Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из (10.13) имеем 1 - Р, + й)(Р) — д) + йз(Р, — ) й(О) = О р= —, р(0) =р . о -' р г)1 й,= — ", Р г)! Для искомой оценки из (10.13а) получаем х) = 4, хт = рз. Фазовые координаты в начальнмй момент не коррелированы с шумами объекта и наблюдения, и они имеют следующие вероятностные харак- теристики: 10.2. Задана Задачи 10.3. Принимаемый сигнал Х(Ф)представляет сумму полезного сигнала Я(Ф) и помехи М(Ф): Х(С) = Я(1) + Ф(1). Их корреляционные функции соответственно имеют вид К~(т) )Уе а1т! Кп(т) Ье а~т~ Шумы объекта тю и наблюдения т'„являются белыми с интенсивностями д и т соответственно, н они не коррелированы. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале (0,1) несмещенную оптимальную оценку при следуюших значениях параметров ап аз, 6, 4 и т: а) а1 = О, ат = 2, Ь = 2, д = 1, т = 1; б) а~ = -4, ат = 2, Ь = 1, д = 2, т = 1; в) а~ = О, ат = — 4, 6 = 4, д = 2, т = 2; г) а1 = — 1, аз = -4, 6 = 2, д = 4, т = 2; д) а1 = -2, ат = — 1, Ь = 2, д = 4, т = 1; е) а1 = -2, ат = 2, Ь = 8, д = 2, т = 4; ж) а~ = — 2, ат = — 4, 6 = 8, 4 = 2, т = 4; з) а1= — 4, аз=4, 6=4, 4=1, т=2; и) а~=-5, аз=-4, 6=4, 4=1, т=2; к) а~ = -5, аз = 2, 6 = 1, д = 1, т = 1.
10.6. Дана управляемая система х1 =а~хт+Ьв, х1(0) = О, у = х1+ $'н, хз(0) = О, Полезный сигнал и шум не коррелированы. Определить передаточную функцию фильтра Винера при следующих значениях параметров а, УУ, а иЬ: а) а=2, Д=1, а=1, Ь=1; б) а=4, р=2, а=2, Ь=1; в) а=4, 8=4, а=1, Ь=1; г) а=б, 1У=4, а=1, Ь=1; д) а=4, УУ=1, а=1, Ь=1; е) а=1, 1У=1, а=2, Ь=1; ж) а=1, )У=1, а=б, Ь=2; з) а=1, 1У=1, а=4, Ь=4; и) а=б, р=1, а=2, Ь=4; к) а=1, Р=1, а=4, Ь=1. 10.4. Дана управляемая система х1 = хз, хз = а1хк + азха + Ьи + Ъщ, х~(0) = О, хз(0) = О, у = х| + т'н. 262 Гл. 1О. Синтез оптимильныл систем управления где хш ӄ— шумы объекта и наблюдения. Шум объекта хз подчиняется уравнению хз = азха+ сУш.
Здесь У„и Ую являются белыми шумами с интенсивностями г и д = ! соответственно, и они не коррелнрованы. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале [0,1] несмещенную оптимальную оценку при следующих значениях параметров аи аш Ь, г и с: 6=1, г=1, с=2; 6=2, г=1, с=2; 6=2, г=2, с=1; Ь=1, г=2, с=1; аз = — 1, аз = — 1, аз = — 2, аз = — 2, аз= — 4, 6=1, г=4, с=2; аз = — 4, Ь=4, г=4, с= 2; Ь=4, г=4, с=З; Ь=З, г=2, с=З; аз = — 3, аз = — 3, аз= — 4, Ь=3, г=2, с=5; аз = — 4, Ь = 4, г = 2, с = 5.
10.6. Дана управляемая система х1 = охз + Ьи, х~ (О) = О, у = х| + У„, где хз и ӄ— шумы объекта и наблюдения соответственно, и они не коррелированы. Шум объекта хз является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией К1г) = 13е ~'~ и математическим ожиданием в начальный момент М(хз10)) = О, а шум наблюдения ӄ— белым с интенсивностью г. Определить на основе наблюдения выхода у на интервале 10,1) несмещенную оптимальную оценку при следующих значениях параметров: а) а1 = 1, б) а1 = 2, в) а~ = 2, г) а~ = 4, д) а~ = 4, е) а1= 2, ж) а~=2, з) о1= 5, и) а1 =5, к) а1 = 3, а) а=1, б) а = 2, в) а = 2, г) а=4, д) а=4, е) а=2, ж) а=2, з) а=5, Ь= 2, Ь=1, Ь=1, Ь=2, Ь=2, Ь= 3, Ь=3, Ь= 4, 13 = 4, Д=4, 13=1, ,3=1 13 = 2, Д=2, Р=1, ~3=1, а=1, г=1; а=1, г=1; а=2, г=2; а=2, 'г=2; а=4, г=4; а =4, г= 4; а=З, г=4; а=З, г=2; 1О.г. Зааа 263 и) а =5, Ь=4, Д= 3, а=4, г =2; к) а=З, Ь=5, Д=З, сг=4, т=2.
10.7. Дана управляемая система х! = хз, хз = а1х~ + азха + и+ Узо, х~(0) = О, хз(0) = О, р = х~ + з, где Узо н з — шумы объекта н наблюдения соответственно. Шум объекта Узо является белым с интенсивностью д, шум наблюдения х— цветным н подчиняется уравнению й = Зз+2Р. Здесь Є— белый шум с единичной интенсивностью, шумы Уш н Р„ не коррелнрованы. Определить несмещенную оптимальную оценку фазового вектора, принимая за наблюдаемый выход у =рь — СВн — ду (С= (1 О), В= [О 1]т) прн следующих значениях параметров аы аз, г) н д: аз= — 4, д= — 4, аз= — 4, г)= — 1, 10.8. Дана управляемая система х~ = хм хз = а~х~ + азха+ Ьи+ Узз, х~(0) = О, хз(0) = О, у = х~ + з, где Узо н з — шумы объекта н наблюдення соответственно, н онн не коррелированы. Шум объекта Ур является белым с интенсивностью 4, шум наблюдеяня з — цветным с корреляцнонной функцией Кз(т) = 2е а1т1(гз, Определять несмещенную оптимальную оценку фазового вектора, прнннмая за наблюдаемый выход у=у — СВи — Ыу (С= г(! 0~, В= [О Ь~ ) а) а~ =-1, б) а~ =-2, в) а~ =-2, г) а~ =-1, д) а~=-2, е) а~ =-2, ж) а~=-2, з) а~= — 5, н) а~ =-3, к) а~ =-5, аз = -1, ат = -1, аз=-1, аз = — 2, аз = — 2, аз = -4, аз = — 3, аз = — 3, И=-1, д= — 1, И= — 2, Ы=-2, й= — 4, д= — 2, д= — 2, И= — 1, о=1; 4=1; 4=2; 4=2; 4=2; 4=2; 4=1; 4=1; 4=3; 4=3.
264 эл. 10. Синтез опмнмальных систем управления значениях параметров аы оз= — 1, а= — 1, 6=2, аз=-1, 6=2, а= — 1, аз= — 1, а= — 2, 6=4, аз = — 2, а= — 2, 6=4, аз= — 2, а= — 4, 6=3, аз= — 4, а=-2, 6=3, а= — 2, 6=5, а= — 1, 6=5, аз = — 3, о = — 3, а=4, 6=2„4 а= — 1, 6=2, аз = — 4, аз = — 4, 10.9. Дана управляемая система где Ка н К, — белые шумы объекта и наблюдения с интенсивностью д~ и соответственно, и онн не коррелированы; уы уз — выходные (наблюдаемые) переменные. Определить несмещенную оптимальную оценку фазового вектора прн следующих значениях параметров ан аь Ь, д~ ит: а) а1 = 1, аз = 2, Ь = 1, д1 = 1, т = 2; б) а1 = 2, ог = 2, 6 = 1, 41 = 2, г = 2; в) а~ = 2, аз = 4, Ь = 2, д = 2, т = 4; г) а~ = 3, аэ = 4, 6 = 2, д~ = 4, т = 4; д) а~ = 3, от = 5, 6 = 3, Е = 4, т = 2; е) а1 = 4, аз = 5, Ь = 3, д~ = 2, г = 2; ж) а~ = 4, аз —— 3, Ь = 5, 4~ = 2, т = 1; з) а~ = 5, аз = 3, Ь = 5, д1 = 1, т = 4; и) а~ = 5, ат = 4, Ь = 4, щ = 4, т = 1; к) а1 = 6, аз = 4, 6 = 4, 4~ = 2, т = 2.
10.3. Стохастические оптимальные системы Для строго детерминированных систем управления не имеет значения, какое управление — программное или с обратной связью — используется, так как знание управления и начального состояния позволяет однозначно определять состояние системы в любой момент времени. Наблюдение за текущим состоянием системы не дает новой при следующих а) а~ =-1, б) а~ =-2, в) а~ =-2, г) а1 =-1, д) а1=-2, е) а1 = — 2, ж) а~= — 2, з) а1 =-5, и) а1=-3, к) а~ -5, аьа, Ьид: 4=2; 4=2; 4=1; 4=1; д=1; 4=1; 4=3; 4=3; =4; 4 =4. х~ = хз + 'тю, хз = а1х~ + атхз + Ьи, х~(0) = О, хз(0) = О, у~ = хе+ Кн, уз = хь 265 10.3. Столастические оптимальные системы информации.
В стохастических системах управления, т.е. в системах, подверженных случайным воздействиям, по известным управлению и начальному состоянию предсказать ход протекания процесса невозможно. И возможности качественного управления такими системами существенно зависят от той информации, которая может быть получена путем измерения (наблюдения) и обработки выходными (наблюдаемыми) переменными. Поэтому стохастнческне системы управления должны быть замкнутыми. При рассмотрении детерминированных систем управления также основное внимание уделяется замкнутым системам, так как практически все системы управления подвержены случайным или неслучайНым, но заранее не прогнозируемым, воздействиям.
Т.е. строго детерминированных систем управления не бывает. Однако при анализе и синтезе рассматриваются детерминированные модели в виду их простоты по сравнению со стохастическими моделями, когда случайные воздействия не оказывают существенных влияний. Стохастнческое оптимальное управление при полной информации. Уравнение объекта имеет вид х = Г(х,п,с)+~го(з), х(зо) = хо, где хо — гауссова случайная величина, Уо($) — гауссов белый шум, хо и ч'о($) не коррелированы; белый шум имеет следующие характеристики: М[~о(З)[ ='О, М[Уо(З)Уоц(З')[ = Яо(й)Ю(С вЂ” З'). Пусть требуется определить управление с обратной связью, доставля- ющее минимум критерию оптимальности.
$/ 7 = М ро(х(йу),зу) + Яф(х,н,с)й Такое управление называется стохастическим оптималычым управлением. Итак, рассматривается задача стохастического оптимального управления, в которой шум объекта является гауссовым белым шумом и входит в уравнение аддитивио; ограничение на правый конец траектории отсутствует, фазовый вектор наблюдается полностью н без помех. В этой задаче х(с) является марковским процессом (так как случайное воздействие является белым шумом), и вся информация, которая может быть использована при определении характеристики будущего состояния, содержится в х(с). Поэтому оптимальное управление должно быть функцией только от текугцего состояния н, быть может, текущего времени. 266 Ги 10.
Синтез оптимальнык систем у веления Управление и = (х(т),з) считается допустимым, если функция п(1) = (х(т),1) кусочно-непрерывна. Кроме того, предполагается, что при допустимом управлении уравнение' х = Г(х,п(х,з),1) при каждом фиксированном х(го) = х имеет единственное решение на интервале [Со, 17]. Функции Хо(х, и, т), Г(х, и, т) и Яо(т) предполагаются непрерывными. Стохастическая оптимальная линейная система при полной информации о состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
