Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Наблюдатель полного порядка для управляемой системы (9.1) имеет вид (9.2) х = Ах + Вц+ К(у — Сх), где К вЂ” произвольная матрица, копюрая может быть функцией времени и которая называется матрицей козффициентов усиления. Устойчивость наблюдателя (9.2) зависит от матрицы А — КС. Уравнение для ошибки е = х — х имеет вид е = (А — КС)е. Отсюда следует, что ошибка е(1) — 0 при 8 — оо независимо от начальной ошибки тогда и только тогда, когда наблюдатель является 9. Д Наблюдатели 221 асимптотически устойчивым. Поэтому при выборе матрицы коэффициентов усиления К необходимо прежде всего позаботиться о том, чтобы наблюдатель был асимптотически устойчивым. Но от матрицы А — КС и соответственно матрицы К зависит еще и качество наблюдателя. Устойчивость и качество наблюдателя зависит от расположения корней его характеристического уравнения, т.е.
собственных значений матрицы А — КС на комплексной плоскости. Собственные значения матрицы А — КС могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем выбора матрицы коэффициентов усиления в том и только в том случае, если исходная система, т.е. пара (А,С), вполне наблюдаема. Если система частично наблюдаема, можно найти постоянную матрицу К, при которой наблюдатель асимптотически устойчив, в том и только в том случае, если система обнаруживаема. В случае стационарного наблюдателя ошибка е(Ф) тем быстрее сходится к нулю, чем больше значения элементов матрицы К.
Однако с увеличением коэффициентов усиления наблюдатель становится чувствительным к шумам измерения. Поэтому оптимальная матрица К может быть определена только с учетом реальных помех. Наблюдателм пониженного порядка. Рассмотрим систему (9.1) х = Ах + Вп, у = Сх, где х — п-вектор, у — р-вектор, причем п > р, А, В, С вЂ” постоянные матрицы соответствующей размерности. Пусть матрица С имеет максимальный ранг, т. е.
равен р. Тогда уравнение наблюдения дает р независимых линейных уравнений для неизвестного вектора состояния х(ь). Чтобы определить х($), необходимо получить дополнительно и — р уравнений для координат этого вектора. Наблюдатель, построенный на таком принципе, называется наблюдателем пониженного порядка. Теорема 9.2. Наблюдатель пониженного порядка для управляемой системы (9.1) имеет вид (9.3а) х = Цд+(Тн+ЬзК)у, Ц = (С'Айз — КСАН)Ч+(С'АйзК+САй~ — КСАЬ1— — КСАВтК)у+(С' — КСВ)и, д(1о) =С'х(Ц) — Кр(1о) (9 Зб) где К вЂ” произвольная матрица, матрица С' такова, что матрица ~ является нгвырожденной (неособой), Ь| и Ьз — (п х р)- 1С 1С' и 1п х и — р))-матрицы соответственно и определяются из соотношения ~,~ = 1Ь1 1.з).
(С1 Наблюдатель пониженного порядка (9.3) называют наблюдателем Луенбергера. 222 Гл. 9. Синтез оптимальнык детерминированнык систем управления Пример 9.1. Построить наблюдатели полного и пониженного порядков для управляемой системы Х1 = Х2, Х2 = И, Р = ХЬ Решение. В данном случае имеем А=[ ]. В (). с=и о!. Наблюдатель полного порядка принимает вид О О 1 й или в скалярной форме х! = х2+ й!(Р— х~), х2 = н+ Й2(У вЂ” х1).
Для построения наблюдателя пониженного порядка необходимо определить матрицы С', Ьн л2. Матрица С' должна быть такой, чтобы С1 квадратная матрица, была невырожденной. В остальном она может быть произвольной. словию невырожденности указанной выше квадратной матрицы удовлетворяет матрица С' = (О 1). Позтому имеем откуда Ь~ = , й = Подставив выражения для А, В, С, С', Ь| и Е2 в (9.3), получим а= -йа — йз+и, х = а+ д. Напомним, что матрица К, или в случае наблюдателя пониженного порядка в данном примере скалярная величина Й, выбирается из условия устойчивости и требований к качеству наблюдателя. У.д Задачи Задачи Х1 = Х1+ 2Х2+ ХЗ.
а) хг = — 2х! +хг, хз = х1 + 2х2 + Зхз + и, х! = — 2х1+ хг+ хз, б) Х2 = х1 + 2Х2, хз = 2х2 + Зхз + и, У = Х1, У = Х1, Х1 =Х2, хг = 2х! + Зхг + хэ, в) хз = х! + 2хг + и, Х! =Хг, Х2 = 2х!+х2+хз, г) хз = — х2 — хз+ и, У = Х1, У = Х1, х! =2х1+хг, д) Х2 Х2+Хз хз = — х! — 2хз+и; Х! = Хг+ХЗ, е) хг =Х1+2хг, хз = -х! — 2хг — хз+ и, У = Х1!. х1=хг, з) х2 = 2х! + Зхг + сз хз хз = х! + 2хг + и, х! = -2х1+хг+2 хз, ж) хг =х! +2хг, хз = 2хг+ Зхз+и, У=Х!', х! = 2х1+ хг, У = Х1, Х! = Хг, хг = — 2Х1+хз, и) Хз = — Х2 — хз+ и, х2=х2 +ХЗ, к) хз = — х! — 2хз+ и, у=х1, У = Х1,. Х1 = Хг + Хз, л) хг = х1+ 2хг, Хз = — х! — хг — хз+ и, У = Х1.
Ук а з а н и е. Для упрощения расчетов элементы матрицы коэффициентов усиления К примите равным единице, а матрицу С'выберите 1С1! такой, чтобы матрица, была единичной. 9.2. Определить матрицу коэффициентов усиления наблюдателя полного порядка, при котором корни характеристического уравнения дифференциального уравнения ошибки е = х — х были равны — 3 х 22 9.1. Синтезировать наблюдатель Луенбергера для следующих управляемых систем (см. в конце задания указание): 224 Гл. У.
Синтез онтимальныл детерминированных систем ун авленил и -3, для следующих управляемых систем: Х1 =Хз, а) хз =хЗ, ХЗ = — Х1 — Хз — ХЗ+Н, б) х2 = хЗ хз = — 2хи — 4хз — бхз + о, у=хм Х! =Х2, у=х!,' х! =хз Х2 = ХЗ, Х2 = ХЗ, в) г) хз = -Зх1 — 2хз — хз + 2н, хз = -2х~ — бхз + о, у =х~, х1 =хм у =х~', х| =хм Х2 ХЗ д) хз = — 2х~ — Зхз+Зн, хз = хЗ, е) хз = — бхай — 2хз — хз+2н, у =х!,' х~ =хз, у = х1,. Х~ = Хз, з) Хз =ХЗ, хз =-4х1 -2хз-хз+о, ж) х2 = хэ, хз = — 2хи — Зхз+ 2н, у =х)' Х~ =Хз, у=х~, Х! =Х2, и) Х2 — ХЗ к) Хз =ХЗ, хз = -х~ — Зхз — бхз + о, хз = -4х~ — 2хз + и, у=х~', у=хи 9.2. Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы Пусть задана вполне управляемая линейная стационарная система х = Ах+ Вм, ~о~ < 1, х Е В", и Е В, все корни характеристического уравнения которого действительны. Заметим, что ограничения более общего вида сз < н < )1, где а < О и )3 > О, введением нового переменного о = 2о — (а + 13)/(а —,0) всегда приводится к приведенному выше виду 1и~ < 1.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат. Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об п интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более п интервалов постоянства, принимает только край- 9.2. Мепюд фаэовой плоскости синтеза 225 ние значения: -1 или !. Если представить его как функцию фазовых координат и' = и'(х), то ясно, что все фазовое пространство разбивается на два подпространства: подпространство, в котором и' = -1, и лодпространство, в котором и' = 1.
Гиперповерхность (при п = 2— кривая, при п = 3 — поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные надпространства, называют гиперповерхностью (кривой, поверхностью) переключения. Если записать уравнение гиперповерхности в(х) = О, то, как известно, в(х) > О по одну сторону от гиперповерхиости и в(х) < О ло другую. Всегда (лри необходимости умножением на — 1) можно выбрать функцию в(х) так, чтобы она была отрицательна в подпространстве, где и' =' — 1, и положительна в подпространстве, где й = 1. Тогда, очевидно, оптимальным управлением будет и' = тяпа(х).
Позтому нахождение оптимального управления с обратной связью сводится к определению функции в(х), которая называется функцией переключения. При п = 2 для нахождения функции переключения можно воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям и" = — ! н и' = 1. Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия на правом конце траектории х(!у) = О она должна оканчиваться в начале координат.
Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения. Проиллюстрируем изложенное на простейшем примере. П р н м е р 9.2. Определить оптимальный по быстродействию закон управления двигателем, описываемым уравнениями х~ =ха, ха=и, !и~ <1, х(О) =хо, х(!у) =О. Решение.
Характеристическое уравнение имеет кратный нулевой корень. Выполняются все условия теоремы об и интервалах. Оптимальное управление может принимать значения — 1 или 1. Найдем соответствующие им фазовые траектории. Разделив второе уравнение на первое, получим 4хз и — — или хзахз = ш!хь ах~ хз Проинтегрировав последнее уравнение лри и = -1 и и = 1, соответственно находим 1 1 -хз = -х! + Сп -хз = х! + Сз. 2 2 ' 2 На рис. 9.1, а представлены оба семейства траекторий. Оптимальная траектория должна состоять из участка траектории одного семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через начало координат.
Из сказанного следует, 226 Гл. 9. Синтез олтимальнык детерминированнык систем явления что переключение должно происходить на полутраекторнях АО и ОВ (рис. 9.1, а). Если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и' = — 1, то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается уравнением хз — 2х| = О. И если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и' = 1, то переключение должно произойти на полутраектории ОА, которая описывается уравнением 4+2*, =О. Фазовый портрет оптимальной системы представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
