Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 39
Текст из файла (страница 39)
94. а) и*(х) *05 — 2о!8п[зщп(хз)(ха~ + х~) + 4х~]; б) и'(х) =0,5 — 1,5зщп[о!6п(хо)ха+ бх~]; в) и'(х) = О 5 — 1,5 о!6п [з!8п(хз)х~~ + 12хз]; г) и'(х) =О 5 — 1,5о16п[о!8п(хз)ха а+ бх~]; д) й(х)=1 — Зоцдь[з16п(ха)хзз+24хи]; е) и*(х) = -0,5 — 1,5 з16п(хр + хо + 1,5 зЩп(ха) х 2 х 1и!1 + -ха ощп(хз)]); 3 ж) и'(х) = — 1 — 2 з!бп(х~ + ха + 4 о!бп(ха) 1п]1 + 025хо о!6п(хз)]); 1 з) и'(х) = — 1 — 3 зц1п(х~ + О бхз + 3 зщп(хт) 1п!1+ — хз зщп(ха) /); 6 и) и*(х) = — 1 — 2 кап(х~ + О,бхз + з16п(хз) 1п]1+ О,бха вщп(ха)]); 3, к) и'(х) = — 0,5 — 1,5 з!6п(х~ + 0,25ха + — з18п(ха) х 8 2 х 1п] 1 + хз ощп(хз)]) ° 3 9.$.
а) и*(х) = -0,5Йх, Й = — 2(2е ' — 1)Й+0,5Йз — 1, Й(10) =0; б) и'(х) = — 0,5Йх, Й = -2(1+о!п~!)Й+Йо — 2, Й(10) = 0; о) и*(к) = — (Ййх~+Йазхз), Йп = Й(о — 1, Й~а =-Йп+Й~зйхп Йзз = — 2Й!а+Йззз — 1, 1с(0) =0; 242 Гл. У. Синтез оптимальных детерминироеанныл систем унраелениа г) и'(к) = -2(йсгхс+йггхг), йп = 4йгг — 2, йп = — йс с + 4йпйгг — 1, йгг = — 2йп + 4й~п — 1, 1с(0) = О; д) и'(х) = †(Йпхс + йпхг), Йц = Й~г — 1, Йп = — Йп + Йп+Йийгг Йгг = — 2йп+2йп+йгг, 1с(0) = 0; е) и*(к) = -(Йпхс + Йггхг), Йп = Йп — 1, Йсг = — йс~ +2йп+Йсгйп, йгг = — 2йп+4йгг+йгг — 2, 1с(0) = 0; ж) и'(х) = — (йпхс+йггхг), йп = 2йп+йс~г — 1, йп = йгг — йс с + йп + йсгйгг, йгг = — 2йп + 2йгг + Йггг 1с(0 ) =0; з) и'(к) = -0,5(йсгхс + йггхг), йн = 4йп+ 0,5йсг — 1, йп = 2йгг — Йсс+йсг+0,5йсгйгг йгг = — 2йп+21сгг+0.51сгп — 1 1с(0) = 0; и) и*(к) = — 0,5(йсгх~+йггхг), йп = 2йп+йгг — 1, Йсг = 1сгг — lси+2йп+Йп1сп, lсгг = — 2йп+4йгг+йгп, 1с(0) = 0; к) и'(х) = — 2(йсгхс+йггхг), йп = 4йп+8йгсг — 2, йп=2йгг — йп+2йсг+8йсгйгг, йгг=-2йсг+4йп+8Цс — 1, Й(0) = О.
9.6. а) и'(х) = — (хс+0,65хг); б) и"(х) = — (0,12хс+0,17хг); в) и'(х) = — (0,71хс +0,4хг); г) и'(х) = — (0,41хс +0,94хг); д) и*(х) = — (0,62х~ + 0,8хг); е) и'(к) = — (0,12хс + 0,17хг); ж) и*(к) = — (1,32хс + 1,16хг); з) и'(х) = — (0,62хс + 0,52хг); и) и'(к) = — (0,29х| +0,42хг); к) и'(х) = — (0,2?хс +0,62хг). 9.7. а) и' = — (у+ 1,3у); б) и* = -(у+ у) в) и' = — (у+ 0,58у); г) и' = — (у+ у); д) и' = — (у+ 0,64у); е) и* = -(0,56у+ 0,38у); ж) и* = — (0,096у+0,42у); з) и* = — (0,39у+0,4у); и) и* = — (0,05у+0,33у); к) и' = — (0,019у+0,045у).
9.8. а) й= — (0,5хс+1,Зхг+О,бхз); б) й=-(хс+2,6хг+1,2хз); в) й= — (хс+бхг+4хз); г) й= — (0,5хс+Зхг+2хз); д) й= — (1,5хс+2,86хг+1,09хз); е) й=-(Зхс+5,72хг+2,18хз); ж) й= — (2хс+2,8хг+2,4хз); 3) й= — (4хс+5,6хг+4,8хз); и) й= — (1,5хс+2,13хг+0,88хз); к) й= — (0,5хс+1,1Зхг+0,88хз). Глава 10 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Во многих случаях, например при управлении различными технологическими процессами, летательными аппаратами и другими объектами, на процесс управления существенные влияния оказывают случайные факторы, и важно их учитывать. И в данной главе будут рассмотрены задачи по синтезу оптимальных систем управления при случайных возмущающих воздействиях (случайных возмущениях).
10.1. Некоторые типы случайных процессов. Формирующий фильтр Стационарный случайный процесс. Случайный процесс Х(г) называется стационарным (слабо стационарным, стационарным в широком смысле), если его математическое ожидание не зависит от времени и корреляционная функция зависит от одной переменной: 1) т, = сопзС; 2) К,(сп ст) = К (т). Стационарные процессы Х(г) и г'(т) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит от одного параметра: К~а(1п се) = К~а(1т — 11) = К „(т). Стационарные процессы, помимо законов распределения и моментов, характеризуются еще спектральной плотностью.
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса Х(1) называется двустороннее преобразование Фурье от его корреляционной функции: о' (ы) = К (т)с 1 ат. Корреляционная функция выражается с помощью спектральной плот- ности обратным преобразованием Фурье.
К (т) = — Я (ы)егюгйы. 1 244 Гл. ГО. Синтез оптимальныя систем управления Аналогично определяется взаимная спектральная плотность двух ста- ционарных и стационарно связанных случайных процессов Х(Ф) и У(г): Яез(м) = К,„(т)е У 'ат, — СО К з(ы) = — Я,в(ы)е' 'йе. Если на вход устойчивой линейной стационарной системы подается стационарный случайный процесс, то на ее выходе в установившем- ся режиме устанавливается стационарный случайный процесс.
Спек- тральная плотность Яз(м) выходного сигнала связана со спектральной плотностью Я,(ш) входного сигнала соотношением ~з( ) = ~В'О )~'~.( ), где Ьг Цш) — частотная передаточная функция системы. Корреляционная функция выходного сигнала имеет вид Кз(т) = — ~ Щы)е~ 'йе = — ~ ~йг(ие~ Я,(ы)е~ йе. — О0 — (Ю Так как дисперсия Оз — — Кз(0), из последнего соотношения находим 2 ~ " 2 Процессы с независимыми и ортогоналзнаеми приращениями.
Случайный процесс Х(т) называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины Х(Го), Х(1~) — Х(Мо), ..., Х(1„) — Х(1„~) при любых го < $1 « ... г„(из области определения случайного процесса) взаимно независимы [19]. Если эти величины только не коррелированны, процесс Х($) называется процессом с некоррелированными или ортогональными приращениями. Процесс с независимыми приращениями полностью определяется распределением Х(Го) и распределением приращений Х($) — Х(з) для произвольных г и з. Если распределение Х(1) — Х(в) зависит от 8 — з, то процесс Х(г) называется процессом со стационарными приращениями. Если Х(1) — Х(з) имеет нормальное распределение, то Х(г) называется процессом с независимыми нормальными приращениями.
Векторный процесс с нулевым средним значением и независимыми нормальными приращениями называют винеровским процессом. 245 СОН. Некоторые мины сл чаанык процессов Белый шум. Стационарный случайный процесс Х(С) называется белым шумом, если его спектральная плотность постоянна: Я (ш) = С (с = сопзС). Постоянная С называется интенсивностью белого шума. Если исходить из определения спектральной плотности, то спектральная плотность будет постоянна, когда корреляционная функция имеет внд К(т) = Щт).
Здесь б(т) — функция Дирака (дельта-функция). Более общее определение белого шума основано на виде корреляционной функции. А именно, случайный процесс Х(С) называется белым шумом, если его корреляционная функция имеет вид К,(С,т) = С(С)б(С вЂ” т). Белый шум называется стационарным, если его интенсивность является постоянной. Процесс У(С) является белым шумом, если процесс Х(С), связанный с У(С) уравнением Х(С) = ЩС)Щ), где Щ) — детерминированная функция (матрица), является процессом с ортогональными приращениями. Если Х(С) является винеровским процессом, то белый шум У(С) называется нормальным (гауссовым) белым шумом. формирующий фильтр. Формирующим Филыпром называется звено, формирующее из белого шума случайный процесс с заданной спектральной плотностью.
Если на вход устойчивой линейной стационарной системы (фильтра) с передаточной функцией 1тф(в) подается белый шум Сг(С) с единичной интенсивностью К„(т) = б(т), $„(ш) = 1, то в установившемся режиме выходной сигнал Х(С) будет стационарным, и его спектральная плотность связана со спектральной плотностью входного сигнала соотношением Отсюда следует: чтобы сформировать стационарный случайный процесс с заданной спектральной плотностью Я,(ш), которую можно представить в виде (10.2) где все полюса функции 1б(з) расположены в левой полуплоскости, достаточно принять передаточную функцию фильтра И"ф(в), равной Ф(з): РУь(в) = уу(в). Как увидим дальше, важно, чтобы не только полюса, ио и нули функции ф(в) располагались в левой полуплоскости.
Представление функции Я (ш) в виде (10.2) называется ее факвсоризацией. Гл. 10. Синтез оптимальных систем управления 246 Фпкягоризаз4ил спектральной 4зуикг4ии. Пусть спектральная плотность Я (ю) представляет дробно-рациональную функцию; где Н(ю), С(ю) — полиномы от щ, дисперсия конечна: .0 = — ~ Я (ы)йи (со. 1 1 о Пусть полиномы Н(ю) и С(щ) имеют вид Н( ) Д 23%4 Я з(т-1) 1 4 Я С(ы) = аощ " + а|а~1" '1 + " + а„.
Разложим их на элементарные множители и представим Я (и) в виде ЛОН+ 4КН- О) ъ/%Н+ ( — И 4РОН (~)н Гас С ,( ~)н ~~ С где Н+, С+ — произведения элементарных множителей, соответствующих корням уравнений Н(щ) = О и С(о) = О, расположенных в верхней полуплоскости; Н, С вЂ” произведения элементарных множите-' лей, соответствующих корням уравнений Н(и) = О и С(ю) = О, расположенных в нижней полуплоскости. Если положить Р(ул) =(з') ~/ЯН+, 90ю) = 0)" (~Се, то имеют место следующие равенства: Р( — уи) = ( — у) ЯН, 4;)( — 1ю) = ( — у)" (~С Поэтому Отсюда для передаточной функции формирующего звена получаем гте(з) = —.
Р(з) ь)(з)' Заметим, что корням уравнений Н(ы) = О и С(щ) = О, расположенным в верхней полуплоскости на плоскости корней ю, на плоскости з = уо соответствуют левые корни. Поэтому в соответствии с построением полиномов Р(з) и 4у(з) все нули и полюса передаточной функции формирующего фильтра располагаются в левой полуплоскости. 247 !0.1. Задами П р н м е р !0.1. Определить передаточную функцию формнрующего фильтра для стационарного случайного процесса со спектральной плотностью Я.(м) = , +, , (Ь > О). м +2О +!' Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
