Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В каждой конкретной задаче на допустимые управления и траектории могут быть наложены дополнительные ограничения. Поэтому при рассмотрении определенного класса задач эти понятия могут уточняться. Функция »"л. 8. Методы теории олтимал»ного аеления Уравнения дН ф«= — —, 1=1,2,...,л; (8.5а) дх, — =О, з=1,2,...,г дН (8.56) ди» называются уравнением Эйлера-Лагранжа. Уравнения (8.5б) представляют собой условие экстремума гамильтониана при каждом фиксированном $ е [Го, 11[, и их называют условием стационарности. Правило множителей Лагранжа закрепленными к о н ц а м и и ф и к с и р о в а н н ы м в р е м е н е м. Если долустимая лара (п($),х(1)) является решением задачи оптимального управления (8.4), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта лара удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа (8.5).
В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (8.4а), (8.4б) и (8.5) при краевых условиях (8.4в). Если оптимальное управление и(Ф) имеет разрыв первого рода в каких-либо точках, то оно само и соответствующая ему траектория х(1) должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В точках разрыва управления, которые называются угловыми, должны выполняться условия где индексы «-» и «+» обозначают левый и правый пределы соответствующих функций.
Эти условия называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана. Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера-Лагранжа линейно и однородно, и этн уравнения не изменятся, если все множители умножить на одно н то же постоянное число. Поэтому в случае, когда»ро уа О (этот случай называют неособым), не нарушая общности„ будем принимать фо = — 1.
Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться, что имеет место неособый случай. Как отмечалось, уравнения Эйлер-Лагранжа является необходимым условием, т.е. любое решение задачи оптимального управления (8.4) является экстремалью, т.е. удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, но не любая экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением задачи (8.4). Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то, очевидно, эта экстремаль и будет решением. 8.2. Меяюд множителей Лагралаеа 197 хи = хт, хт = н; х~(0) = хт(0) = О, ю х1(10) = 1, хт(10) = 0;,7 = и~й ~ пнп. о Решение. Ясно, что задача имеет физический смысл, т.е.
имеет место неособый случай. Поэтому, как условились, полагаем 4до = -1. Составим гамильтониан: Н = — ма + 48~ ха + фтм. Уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид дН дН фт = — — = — фп — — 2и + фт = О. дхт ' дю дН ф,= — =о, дх1 Эта система имеет решение — С1!+ Ст 4Р1 =Сы Фт =-С11+Ст, и= 2 Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта и решив ик„ получим х! = — — + — + Сзз + С4. 12 4 С !' Сзг х,=- — + — +Сз 4 2 Из краевых условий имеем: хт(0) = Сз = О, х~ (0) = С4 = О, хз(10) = — 25С~ + 5Сз = О, 250 х~ (10) = — — С1 + 25Ст = 1. 3 Отсюда находим С~ = 3/125, Ст = 3/25, Сз = О, С4 = О.
Оптимальное управление и оптимальная траектория имеют вид и'(!) = -~ — — С+ — ), х*(1) = ~--! +31 ), 1У 3 31 „1/1, 2~ 125 25)' ' 100~ 5 3 1 хз(!)= — ~ — ! +г . 501 10 Если требуется, чтобы после поворота вала двигателя на угол 1 радиан, он не вращался, нужно положить и = 0 при Г > 10.
При мер 8.4. Решить задачу поворота вала двигателя на угол 1 радиан с последующей остановкой за 10 сек при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления (и, = 0). Эта задача математически формулируется следующим образом: 198 Гл. В. Методы теории оатимальноео управления Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управления с подвижными концами. Задача оптимального управления классического типа с подвижными концами и фиксированным временем формулируется следующим образом: х; = ~з(х, и, 1) „1 = 1, 2, ..., и; рь(х,п,о) =О, 8=1,2, ...,1; ду (х(го), х(ог), го,гг) = О, т' = 1, ..., д < 2п; О У = до[х(го) х(17), го,гг) +,Го(х, и, 1)й - пшел. (8.6г) Щ Граничные условия (8.6в) предполагаются независимыми, функции для(зо),х(17),го,гг~ (д = 1,2, ..., д) — непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам.
На остальные функции накладываются такие же требования, как н в случае задачи с закрепленными концами. Эта задача отличается от рассмотренной выше задачи тем, что изменяются краевые условия и критерий оптимальности может иметь любой из указанных при классификации видов, т.е. в этом случае задача оптимального управления может быть вариационной задачей Лагранжа, Больца и Майера. Когда концы закреплены и время фиксировано, задача оптимального управления может быть только задачей Лагранжа.
Дифференциальные уравнения объекта и уравнения Эйлера-Лагранжа имеют порядок и. Поэтому при их решении будем иметь 2п постоянных интегрирования. При закрепленных концах граничные условия представляют собой 2п соотношений, которые позволяют определить все постоянные интегрирования. Однако при подвижных концах траектории граничных условий не достаточно, чтобы можно было их определить. Недостающие соотношения доставляют условия трансверсальности, которые имеют следующий вид: тн(го) = — ( ) Ф;(17) =, 1= 1,2, ..., п, (8.7а) дб) дС дхг(го) ' ' дх;(17) ' Н!1=са = дг ' ~4с=ег = дг дС дС (8.7б) Здесь а=~ ~ид,, г=о где ьт(1 = 0,1, ..., д) — постоянные неопределенные множители, прн этом ьв = гро (фо — множитель Лагранжа, который входит в гамильтониан).
Функция С называется терминантом Я. Отдельные координаты граничных точек могут быть фиксированы. Соотношения, определяющие эти координаты, в выражение для тер- 199 8.2. Метод множителей Лагранжа минанта С не включаются, и так как при определении необходимых условий они не варьируются, в условия траисверсальности не нужно включать соотношения, содержащие частные производные по этим координатам. В частности, если начальная точка закреплена, т.е. заданы все координаты точки х($о), то в условии (8.7а) все первые соотношения с частными производными по хь(со) должны быть исключены; если время фиксировано, то отпадают условия (8.7б), Правило множителей Лагранжа с подвижными кон ца м и. Если допустимая пара (ц($), х(1)) является решением задачи оптимального управления (8.6), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта лара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (8.5) и условиям трансверсальности (8.7).
Если управление терпит разрыв, то решение (ц($),х(1)) должно удовлетворять уравнениям Эйлера-Лагранжа в точках непрерывности управления. В угловых точках (в точках разрыва управления) должны выполнятся условия Вейерштрасса — Эрдмана. Чтобы получить решение задачи (8.6), нужно решить уравнения (8.6а), (8.66) совместно с уравнениями Эйлера-Лагранжа (8.5) при краевых условиях (8.6в) и условиях трансверсальности (8.7).
Пример 8.5. Решить задачу поворота вала двигателя на угол 1 радиан без последующей остановки за 10 сек при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления (и, = 0): х! = хт, хт = и; х!(0) = хт(0) = О, ш х!(10) =1, 7= итй- ппп. о Решение. Эта задача отличается от задачи, рассмотренной в примере 8.4, только краевым условием на правом конце траектории. Как было получено, гамильтониан и уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид Н = — ит + !р!хз -1- !рзи, дН дН дН !р! = — — =О, !рт= — — = — !р!, — — 2и+!рз=О; дх! дхт ди решением уравнений Эйлера-Лагранжа является — С!1+ Ст !Р! =С!, фа= — С!$+Ся, и= 2 В данном случае С = О, и нефиксированной является только координата хт(10).
Поэтому условие трансверсальности принимают внд дС !рт(10) — д (10) = О. 200 Гл. 8. Методы тео ии олтимальноео нраеления Исходя из этого условия находим !Ьз(10) = -С!1О+ С2 = О, или Сз = 1ОС!. Соответственно для управления получаем и = С! (1Π— 2)/2. Подставив это выражение в уравнение объекта н проинтегрировав, получим хз = — (202 — 1 )+Сз. х! = — 102 — — +Сзз+С4. С! 2 С!/ 2 13! 4 4~ 3) Учитывая краевые условия х!(0) = Сл = О, хз(0) = Сз = О, х!(10) = С! = 1, 500 3 находим и'(2) =0 003(\ 0 — 1), х! (1) =О 0005(3022 — 22), хз(2) =О, 0015(202 — 12). П р и м е р 8.6.
Определить оптимальное управление в следующей задаче максимального быстродействия: 22 х! =хз, хз=и; из!12=Ь, е х!(0) = хз(0) = О,х!(22) = !2, хз(зу) = О, У = зу - ш1п. Р е ш е н и е. Преобразуем нэопериметрическое ограничение: хз = из, хз(0) = О, хз(зу) = Ь.
В данном случае имеем ее = зу н С = иэоэ = — зу. И так как граничные точки траектории закреплены и начальный момент задан (фиксирован), то условия трансверсальности принимают вид Н~ дс 2=22 дзу Гамильтониан н уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид Н = 2р!хт+ авто+ 2рзиз; дН дН дН дН вЂ” — =О. 1Ь2= — — =-т/)!, Фз= — — =0 — =Ч!2+24зм=О.
дх! ' дхз ' дхз ди Из последних уравнений имеем С!1 — С2 !р! С! 2гз = С!1+Сз, !аз = Сз, ю = 2Сз или С! — С2 и= С!1-С2, С = —, С = —. 2Сз 2Сз 201 8.2. Задачи Подставив последнее выражение для управления в уравнение объекта и в дополнительное уравнение, получим 1- 2 з 1 2 хз = — С12 — С21+С4, х1 = — С11 — — С21 +С42+Сз, 2 б 2 хз = -С2122 — С1С212+ С222+ Со. 3 Из граничных условий имеем х1(0) = Сз = О, хз(0) = С4 = О, хз(0) = Сз = 0; 3 1 2 1— х1(гу) = — С122 — -С21à — — 11, хз(гу) = — С121 — СЯ = О, 6 У 2 г ' 2 хз(зу) = — СЯ вЂ” С1С2222+ С211 = Ь. 3 Ь вЂ” 213Ь 2~28 Отсюда находим С1 = — —, Сз = — )1 —, 24 = ~1 —.
Оптимальное 9 28' 'У' Ь управление имеет вид Ь зйЬ2 ' = С,2 - С, = --1 + чу1 — . 1 ЧИ' Здесь, как и в примерах 8А и 8.5, из физических соображений предполагается, что решение задачи существует. Поэтому единственное управление, удовлетворяющее правилу множителей Лагранжа, будет оптимальным.
В данном примере условна трансверсальностн при нахождении оптимального управления не использовались. Они потребовалнсь бы, если нужно было бы определить множители Лагранжа. Задачи 8.12. Записать уравнения Эйлера-Лагранжа н условия трансверсальности при условии, что объект описывается уравнениями Х!=ХЗ, Х2=Х4, ХЗ=Б!, Х4=И2; ограничения на управление, краевые условия и критерий оптимально- сти имеют следующий вид: а) (и1+а~~)й= А (А =сопзз), х(0) =О, х4 =(зу) =О, о .У = -хз(2Г); Гл. В.
Мелют теории оавшмального лравленил | (из+ изз)сй = А (А = сопят), хУ (0) = О„хз(0) = Ь, о хз(0) + хл(0) = оз, х4(зу) = О, ,У = хз(зу); О | (из + и~~)й = А (А = сопвФ), х(0) = О, хз(зу) = О, о .У = — х1(йу); О | (из + из)й = А (А = соней), х1(0) = О, хз(0) = Ь, о хз(0)+хз4(0) =о, хз(йу) = О, .7 = — хз(йу), из~+поз ~ из, х(0) =О, х(йу) = хУ, .7 = 1у, из + изз < й , х~(0) = О, хз(0) = Ь, хзз(0) + хе~(0) = о~, х(йу) = хУ, У = Фу,' б) в) г) д) е) 0 ж) х(0) = О, хв(йу) = х1 хз(зу) = хз, У вЂ” (и1 + йз)й; о 3) х1(0) = О, хз(0) = Ь, хзз(0) +хлз(0) = ю~, х$(зу) = хУ, О хз(гу) = хУ,,7 = (из~+ изз)й; о н) и~~+изР < из, х(0) = О, х1(зу) = хУ, хз(зу) = хзУ, У вЂ” [хзз(йу) + х4(йу)], к) и', + и, '< и,'„, хи(0) = О, хз(0) = Ь, хз(0) + х,'(0) = оз, хв(йу) = х~, хз(йу) = хз, 7 = — [хзз(зу) + хгз(йу)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
