Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 37
Текст из файла (страница 37)
9.1,б. Уравнение линии переключения АОВ, основываясь на уравнениях полутраекторий АО и ОВ, можно записать так: а(х) = — (хз + 2х1 ящп хз) мйп хз = О. Функция а(х) отрицательна справа от линни переключения, где и' = = — 1, и положительна слева, где н' = 1. Позтому имеем н' = тяпа(х) = — з1йп[(хз + 2х~ з)йп хз) а)йп хт]. Заметим, что кривая АОВ может быть описана уравнением а(х) = -(х~~+ 2х~ в)йпхт) = О. Однако знак функции а(х) слева и справа от кривой АОВ меняется прн переходе с верхней полуплоскости в нижнюю полуплоскость.
Позтому зта функция не может быть функцией переключения. я=1 и= — 1 а) Рнс. 9.1. 9.2. Задачи 227 Как следует из фазового портрета, переходный процесс оптимальной системы является апериодическим. Однако из-за неидеальности переключающего устройства, неточности математической модели объекта и других возмущений'реальный переходный процесс может оказаться колебательным. Задачи 9.3. Определить оптимальное управление с обратной связью й (х) в задаче максимального быстродействия при условиях, что в начальный момент х(0) = х (х — произвольный вектор), в конечный момент х(27) = 0 и объект описывается следующими уравнениями: хз=и — 1, 1и~<2; Х2 = 2и — 1, 1и~ < 1; х2=4и — 2, ~и)(1; х2 — 2и — 2, 1и~ < 2; х2 = 4и — 4, ~и~ < 2; Х2 = — Х2 + и, 1и~ ( (1 х2 = — Х2+ 2и, ~и~ < 1; х2 = — 2х2 + 4и, 1и~ ( 1; х2 = — 2х2+ 2и, (и~ < 2; х2 = — 4х2 + 4и, (и! < 2. а) х~ =х2 б) х~ =х2 в) х~ =х2 г) х~ =Ха Д) Х~ = Х2 е) х~ = х2 ж) х1 =х2 З) Х~ =Х2 И) Х~ =Х2 К) Х~ =Х2 9.4.
Определить оптимальное управление с обратной связью и*(х) в задаче максимального быстродействия при условиях, что в начальный момент х(0) = хе (хо — произвольный вектор), в конечный момент х(27) = 0 и объект описывается следующими уравнениями: Х2 Х2 х2 х2 Х2, Х2 Х2, Х2 Х2 Х2 Х2, Х2 х2, х2 Х2 Х2 х2 х2 Х2, Х2 а) х~= б) х~= в) х~= г) х1 = д) х1 = е) х1= ж) х~ = з) х~= и) х~ = к) х1= =и — 1, — 1,5<и<25; =2и — 1, — 1 <и <2; =4и — 2, — 1<и(2; =2и — 2, — 1<и<2; =4и — 4, -2<и<4; = -х2+и+05,-2 < и < 1; = — х2+2и+2, — 3 ~ (и < 1; = -2х2+ 4и+ 4, -4 < и < 2; = — 2х2 + 2и+ 2, — 3 < и < 1; = -4х2 + 4и+ 2, -2 ( и ( 1. 228 Гл.
9. Синтез оптимальных детерминированных систем управления 9.3. Синтез оптимальных по интегральному квадратичному критерию систем управленим Постановка задачи. Пусть объект описывается уравнением х = А(т)х+ В(т)ц+ Ь(т), х(то) = х (9.4а) и критерий оптимальности имеет вид .7 = хт (СГ)Рх(йу) + [хт (т)Я(т)х(т)+цт(т)В(й)ц(т)]дх. (9.46) Теорема 9.3.
Решение задачи (9.4) синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора существует, единственно и оптимальное управление имеет вид ц' = — В 'ВтКх+ -В 'Втр т 2 (9.5а) где симметрическая (и х и)-матрица К и и-вектор р определяются из уравнений КА АтК+ КВВ- ~ВтК с) р = КВВ 'Втр — Атр — 2КЬ (9.5б) (9.5в) при граничных условиях к(е~) = Р, р(ет) = О; для любого Ф Е [йь $у[ справедливо равенство (9.5г) х~(т) К(ь)х(ь) + р~(ь)х(т) + 4(ь) = = хт (ФУ)Рх(с1) + [х т(щ(а)х (ь)+ц т(ь)В(ь)ц (й)[йй с Здесь Ь(т) — известная функция времени, Р— положительно полуопределенная матрица, 9($), В٠— положительно определенные матрицы (хтгх>0, х~Ях>О н х Вх>0 при всех х~О и тЕ[те,су[), функции А(т), В(т), Ь(й), Я(й) и В(й) являются непрерывными на интервале [1о,Фу[, начальный и конечный моменты времени ьз и $Г фиксированы.
Требуется найти управление с обратной связью, при котором при произвольном начальном условии х(1е) = хо критерий оптимальности принимает минимальное значение. Эту задачу называют задачей синтеза нестационарного линейного регулятора состояния. У.З. Синтез олтимвльнык систем аления 229 где д(1) — скалярная функция, которая определяется из уравнения т д = -р'ВВ-'В'р — р'й, 9(г,) = О. 4 Те о ре ма 9 За. При Ь(ь) = 0 олтимальное управление имеет вид и"= — В 'В Кх, (9.6а) где симметрическая (и х п)-матрица К определяется иа уравнения К КА АтК+ КВЯ 1ВтК () К(г,) = Р. (966) для любого с Е [гд, г7] справедливо равенство хт(С) К(г)х(Ф) = ьг = х (Фу)Гх(С7) + [х' (Ф)9(Ф)х'($) + и'т(8)В(Ф)п'(С)]де. (9.6в) Уравнение (9.56) называют матричным уравнением Риккати.
Решение матричного уравнения Риниати. Матричное уравнение Риккати является нелинейным. Его можно решить на аналоговой или цифровой машине в обратном времени начиная с момента С7. Прн этом вводится новая переменная (обратное время) т = с7 — т и уравнение(9.56) и граничное условие (9.5г) преобразуются к виду К КА+ АтК КВЙ вЂ” 1ВтК+ ф, 0 ( т ( СУ $о .К(0) = В, где К(т) = К(Ф7 — т), А(т) = А(гу — т), Синтез оптимальной по интегральному квадратичному критерию стационарной линейной системы управления.
Постановка з а да ч н. Пусть объект описывается уравнением х= Ах+ Вп (9.7а) н критерий оптимальности имеет вид — [хт(~) ~)х(г)+пт(г) Вп(г)]да (9.76) Здесь Я н  — положительно определенные матрицы, все матрицы А, В, Я н В являются постоянными, объект стабилизируем. Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, переводящее систему из произвольной начальной точки х(0) = хе в конечную точку х(оо) = 0 н обеспечивающее минимум функционалу (9.76). Эту задачу 230 Гл. 9. Синтез оптимальных дете мини ованнык систем уп веления называют задачей синтеза стационарного линейного регулятора состояния. Теорема 9А.
Задача (9.7) имеет решение тогда и только тогда, когда объект (9.7а) стабилизируем, и оптимальное управление имеет вид и*=-В 'В Кх, где К вЂ” постоянная положительно определенная симметрическая (и х п)-матрица, определяемая из уравнения КА АтК+ КВ1Г~ ВтК Я 0 называемого алгебраическим уравнением Риккати; для любого г > 0 справедливо равенсгпво хт (ь)Кх(г) = (хт(тДх(т)+и*т(г)йи" (т))йт, ь где слева стоит функция Ляпунова.
Подставив управление в уравнение объекта; получим уравнение замкнутой системы х = (А — ВЯ 'В~К)х. Функция Беллмана является функцией Ляпунова для этой системы управления. Метод решения алгебраического уравнения Риккапш. Алгебраическое уравнение Риккатн является нелинейным, и. в общем случае аналитически решить его не удается. Решение этого уравнения совпадает с установившимся решением дифференциального матричного уравнения Риккати. Поэтому один нз возможных способов его решения основан на нахождении установившегося решения матричного уравнения Рнккатн, записанного в обратном времеви, прн начальном условия К(0) = Е, где Р— произвольная положительно полуопределенная симметричная матрица. Пример 9.3. Определять оптимальное управление с обратной связью в следующей задаче оптимального управления: х~ =хм хо =и,,У= (х~~+дхз~+гй)йт- п1ш, о >О, г> О.
о Решение. В данной задаче имеем А ~ ~. В=(). о=~ 9.8. Синтез олтямальных систем у ннл Поэтому оптимальный закон управления имеет вид и'= — — (О 1)~ ~~ 1= — -(Й х+Й х), ° 1 Й11 Й12 х! 1 г Й21 Й22 х2 где Йу определяются из уравнения [2 2 ] [О 1] [О 0] [2 2 ] 3 [2 2„](0)(0 31„ " Й,! Йгг О д О О ' или равносильной ему системы — 2Йгг+ — — у = О. Й22 ! — — 1=0, -Йн+ — =О, Й12 Й„Й2, т г Эта система имеет решения 2 -200. 2 =04 6 22 (.
2 Й!гйгг Критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К удо- влетворяет решение Вы= ', 2 — 0(((2222 01, 2 =0'222 7. Оптимальный закон управления имеет вид 1г и' = — -(,/гх(+ г(9+2~/г)хг). х! = х! + и, хг = ах2,,2 = ~ (х, + хг+ и )(12 — 2 пйп 2 2 2 о имеет решение. Решение. В данной задаче имеем А=[ ], В=(). 0=[ ]. Поэтому оптимальный закон управления имеет вид и = (! 0) = — (Й1! Х! + Й(2Х2), Пример 9.4. Определить, при каких значениях параметра а задача оптимального управления 232 Гл.
9. Синтез оптимальных детврминированных систвм правления где йу определяются из уравнения lсм йзз О а О а йм х () (1 о) 1О ОО или системы — 2йн+ йы — 1 = О, -2айш+йыйш = О, — 2йш+йш — 1 =О. Последние уравнения имеют решения 1 йп = 1 х ~/2, йш = йм = О, йш = — —. 2а' Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы К будет выполнен, если й1 ~ > О и йзз > О. Второе неравенство будет выполнено и задача будет иметь решение, если а с О. При ся > О задача не имеет решения. Это обусловлено тем, при этих значениях параметра объект не стабилизуем.
Синтез оптимального линейного регулятора выхода. Пусть задана управляемая система х=Ах+Вц+Ь, у =Сх и критерий оптимальности 1 з = хт(сг)рх(сГ) + (ут~у+ птЯп)дх Здесь Ь вЂ” известная функция времени, à — положительно полуопределенная матрица, 4 и  — положительно определенные матрицы, зависящие в общем случае от времени. Матрицы А, В, С, ф Н как функции от времени предполагаются непрерывными на интервале [Фо,гу1 Требуется определить управление с обратной связью, при котором критерий оптимальности при произвольной фиксированной началъной точке принимает минимальное значение. Эту задачу называют задачей синтеза оптимального линейного регулятора выхода, причем если объект или критерий нестационарен (хотя бы одна из матриц А, В, С, ф, В зависит от времени) или ФГ кончен, — нвсглационарной и, если объект и критерий стационарны и ГГ = со, — стационарной задачей синтеза линейного регулятора выхода.
Задача синтеза оптимального линейного регулятора выхода отличаегся от рассмотренной задачи синтеза оптимального регулятора состояния только тем, что в критерий оптимальности вместо вектора состоя- 9.3. Синтез олтимельиых систем уираеленил 233 ния входит выходной вектор и условие задачи дополняется уравнением наблюдения. Подставив выражение для выходного вектора в критерий оптимальности, получим е" = х~Я)ехай) + (х С«фСх+ ц«йц)»12. Таким образом, задача синтеза оптимального линейного регулятора выхода свелась к рассмотренной задаче синтеза оптимального линейного регулятора состояния. Отличие состоит в том, что здесь роль матрицы ч играет произведение С~'4С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
