Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Сформулировать задачу 3 поворота вала двигателя на заданный угол с последующей остановкой за время Т при минимальном расходе энергии. Решение. Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока). Так как постоянный множитель перед функ- 8.1. Постаноека и классификация задач октимального унраеления !91 ционалом не влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности примем интеграл ег ,У = мааг, м где го, 11 — фиксированы и 11 — 1о = Т. Ограничение на управление не накладывается: оно косвенно учитывается выбранным критерием оптимальности.
Задачу 3 можно сформулировать следующим образом: при уравнении объекта (8.3), краевых условиях х(Го) = хо, х(11) = х1 определить управление, при котором приведенный выше критерий оптимальности принимает минимальное значение. Классификация задач оптимального управления. Задачи оптимального управления классифицируют по виду ограничений на управление и фазовые координаты, по краевым условиям и критерию оптимальности. !. По виду ограничения задачи оптимального управления различают: а) классического типа, когда ограничения задаются в виде равенств уь(х, ц,г) = О, к = 1,2, ..., пз; б) неклассического типа, когда среди ограничений имеются ограничения в виде неравенств ась(х, ц,г) < О, й = 1,2, ..., т. К классическому типу относятся также задачи с ограничениями вида гг 1„+1(х, ц,1)й =11, 1 = 1,2, ..., 1. м Такие ограничения называют изолериметрическими ограничениями, а вариационные задачи с такими ограничениями — изолериметрическими задачами.
Введением дополнительных переменных от изопериметрических ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вместо изопериметрических ограничений в условие задачи ввести следующие уравнения и краевые условия: 2„.„1 = 1„+ (х,ц,г); х„+1(го) =О, хе~а(11) =Ь1, 1=1,2, ..., 1. Формально задачи неклассического типа введением дополнительных переменных можно преобразовать к задачам классического типа. Дей- 192 Гл. В.
Методы теории оптимального управления ствительно, приведенные выше ограничения в виде неравенства можно заменить ограничениями вида 1аь(х, п,г) + и~~+а —— О, й = 1, 2, ..., тп. Задачи оптимального управления неклассического типа могут иметь ограничения вида Введением дополнительных переменных эти ограничения могут быть заменены соотношениями х„+, = У„+,(х,п,1); хп+,(го) =О, хп+,(гг) ( С„з = 1,2, ..., р. Как не трудно заметить, при преобразовании изопериметрических ограничений вводимые дополнительные переменные представляют собой фазовые координаты, а при преобразовании неизопериметрических ограничений вводимые переменные играют роль дополнительных координат векторного управления. 2.
По виду краевых условий различают задачи: а) с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств Хо и Хг состоит из одной точки (все фазовые коорди; наты в начальный и конечный моменты заданы, т.е. фиксированы); б) с подвижным правым концом (Хг состоит более чем из одной точки), с подвижным левым концом (Хо состоит более чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны); 3. По времени начала и окончания процесса различают задачи; а) с фиксированным временем, когда начальный Го и конечный $г моменты фиксированы; б) с нефиксированным временем, когда хотя бы один из моментов времени 1о или 1г не фиксирован. 4. По критерию оптимальности различают: а) задачу Больца: критерий оптимальности имеет вид ьг ,У = до|х(Го),х(1Г),Го,гГ)+ Уо(х ц,г)й; б) задача Лагранжа: критерий оптимальности имеет вид Уо(х, и, 1)й; 8.д Задачи 193 в) задача Майера: критерий оптимальности имеет вид Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет вид ,7 = де[х($~),1«), т.е.
зависит только от конечного состояния и, быть может, от конечного момента времени, называется задачей гверминального управления; когда имеет вид,У = (су — Ц) — задачей максимального бысл»родейсв»вил. Задачи Больца, Лагранжа и Майера эквивалентны в том смысле, что путем преобразования переменных каждую из задач можно преобразовать в любую другую задачу. В рассмотренных примерах задача 1 является задачей Майера, неклассического типа, закрепленными концами и нефиксированным временем; задача 2 в задачей Майера, классического типа, закрепленным левым и подвижным правым концом и нефиксированным временем; задача 3 — задачей Лагранжа, классического типа, закрепленными концами и фиксированным временем.
Задачи 8.1. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода летательного аппарата (ЛА) из начала координат на заданную высоту Ь за минимальное время при ограничении на управление (из + из) ( и~„. 8.2. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода летательного аппарата (ЛА) на заданную высоту Й за минимальное время при ограничении на управление (из1 + итт) < из и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,П) на высоте Ьо по направлению оси ~ со скоростью о. В момент запуска х~ = хе.
8.3. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности~ задачу вывода ЛА из начала координат в заданную точку (х~,х ) «геометрического» пространства (~,»1) при минимальном расходе топлива и ограничении на управление (из + изз) < и~ . 8А. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА в заданную точку (х~,ха) «геометрического» пространства (~,г)) при минимальном расходе топлвва и ограничении на управление (из1+ итт) < и~ и при условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~, и) под углом е/2 к направлению оси ~ со скоростью е, в точке (хо, х ).
8.6, Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА из начала координат на максимальную высоту при ограничении на управление (и~~ + и~~) ( и~, и заданной реактииной массе. Гл. 8. Методы теории оптимального управления 8.6. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу вывода ЛА на максимальную высоту при заданном реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~, г1) под углом я/2 к направлению оси ~ со скоростью о, в точке (хы хз).
8.7. Сформулировать (записать краевйе условия и критерий оптимальности) задачу перевода ЛА на максимальную дальность при заданной реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,гг) под углом я/4 к направлению оси ь со скоростью о, в точке (хоп хз).
8.8. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода ЛА на максимальную дальность при заданной реактивной массе и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,ц) по направлению ОСИ ~ СО СКОРОСТЬЮ Ю, В тоЧКЕ (ХО,ХОз). 8.9. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода летательного аппарата (ЛА) на заданную дальность И за минимальное время при ограничении на управление (и1 + из~) < м~ и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости ((',9) на высоте Й по направлению оси (' со скоростью о.
В момент запуска х1 = хо. 8.10. Сформулировать (записать краевые условия и критерий оптимальности) задачу перевода летательного аппарата (ЛА) на заданную дальность а за минимальное время при ограничении на управление (мз, + паз) < мз и условии, что запуск ЛА производится из другого ЛА, летящего в вертикальной плоскости (~,ц) на высоте А под углом к/4 направлению оси ~ со скоростью о в точке (хо,хо). 8.11. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол а без остановки за время Т при минимальном расходе энергии. 8.12. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол гг с последующей остановкой за время Т при минимальном расходе энергии.
8.13. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол гг с последующей остановкой за минимальное время при максимальном токе з„= в 8.14. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на заданный угол а без остановки за минимальное время при максимальном токе з„ = м 8.16. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на максимальный угол без остановки за время Т при максимальном токе з„ = и 8.16. Записать ограничения, краевые условия и критерий оптимальности в задаче поворота вала двигателя на максимальный угол с последующей остановкой за время Т прн максимальном токе з„= и а2.
г4етод мнохитглгй Лагранзга 8.2. Метод множителей Лагранжа (методы классического вариационного исчисления) Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управлемия с закрепленными концамн и фиксированным временем. Если концы закреплены и время фиксировано, то задачу оптимального управления классического типа можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа классического варнационного исчисления: х; =Ях,п$), 1= 1,2, ..., гц 1гь(х,п,з) =О, 1=1,2, ...,1; хг(зо) =хо, х,(12) =х], 1=1,2, ..., ен гг ,У = Ях, и, 1)аз — + ппп. (8.4а) (8.4б) (8.4в) (8.4г) называется функцией Гамильтона или гамильтонианом, ф; (1 = =- О, 1,2, ..., п) и Ль (й = 1,2, ..., 1) — множители Лагранжа. Предполагается, что функции Ях,п,з) (1 = 0,1, ..., и) и 1гь(х,п,з) (й = 1,2, 1) являются непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам, управление п($) принадлежит классу кусочно- непрерывных функций, а траектории х(1) — классу кусочно-гладких функций.
Функция п(1) называется кусочно-непрерывной на интервале [1о, 1у], если она (т.е. каждая его координата) непрерывна всюду на интервале [1о, $у], за исключением конечного числа точек, где она имеет разрыв первого рода (существуют конечные пределы слева и справа). Функция х(1) называется кусочно-гладкой на интервале [1о, зу], если на [го, зу] она сама непрерывна, а ее производная кусочно- непрерывна. Управление п(1) из класса кусочно-непрерывных функций называют допустимым улравлением, а траекторию х(1) из класса кусочно-гладких функций — допустимой траекторией. Пару (п(1), х(1)) называют допустимой, если допустимыми являются п(1) и х(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
