций, удовлетворяющих (6.11), примем за перемен- НЫЕ г +1, ..., Э„. После нахолсдения (и — т) решений уравнения (6.11), для того чтобы использовать их в качестве переменных внутренней динамики, нужно убедиться, что их градиенты линейно независимы между собой и с градиентами остальных переменных, т.е. выполняется неравен- УЕЛ Уд;Л ство аез ~ — ) = 1!еь ~ — ) ф 0 (1, Ь = 1, 2, ..., и). 1,ах) ),дхь) Если полученное реобразование представить в виде з = Ф(х), то оно, являясь диффеоморфизмом, преобразует систему (6.8) в нормальную форму вида (6.10) с а(зО), з( )) = ЦЬ(х) = Т~Ь[Ф '(х)], (6.12а) Ь(х(0 х(з))=Ы," 'Ь(х)=Ы," 'Ь[Ф '(з)].
(6.126) Ги б. Линеаризация об а1яной связью Пример 6.9. Система описывается уравнениями — хз 0 х= х1хз + ! ю, р=й(х)=хз. Х2 0 Произвести линеаризацию обратной связью по выходу. Р е ш е н и е. Так как р = хз = хз, у = хз = х1Х2 + и, то относительная степень т = 2. Позтому в качестве первых двух новых переменных примем выходную переменную и ее производную: 21 = р = хз, 22 = р = хз. Третью переменную найдем из уравнения д д дЛ дх2 Этому уравнению, в частности, удовлетворяет функция Л = х1. Примем зту функцию в качестве третьей переменной: 23 = х1. Убедимся, что выбранные переменные являются независимыми: = -1 ф О. Итак, найденное преобразование имеет внд х = (хз хз Х1)т, а обратное преобразование — вид х = (23 22 21)~. В соответствии с формулой (6.12) имеем а(я) = ЬуЬ = Ьу(Ьуй) = Хухз = (О 1 0)У = х1хз = зззю ь( )=т ьт)з=ч д=(010)д=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
