Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При этом может оказаться, что, хотя матрица ф является положительно определенной, произведение этим свойством не обладает: оно может быть положительно полуопределенным. Произведение С~ЩС будет положительно определенным, если у = 0 в том и только в том случае, когда х = О. При мер 9.5.
Определить оптимальный закон управления в следующей задаче оптимального управления: решение. В данной задаче имеем Поэтому для оптимального закона управления получаем М = — (О 1) = — (Й21Х! + Й22Х2), !'й» й12'! /Х!'1 и21 к22" З2 где й!у определяются из уравнения й11 12 0 1 0 0 й11 й12 + Й1! Й12 0 (О 1) йм й22 0 0 0 0 или равносильной ему системы л12 — ! =О, — йц+Йпйж=О, — 2й!2+й22=0. 234 Гл, У. Синтез оптимальная детерминированныя систем управления Эта система имеет решения йп = йм —— 1, йтз = Ы/2, йы =*чу. Критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К удовлетворяет решение кзт = ~Г2, й~ ~ = ~Г2. й!2 = к2! = 1, Следовательно, оптимальный закон управления имеет вид и' = — (х~ + ~/2 ха). Синтез оптимальной системы по критерию обобщенной работы. При решении задач синтеза оптимальных систем управления по интегральному квадратичному критерию сталкиваемся с необходимостью решать нелинейные дифференциальные уравнения Риккати в случае нестационарной задачи и нелинейные алгебраические уравнения Рнккати в случае стационарной задачи.
А.А. Красовский предложил критерий оптимальности, который он назвал критерием (функционалом) обобщенной работы, при котором удается избавиться от необходимости решать нелинейные уравнения. Суть метода синтеза оптимальной системы по критерию обобщенной работы состоит в том, что интегральный квадратичный критерий выбирают так, чтобы уравнение Беллмана получилось линейным. Рассмотрим задачу синтеза оптимальной линейной системы, когда уравнения управляемой системы и критерий оптимальности имеют вид х= Ах+Вы, (9.8а) ьг ,У = х (зу)Гх(зу) + (х Ях+ ц~ Вп+ й~Лй)й, (9.8б) гь где Š— постоянная положительно полуопределенная матрица, сг — положительно полуопределенная, В-положительно определенная матрицы, которые могут зависеть от времени.
Теорема 9.5. В задаче (9.8) при условии, что объект устойчив и в критерии оптимальности (9.86) и = и* = — Я 'ВтКх, 1) оптимальный закон управления имеет вид и' = — В-!ВТКх, где положительно определенная симметрическая матрица К ощзеделяется из линейного дифференциального уравнения К = — КА — АтК вЂ” С) К(1 ) — Р (9.9а) если она является нестационарной; 235 9.3. Синтез олтимальнык систем тгаеления 2) оптимальный закон управления имеет вид ц' = -Я-1ВтКх где положительно определенная симметрическая матрица К определяется из линейного алгебраического уравнения КА+ АтК+ д = 0 (9.9б) если она является стационарной (все матрицы являются постоян- ными и 8у = оо).
Уравнение (9.96) является уравнением Ляпунова, и оно имеет решение, если среди собственных значений матрицы А нет пары собственных значений, сумма которых равна нулю. Если объект устойчив (все собственные значения матрицы А имеют отрицательную вещественную часть) и матрица 9 положительно определена, то уравнение (9.9б) имает единственное решение, которое является положительно определенной матрицей. Когда объект неустойчив, уравнение (9.9б) может не иметь решений нли иметь решения, при которых синтезированная система будет неустойчива.
Пример '9.6. Определить оптимальный закон управления по критерию обобщенной работы при условии, что уравнения объекта н критерий оптимальности имеют вид х~ = хт х2 = — х1 — х2+и, з = ~ (х~+х2+и +и )д2. 2 2 2 -2 о Решение. В данной задаче имеем А=, В=, (г= ", В=1. Оптимальный закон управления имеет вид и' = — (О 1) ~ ' 1 ~ ' = — (йт~х~ + lсзях2), где ну определяются из уравнения )22! й22 1 1 1 — 1 к21 к22 0 1 нлн системы — йш — й21 + 1 = О, !ги — йм — 1~2 = О, й2~ — й22 + йп — йш + ! = О, йж = Йш. 236 Гл. У.
Синтез онмимильнкл (ге минированных сисмем ленин г1 ма = -~-х(+ хг )(2 34ЩФчм 9.6. Определить управленце с обратной связью (выражение для и'(х1 и дифференциальные уравнения для злементов матрицы К) в следующнх задачах оптимального управлення: ю о=(2.-'-О о~,'(о)=о, о=~ (*'оо,')ойо ю о) о=(1-;м'о) +о, *(о)=~, о=/(ойо;,.'ада) аа о ю .) *,-а, а=,,(о)= .
о=1( (о$;- ')а)- о )о .) а-а, о,=о, *(о)=~, о=~ (о*)::*,'оойао ')й)- о о,--~-,-,,(о)-й",,г=~(,)+ ')а)- о ю а=-оао,,(о)=~, о=~ ( ).~2*)о,')й)- о ю — +. *(о)=*'. =Г(*,+ ')а) г а о (о а=-о* -*,.~, (о)=~. 3=)(ионооа)й) о д) х) =хг, е) й( =хг, ж) х) =хг, з) х) =хг, Эта система имеет следующее решение: 1 3 йю=йг) =-, йх) =1, йн =-. 2' ' 2 Это решение удовлетворяет критерию Сильвестра. Оптимальный закон управления имеет вид ю ) й 0, Оь — — 2 42и (О), 3=) ( 44 )й) и о к) х) =хт, ха= — 2х)-2хз+4м, х(0) = хе, )о .4=~ (Ь)4 (42 ')й) о 9.6.
Определить управление с обратной связью в следующих задачах оптимального управления: ) *' -*. 4ь — ~,4, *(О)=*. 2=((0444 ')й) и, о б) х) =ха, ха= — 4х) — 2хз+2и, х(0) =ко, г=((2 ',42 0,4*)44 ')й)- о ') =20 2 = 4 44 (о)= ° 2 ((ь)4444 )й) и о ) 2 2 . *' -2* -*.42»,*(О), 2 ((Ь)4Ь)42й)й) о и д) х) =2хт, хт= — х) — 2хт+2и, х(0)=хе, 00 4=((2,42, 42 42 )й) и о ) 4 =*, й — Ш вЂ” 2 424 *(0)=й. 2-~(,4444 )й) о ) 2 й, 4 — 2.
— 4* 44» *(О)-й. 2-((Оа4344 )й) о 238 Ги 9. Синтез онтимвлйны)3 детерминированных систем веления з) х) =2хг, хг= — 4х)-4хг+бн, х(0) =хо, У= ( )4*)44* йрр*)+4 ')й) о и) х) =хг, хг= — 5х) — 4хг+и, х(0)=х, о 3 / )уй44*й +3*'+ )й) и о к) х)=хг, хг=-бх)+2хг+Зн. х(0)=хо, ОО 3=) )2*',42*а +2* 42 ')й) о 9.7. Определить управление с обратной связью и' = и(у,у) в следующих задачах оптимально управления: а) у= — и у(0) уо у(0) уо,у ~ (уг+2уг+мг)дг), щ,п, о 2 „ у(0) уо у(0) =уо ,7 ~ (уг+2уг+„г),ц) , ;,. о 4 Р= — . Р)0)=Р, У)О)=р, 3-) )23'423 УОН42» )й) рг+4р ' о — + ппп; и г) у= и, у(0)=уо, у(0)=уо, 2 рг+2р+1 4= ~ )2Р...23';-233-;- ')й) й о 4) У= .
У)О)=Р, Р)О)=2, 3=))4Р42Р4 4)й) 2 рг+4р+3 о 4 е) у „ у(0) уо у(0) уо рг+ бр+ Б 4=) )43'42Р42рр42 )й) й: о 239 У.й. Задачи 4 ж) у= и у(0) уо ур) уо,г ~ ~уз+4уз+4из)(11) - шш рз+4р+5 ' ' ' 1 ч' о 1 р= 4 р(0(=р, р(0(=р, Р )(42 42 42224 (й( рз+ 2р+5 о -+ шш; ч 1 и) у — и у(0)-уо у(0)-уо уз+бр+10 ' 2=(р 4-42 4-4224- '(44( о «) у и у4(0) уо у(0) уо 2 рз+бр+13 00 Р=)(РОГ42рр42 (24( о 8.8.
Определять управление с обратной связью, переводящее объект нз произвольного начального положения х10) =хо в начало координат, в следующих задачах оптимального управления с критерием обобщенной работы: а) х( = хз, хз = хз, хз = -х( — 2хз — Зхз+ и, 2=)(04*(4*(4 '4Ф(44- о б) х( = ха, хз =хз, хз = -х( — 2хз — Зхз+и, =12(*(4444 "4 "(44-- 0 о в) х( = хз, хз = хз, хз = — 2х( — 2хг — 2хз+ и, 2-)4(*(4* -.'- 4 4Ф(44 и о г) х( = ха, хз = хз, хз = — 2х( — 2хз — 2хз+и, 2=)2(0444*(4 4Я(й '0 ч о Гл.
9. Синтез оптимальна!л детерми еанныл систем ааления д) *! = ха, хз = ха, хз = -х! -Зхй-4хз+и, г=~з)а~ )+а+ '+у)е и О е) х! =хь хз =ха, хз = — х! — Зхз — 4хз+и, г=~6)а+*)+н+ '+и)е О ж) х! = ха, хз = хз хз = — х! — Зхз — 2хз+и, 3= /4)*)+а+ц+ + )й н О х! = хз, хз = хз, хз = -х! — Зхз — 2хз+ и, г- ~н)а+ )+а+ '+Ф)й н о х! = хг хя = хз, хз = -х! — Зхз — Зхз + и, 3 ~ )3, <.2 <.4.~ <.Ф)л и о х! =ха хз =хз, хз = — х! — Зхз — Зхз+и, 3=) ф<-2 -';3 .~ ';Ф)й н о Ответы 9Л. а) б) в) г) я) е) ж) з) и) к) л) з) и) к) д)= — д! — дз — 2у, дз=2дз+2у+и, х)=у, ххнз=д)+у, хна=да+у; д! =д! — дь дз =д)+2дз+Зу+и, х! =у, ха=д)+у, хз =да+у; д)=2д)+дз+Зу, дз=д)+у+и, х)=у, хнз=д)+у, ххнз=дз+у; д! =да+у, да= — 2д! — дз — Зу+и, х! =у, ха =д)+у, хз = да+у; д! =да+у, да =-д! -2дз — Зу+и, х! =у, ха =д)+у, хз =да+у; д! =д! — дз, да= — Зд!-2дз-Зу+и, х! =у, хз=д)+у, ха=до+у; д! =д! — 2дз — у, дз=д)+дз+2у+и, х! =у, хз=д)+у, ха=до+у; д! =2д)+дз+Зу, да =д)+у+и, х! =у, ха=д)+у, хна=до+у; д! = — д)+да да=-2д! — дз — Зу+и, х! =у, хз=д)+у, ха=да+у; д! =до+у, до= — д! — 2дз — Зу+и, х! =у, хо=д)+у, хз =да+у; д! =д)+2дз, дз= — 2д! — 2дз — 4у+и, х! =у, хна =д)+у.
ха=да+у' 9.3. Оавеем 24! 9 2. а) К = (8 22 8); б) К = (4 7 — 14); з) К = (8 21 — 1) г)К=(9 26 — 8); д)К=(6 13 — 2); е)К=(8 21 — 3); ж)К=(6 11 — 6); з)К=(8 21 — 2); и)К=(4 8 — 14) к) К= (9 29 17) 9 3. а) и*(х) = — 2 о16п [о!6п(хз) (хза + 2х ) + 4х~] б) и*(х) = — з!бп[о!бп(хз)(ха з+ 2х~) + 4х~]; в) и*(х) =-о!6п[з!бп(хз)(ха~+ 4х~) + 8ху]; г) и'(х) =-2зщп[зщп(ха)(х$+ 4х!) + бхай]„ д) и*(х) = — 2 зцрь [кап(хз) (х~ + 8х ) + 1бх]; е) и*(х) =. — ощп(хи + хз + з!бп(хз) 1п/1 + ха з$8п(хз) !); ж) и'(х) = — ощп(хи + ха+ 2 ощп(хт) 1п]1+ О бха о16п(ха)]) з) и'(х) = — ощп(х> + О,бха + ащп(ха) 1п~! + О,бха о!6п(ха)]); и) и*(х) =-2 оцуп(х! + 05хз + о!6п(хг) !п]1 + О бха з!6п(ха) 1) к) и'(х) = — 2оцрв(хю + О 25хо + О 5 кап(хз) )п!1+ О 5ха зцрь(хз)]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
